Véges geometriák

Előszó

A véges geometria a matematikának viszonylag új, gyorsan fejlődő területe. Eredete a múlt század közepére nyúlik vissza, amikor Kirkman és Steiner bizonyos véges halmazok elemeinek speciális tulajdonságú részhalmazokba történő elrendezhetőségét kezdték vizsgálni. Ezekből a kombinatorikus problémákból alakult ki a blokkrendszerek elmélete. Az első, egy véges test elemeivel koordinátázott projektív tér leírása von Staudt 1856-ban megjelent könyvében található. Később Fano vizsgálta szisztematikusan a prímtestre épített projektív tereket. Századunk elején axiomatikus szempontból Hilbert, Veblen és Young folytatták ezeket a vizsgálatokat, és a Desargues-tétel kulcsszerepe világossá vált kutatásaik nyomán. A témakör századunk negyvenes éveiben indult gyors fejlődésnek, főleg Bose, Baer, Bruck, M. Hall, majd B. Segre munkásságának köszönhetően. Hazánkban Kárteszi Ferenc kezdte el a véges geometria oktatását az ELTE-n tartott speciálelőadások keretében. A tárgy a 90-es évek elejétől fokozatosan vált a matematikus és a matematika tanár szakos hallgatók kötelezően választható tananyagának részévé. Az elmúlt években az ELTE-n és a JATE-n (majd SZTE-n) e könyv szerzői tartották a véges geometriai témájú előadásokat. A jelen jegyzet fő célja, hogy ezen előadások hallgatóit (és oktatóit) segítse. Ennek megfelelően jegyzetünk tartalmazza az előadások szokásos anyagát, az előadásokhoz szorosan kapcsolódó, de ott nem tárgyalt anyagrészeket, másrészt bizonyos területeken a legújabb kutatási eredményeket is. Éppen a terület gyors fejlődése az oka, hogy igyekeztünk a legfrissebb eredmények közelébe kerülni. Gyakran választottuk azt a módszert, hogy részletesen csak a legjobb ismert eredménynél kicsit kevesebbet bizonyítunk, a legfrissebb eredményeket csupán kimondjuk, és szükség esetén megadjuk az irodalmi hivatkozásokat. Feltétlenül meg kell jegyeznünk, hogy Kárteszi professzor úr 1973-ban megjelent Bevezetés a véges geometriákba című könyve mind a mai napig igen hasznos, különösen a tanár szakos hallgatók számára kínál olyan témákat, melyeket jegyzetünk nem, vagy csak kevésbé részletesen tárgyal. Megemlítjük, hogy mindkét szerző Kárteszi professzor úr tanítványa volt. és mindketten a fent említett könyvön nőttünk fel. Vissza