Vektorterek

Tartalom

Előszó i
Tartalomjegyzék iii
1. Algebrai struktúrák 1
1.1 Félcsoportok, csoportok 2
1.1.1 Permutációcsoportok 4
1.2 Gyűrűk, testek 7
1.2.1 Polinomgyűrűk 10
1.3 A komplex számtest 15
1.3.1 Komplex számok konjugáltja, abszolút értéke 18
1.3.2 A komplex számok trigonometrikus alakja 21
1.4 Hálók 27
I. Lineáris algebra 31
2 Vektorterek 33
2.1 A vektortér fogalma 33
2.1.1 Példák vektorterekre 35
2.2 Lineáris összefüggőség 39
2.3 Vektortér bázisa, dimenziója 43
2.4 Vektorterek izomorfizmusa, koordinatizálás 48
2.4.1 Elemi bázistranszformáció 51
2.4.2 Az elemi bázistranszformáció néhány alkalmazása 54
2.5 Alterek 58
2.6 Vektortér-konstrukciók 63
2.6.1 Faktorterek 63
2.6.2 Vektorterek (külső) direkt összege 65
2.7 Duális tér 66
2.7.1 Reflexivitás 69
2.8 Vektortér altereinek külső reprezentációja 70
2.8.1 Annullátorok 76
3 Vektorterek affin részhalmazai 81
3.1 Affin halmazok 81
3.1.1 Affin függetlenség, összefüggőség 83
3.1.2 Affin halmazok és alterek kapcsolata 88
3.1.3 Affin halmazok és lineáris funkcionálok nívóhalmazai 89
4 Lineáris leképezések és transzformációk 93
4.1 A lineáris leképezés fogalma és elemi tulajdonságai 93
4.1.1 Példák lineáris leképezésekre és transzformációkra 94
4.1.2 Lineáris leképezések magtere és képtere 96
4.2 Műveletek lineáris leképezésekkel 99
4.2.1 Lineáris leképezések összeadása és szorzása skalárral 99
4.2.2 Lineáris leképezések szorzása 101
4.2.3 Lineáris transzformációk inverze 102
4.3 Mátrix reprezentáció 106
4.3.1 Mátrixműveletek 109
4.3.2 Lineáris transzformációk inverzének mátrixa 121
4.4 Általános bázistranszformáció i23
4.4.1 Lineáris transzformáció mátrixa új bázisban 124
4.5.5 Lineáris leképezések transzponáltja 128
4.5.1 A transzponált mátrixa 131
4.5.2 Lineáris leképezések rangtétele 133
5. Alkalmazások 137
5.1 Mátrixok bázisfaktorizációja 137
5.2 Lineáris egyenletrendszerek 140
5.2.1 Homogén lineáris egyenletrendszerek megoldása 142
5.2.2 Inhomogén lineáris egyenletrendszerek megoldása 146
5.3 Mátrixegyenletek 150
5.4 Mátrix inverzének numerikus meghatározása 151
6. Lineáris transzformációk invariáns alterei 155
6.1 Invariáns alterek, transzformációk polinomjai 155
6.1.1 Minimálpolinom 158
6.2 Sajátértékek és sajátvektorok 161
6.3 Lineáris transzformációk redukálása 167
6.4 Lineáris transzformációk kanonikus alakjai 175
6.4.1 Háromszög alak 175
6.4.2 Nilpotens transzformációk 176
6.4.3 A Jordan-féle kanonikus alak 179
7 Multilineáris alakok, determinánsok 183
7.1 Multilineáris alakok 183
7.2 Determinánsok 188
7.2.1 A determináns tulajdonságai 188
7.2.2 A determináns numerikus meghatározása 190
7.3 Karakterisztikus polinom 197
8 Skaláris szorzatos terek 199
8.1 A skaláris szorzat 200
8.1.1 Norma és ortogonalitás 203
8.1.2 Descartes-féle koordináta rendszerek 208
8.1.3 Skaláris szorzatos terek izomorfiája 216
9 Skaláris szorzatos terek lineáris leképezései 217
9.1 Lineáris leképezés adjungáltja 217
9.1.1 Az adjungálás tulajdonságai 220
10 Skaláris szorzatos terek lineáris transzformációi 225
10.1 Komplexifikáció 225
10.2 Önadjungált lineáris transzformációk 228
10.2.1 Merőleges vetítések 230
10.2.2 Spektráltétel 233
10.3 Unitér lineáris transzformációk 235
10.3.1 Normális lineáris transzformációk 237
10.4 Euklideszi terek lineáris transzformációi 240
10.4.1 Szimmetrikus lineáris transzformációk 241
10.4.2 Ortogonális lineáris transzformációk 242
10.5 Kvadratikus alakok 244
10.5.1 Kvadratikus alak négyzetösszeggé transzformálása 251
II. A konvex analízis alapjai 255
11 Euklideszi terek konvex részhalmazai 257
11.1 Konvex kombinációk, konvex halmazok 257
11.1.1 Caratheodory-tételek 262
11.1.2 Konvex halmaz extremális részhalmazai 264
11.2 Poláris kúp, polaritás! tétel 269
12 Lineáris egyenlőtlenség-rendszerek 279
12.1 Véges kúpok 279
12.1.1 Véges kúpok alaptételei 280
12.1.2 Véges kúpok polaritási tétele. Farkas-tétel 281
12.1.3 Minkowski-tétel 282
12.1.4 Véges kúpok struktúrája 286
12.1.5 Véges kúpok összességének a hálója 289
12.2 Lineáris egyenlőtlenség-rendszerek megoldhatósági tételei 291
12.2.1 Alternatíva tételek 293
12.3 Poliedrikus halmazok 297
12.3.1 Lineáris egyenlőtlenség-rendszerek és poliedrikus halmazok 298
12.3.2 Kanonikus egyenlőtlenség-rendszerek megoldáshalmaza 302
Tárgymutató 307
Irodalomjegyzék 311

Témakörök