Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény

Tartalom

Feladatok 1
1. Véletlen események, valószínűség 3
1.1. Események közötti összefüggések 3
1.1.1. Megfigyelhető események 6
1.1.2. Boo le-algebrák 8
1.1.3. Eseménypolinomok 10
1.1.4. Kvalitatív függetlenség 11
1.1.5. Teljes eseményrendszerek 12
1.2. Azonosságok és egyenlőtlenségek 13
1.2.1. Lineáris egyenlőtlenségek és egyenlőségek 16
1.2.2. Kvadratikus egyenlőtlenségek és egyenlőségek 19
1.3. Valószínűségek kombinatorikus kiszámítása 21
1.4. Valószínűségek geometriai kiszámítása 27
1.5. Feltételes valószínűség 30
1.5.1. Feltételes valószínűség 30
1.5.2. A teljes valószínűség tétele 32
1.5.3. Bayes tétele 35
1.6. Események függetlensége 37
1.6.1. Események függetlensége 38
1.6.2. Felcserélhető események 40
1.6.3. Duplán sztochasztikusan függő események 41
2. Valószínűségi változók és jellemzőik 43
2.1. Valószínűségi változó eloszlása 43
2.1.1. Eloszlás és eloszlásfüggvény 43
2.1.2. Sűrűségfüggvény 46
2.1.3. Nevezetes eloszlások 48
2.1.4. Vegyes feladatok 50
2.2. Többdimenziós eloszlások 51
2.2.1. n-változós eloszlások 51
2.2.2. Vetület- és peremeloszlás 53
2.2.3. Nevezetes többváltozós diszkrét eloszlások 53
2.2.4. Sűrűségfüggvény 54
2.2.5. Nevezetes többváltozós folytonos eloszlások 55
2.3. Feltételes eloszlások 57
2.3.1. Diszkrét eset 57
2.1.2. Feltételes eloszlás 58
2.3.3. A teljes valószínűség tétele 60
2.4. Valószínűségi változók függetlensége 61
2.4.1. Függetlenség 61
2.4.2. Megbízhatóságelmélet 63
2.4.3. Készletezés 64
2.4.4. Duplán sztochasztikus függőség 65
2.5. Várható érték, szórás, magasabb momentumok 66
2.5.1. Várható érték 66
2.5.2. Összeg várható értéke 69
2.5.3. Feltételes várható érték 70
2.5.4. A szórás 72
2.5.5. Összeg szórása 73
2.5.6. Magasabb momentumok 74
2.5.7. A feltételes várható érték általános fogalma 75
2.5.8. Vegyes feladatok 77
2.6. Valószínűségi változók függvényéi 80
2.6.1. A sűrűségfüggvények meghatározása 81
2.6.2. Valószínűségi vektorváltozók függvényei 82
2.6.3. Véletlen determinánsok 84
2.6.4. Összeg és különbség 85
2.6.5. A konvolúció 86
2.6.6. Szorzat és hányados 89
2.6.7. Rendezett minta 89
2.6.8. Empirikus eloszlásfüggvény 92
2.7. Korrelációs együttható 93
2.7.1. A korrelációs hányados 95
2.8. Generátorfüggvény, karakterisztikus függvény 95
2.8.1. Karakterisztikus függvény 97
3. A nagy számok törvényei. Határeloszlás-tételek 103
3.1. Valószínűségeloszlások konvergenciája 103
3.2. A nagy számok törvényei 108
3.2.1. Sztochasztikus konvergencia. A nagy számok gyenge törvénye 108
3.2.2. A nagy számok erős törvénye. Borel-Cantelli-lemma 111
3.3. Határeloszlás-tételek 115
3.4. Keverő és stabilis eseménysorozatok 124
4. Sztochasztikus folyamatok 129
4.1. Markov-láncok 129
4.1.1. A tanulás folyamatának statisztikai elméletéből 137
4.2. Poisson-folyamat 139
4.2.1. Forgalmi problémák 141
4.2.2. Sorbanállási problémák 143
4.2.3. Véletlen ponteloszlások 144
4.3. Független növekményű folyamatok 144
4.4. Rekurrens folyamatok 151
Útmutatások 155
az 1. fejezethez 155
a 2. fejezethez 165
a 3. fejezethez 171
a 4. fejezethez 180
Megoldások, végeredmények 183
az 1. fejezethez 183
a 2. fejezethez 208
a 3. fejezethez 258
a 4. fejezethez 289
Irodalomjegyzék 317
Tárgymutató 323
Fontosabb jelölesek 326

Témakörök