Vektorgeometria és lineáris algebra

Tartalom

VEKTORGEOMETRIA 9
1.1 Alapfogalmak, alapműveletek 9
1.1.1 A vektor fogalma 9
1.1.2 Vektorok összeadása 10
1.1.3 Vektorok kivonása 12
1.1.4 Vektorok szorzása skalárral 13
1.1.5 Vektorok felbontása 14
1.1.6 Vektorok lineáris függetlensége, lineáris függősége 16
1.1.7 Bázis, a vektorok koordinátái 17
1.1.8 Műveletek koordinátáikkal adott vektorokkal 19
1.2 Vektorok szorzása 22
1.2.1 Két vektor skaláris szorzata 22
1.2.2 Két vektor vektoriális szorzata 28
1.2.3 Három vektor vegyes szorzata 33
1.3 Vektorok geometriai alkalmazása 36
1.3.1 Az egyenes 36
1.3.2 A sík 37
1.3.3 Kidolgozott példák az előző két ponthoz 38
1.4 n-dimenziós vektorok 43
LINEÁRIS ALGEBRA 45
2.1 Mátrixok és determinánsok 45
2.1.1 A mátrix fogalma 45
2.1.2 A mátrix transzponáltja. A minormátrix 47
2.1.3 Speciális mátrixok 49
2.1.4 Az n-edrendű determináns 53
2.1.5 A determinánsok néhány tulajdonsága 54
2.2 Műveletek mátrixokkal 60
2.2.1 Mátrixok egyenlősége 60
2.2.2 Mátrixok összeadása, kivonása 60
2.2.3 Mátrix szorzása skalárral 61
2 2 4 Mátrixok lineáris kombinációja 61
2.2.5 Mátrix szorzása mátrixszal, skalárszorzat, diadikus szorzat 63
2.2.6 Mátrixok hatványozása 72
2.2.7 A négyzetes mátrix determinánsa 74
2.2.8 A mátrix rangja 75
2.2.9 A négyzetes mátrix adjungáltja 77
2.2.10 A négyzetes mátrix inverze 80
2.3 A lineáris tér 82
2.3.1 A lineáris tér fogalma 82
2.3.2 A lineáris függetlenség 83
2.3.3 A lineáris tér dimenziója, bázisa 84
2.3.4 Az elemi bázistranszformációk 86
2.3.5 A mátrix rangjának meghatározása elemi bázistranszformációkkal 91
2.3.6 A mátrix inverzének meghatározása elemi bázistranszformációkkal 93
2.4 A mátrixok néhány alkalmazása 98
2.4.1 Termelési összefüggések leírása mátrixokkal 98
2.4.2 Lineáris egyenletrendszerek megoldása 107
2.4.3 Néhány lineáris transzformáció 119
2.4.4 Sajátérték-számítás 127
3. KOMPLEX SZÁMOK 131
3.1 A komplex számok bevezetése 131
3.2 Műveletek algebrai alakú komplex számokkal 133
3.2.1 A komplex számok algebrai alakja, szemléltetése 133
3.2.2 Algebrai alakú komplex számok összevonása 136
3.2.3 Algebrai alakú komplex számok szorzása, osztása, hatványozása 137
3.3 Műveletek trigonometrikus alakú komplex számokkal 140
3.3.1 A komplex számok trigonometrikus alakja 140
3.3.2 Trigonometrikus alakú komplex számok szorzása, hatványozása,
osztása 143
3.3.3 Gyökvonás trigonometrikus alakú komplex számokból 147
3.3.4 Egységgyökök 150
3.4 Műveletek exponenciális alakú komplex számokkal 152
3.4.1 Az Euler-féle összefüggés 152
3.4.2 A komplex számok exponenciális alakja 152
3.4.3 Exponenciális alakú komplex számok szorzása, hatványozása, osztása; gyökvonás 154
4. EGYENLETEK KÖZELÍTŐ MEGOLDÁSA 158
4.1 Az egyenletek megoldásáról 158
4.2 A Horner-féle eljárás 162
4.3 A húrmódszer 168
4.4 Az érintőmódszer 171
4.5 Az iteráció módszere 173
FÜGGELÉK
VEKTORANALÍZIS
1. EGYPARAMÉTERES VEKTOR-SKALÁR-FÜGGVÉNYEK, TÉRGÖRBÉK
1.1 Az egy skaláris változótól függő vektorfüggvény 179
1.2 Deriváltfüggvény 181
1.3 A görbe kísérő triéderének élei és síkjai 184
1.4 A görbe ívhossza 188
1.5 A vektor-skalár-függvény szögsebessége 189
1.6 A görbület 191
1.7 A torzió 193
1.8 Az ívhossz mint paraméter 196
1.9 A térgörbe természetes egyenlete 199
2. KÉTPARAMÉTERES VEKTOR-SKALÁR-FÜGGVÉNYEK, FELÜLETEK
2.1 Két skaláris változótól függő vektorfüggvény 201
2.2 A felület érintősíkja 204
2.3 A felület felszíne 206
3. VEKTOR-VEKTOR-FÜGGVÉNYEK (VEKTORMEZŐK)
3.1 A három skaláris változótól (vektortól) függő vektorfüggvény 212
3.2 Vektor-vektor-függvény differenciálhatósága, divergenciája, rotációja 214
4. SKALÁR-VEKTOR-FÜGGVÉNYEK (SKALÁRMEZŐK)
4.1 A három skaláris változótól (vektortól) függő skalárfüggvény 217
4.2 A skalármező gradiense 218
4.3 A nabla operátor 219
5. INTEGRÁLOK
5.1 Vektor-vektor-függvény vonalmenti integrálja 222
5.2 A vektor-vektor-függvény potenciálfüggvénye 227
5.3 Felszíni integrál 231
5.4 Felületi integrál 233
5.5 Térfogati integrál 239
5.6 Stokes tétele 240
5.7 Vektorpotenciál 245
5.8 Gauss-Osztrogradszkij-tétel 247
5.9 Green-tételek 250
IRODALOMJEGYZÉK 252
MATEMATIKATÖRTÉNETI ÍZELÍTŐ 253
NÉV- ÉS TÁRGYMUTATÓ 257

Témakörök