Vektoranalízis és tenzoralgebra

Tartalom

BEVEZETÉS 11
1. FEJEZET
A VEKTOR-SKALÁR FÜGGVÉNY 14
1.1 A VEKTOR-SKALÁR FÜGGVÉNY TULAJDONSÁGAI 14
1.1.1 Értelmezés 14
1.1.2 Határérték, folytonosság 15
1.1.3 A derivált 18
1.2 TÉRGÖRBÉK 22
1.2.1 A térgörbe mint a vektor-skalár függvény képe 22
1.2.2 Az érintővektor 26
1.2.3 A binormális vektor 28
1.2.4 A főnormális vektor 30
1.2.5 A kísérő triéder 31
1.2.6 A térgörbe ívhossza 33
1.2.7 Természetes paraméter 36
1.2.8 Sebesség, gyorsulás 37
1.2.9 A görbület 41
1.2.10 A torzió 44
1.2.11 Simulókör, simulógömb 46
1.2.12 A Frenet-képletek 48
1.2.13 A Darboux-vektor 51
1.2.14 A térgörbe egyenlete a kísérő triéder koordináta-rendszerében 53
FELADATOK 57
2. FEJEZET
A KÉTVÁLTOZÓS VEKTOR-SKALÁR FÜGGVÉNY 59
2.1 A KÉTVÁLTOZÓS VEKTOR-SKALÁR FÜGGVÉNY ÉS TULAJDONSÁGAI 59
2.1.1 Értelmezés 59
2.1.2 Határérték, folytonosság 61
2.1.3 A derivált 62
2.2 FELÜLETEK 64
2.2.1 A felület mint a kétváltozós vektor-skalár függvény képe 65
2.2.2 Az érintősík 70
2.2.3 A felület felszíne 73
2.3 FELÜLETI GÖRBE 77
2.3.1 A felületi görbe ívhossza 77
2.3.2 A felületi görbe görbülete 79
2.3.3 Felületi pontok osztályozása 83
2.3.4 A felület görbülete 85
FELADATOK 88
A SKALÁR-VEKTOR FÜGGVÉNY 91
3.1 ÉRTELMEZÉS, ÁBRÁZOLÁS 91
3.2 HATÁRÉRTÉK, FOLYTONOSSÁG 94
3.3 DIFFERENCIÁLÁS 95
3.3.1 A derivált 95
3.3.2 A gradiens tulajdonságai 101
3.3.3 A nabla vektor 105
3.4 INTEGRÁLÁS 107
3.4.1 Vonalintegrálok 108
A) ívhossz szerinti vonalintegrál 108
B) Koordináta szerinti vonalintegrál 113
3.42 Felületi integrálok 115
A) Felszíni integrál 115
B) Felületi integrál 117
3.4.3 Térfogati integrál 119
FELADATOK 120
MEGOLDÁSOK AZ 1-3. FEJEZETHEZ 122
4. FEJEZET
A VEKTOR-VEKTOR FÜGGVÉNY 127
4.1 ÉRTELMEZÉS, ÁBRÁZOLÁS 127
4.2 HATÁRÉRTÉK, FOLYTONOSSÁG 132
4.3 DIFFERENCIÁLÁS 132
4.3.1 A derivált 133
4.3.2 A deriválttenzor invariánsai 136
4.3.3 A nabla szimbolika használata 139
4.4 INTEGRÁLÁS 142
4.4.1 Vonalintegrálok 142
4.4.2 Felületi integrálok 148
4.4.3 Térfogati integrál 156
4.5 INTEGRÁLÁTALAKÍTÓ TÉTELEK 156
4.5.1 Gauss-Osztrogradszkij-tétel 156
4.5.2 A Stokes-tétel 162
4.5.3 A Green-tételek 167
4.6 A GRADIENS, DIVERGENCIA ÉS ROTÁCIÓ ÉRTELMEZÉSE FELÜLETI INTEGRÁLLAL 168
4.7 A POTENCIÁLFÜGGVÉNY 173
FELADATOK 182
5. FEJEZET
A TENZOR 185
5.1 A TENZOR ÉRTELMEZÉSE 185
5.2 A TENZOR ELŐÁLLÍTÁSA 187
5.3 MÜVELETEK TENZOROKKAL 197
5.3.1 Az egyenlőség 198
5.3.2 Az összeadás 198
5.3.3 Szorzás skalárral 199
5.3.4 Tenzorok különbsége 200
5.3.5 A szorzás 200
5.3.6 Vektor és tenzor vektoriális szorzata 202
5.3.7 Tenzor szorzása vektorral balról 203
5.3.8 Vektorok diadikus szorzata 204
5.3.9 A transzponált tenzor 205
5.4 SPECIÁLIS TENZOROK 207
5.4.1 Szimmetrikus és ferdén szimmetrikus tenzor 207
5.4.2 Az egységtenzor 209
5.4.3 A zérustenzor 210
5.5 TENZOR DIADIKUS ELŐÁLLÍTÁSA 211
5.6 TENZOR RECIPROKA 213
5.7 AZ IZOMETRIKUS TENZOR 217
5.8 A FŐTENGELYTÉTEL 218
5.9 A TENZOR INVARIÁNSAI 224
5.9.1 A tenzor skalárinvariánsai 225
5.9.2 A tenzor vektorinvariánsa 226
FELADATOK
6. FEJEZET
VEKTOROK ÉS TENZOROK ÁLTALÁNOS BÁZISBAN 233
6.1 A vektor koordinátái 233
6.2 Műveletek általános bázisban 237
6.3 A tenzor koordinátái 240
6.4 Áttérés egyik bázisról a másikra 244
6.5 Az összegzési konvenció 247
Feladatok 250
Megoldások a 4-6 fejezethez 251
Irodalom 259

Témakörök