Valószinűségszámítás

Tartalom

I. VALÓSZíNÜSÉGSZÁMÍTÁS TÁRGYA, ESEMÉNYEK ALGEBRÁJA
1. Alapfogalmak szemléletes bevezetése 8
Események (véletlen események) 10
Relatív gyakoriság. Valószínűség 12
2. Események algebrája 14
II. A VALÓSZÍNŰSÉG MATEMATIKAI FOGALMA 19
1. Valószínűségi mezők 19
Véges és megszámlálható alaphalmazú valószínűségi mezők 20
A klasszikus vagy kombinatorikus valószínűségi mező 22
Valószínűségek geometriai úton történő meghatározása 27
2. Valószínűségek kiszámítására vonatkozó azonosságok és egyenlőtlenségek 30
n esemény összegének valószínűsége (Poincaré-formula) 31
Jordán Károly formulái 33
III. FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG ÉS FÜGGETLENSÉG 35
1. A feltételes valószínűség fogalma pozitív valószínűségű feltétel esetén 35
2. Események függetlensége 41
Kísérletek függetlensége 46
IV. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK 49
1. A valószínűségi változó fogalma 49
A valószínűségi változó szemléletes fogalma 49
A valószínűségi változó matematikai fogalma 54
2. A diszkrét valószínűségi változó és eloszlása 61
Néhány nevezetes diszkrét eloszlás 63
a) Az elfajult eloszlás 63
b) Az indikátor változó eloszlása 64
c) A binomiális eloszlás 64
d) A Poisson-eloszlás 65
e) A negatív binomiális eloszlás 76
Az "örökifjú" tulajdonság, mint'a Pascal eloszlást jellemző tulajdonság 78
f) A hipergeometrikus eloszlás 80
3. Folytonos eloszlású valószínűségi változók 81
Néhány fontosabb abszolút folytonos valószinűségeloszlás 83
a) Az egyenletes eloszlás 83
b) Az exponenciális eloszlás 85
c) A normális eloszlás 88
4. A valószinüségi vektorváltozók és eloszlásuk 93
Nevezetes többdimenziós diszkrét eloszlások 100
a)A polinomiális eloszlás 100
b)A polihipergeometrikus eloszlás 100
Vetületeloszlás (peremeloszlás) meghatározása a diszkrét esetben 101
5. Valószinüségi változók függetlensége 105
6. Feltételes eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény 109
7. Valószinüségi változó függvényei 111
Diszkrét valószinüségi változók függvényeinek eloszlása 115
Összeg eloszlása (konvolució) 115
Poisson-eloszlások konvoluciója 115
Binomiális eloszlások konvoluciója 116
Negatív binomiális eloszlások konvoluciója 116
Abszolút folytonos eloszlású valószinüségi változók függvényei 116
Összeg eloszlása 117
Szorzat eloszlása 118
Hányados eloszlása 118
Néhány további nevezetes abszolút folytonos eloszlása 120
a) Az abszolút folytonos eloszlás 120
b) A Cauchy-eloszlás 123
c) A X2-eloszlás 124
d) Az X-eloszlás 125
e) Független, X2-eloszlású változók hányadosa 125
f) Student-eloszlás 126
g) A béta eloszlás 126
A rendezett minta tagjainak eloszlása 127
Egyenletes eloszlásból vett rendezett mintaelemek eloszlása 129
V. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK JELLEMZŐ ADATAI 131
1. A várható érték 131
Diszkrét valószinüségi változó várható értéke 131
A várható érték általános fogalma 134
A várható érték tulajdonságai 136
Nevezetes diszkrét eloszlások várható értéke 144
A legfontosabb abszolút folytonos eloszlások várható értéke 147
A feltételes várható érték fogalma 151
A teljes várható érték tétele 152
2. A szórás és magasabb momentumok 157
A szórásnégyzet tulajdonságai 160
Nevezetes diszkrét eloszlások szórása 162
A legfontosabb abszolút folytonos eloszlások szórása 164
A szórás fogalma a többdimenziós esetben 168
Valószínűségi változók további jellemző adatai 169
3. A generátorfüggvény és alkalmazásai 170
Nevezetes diszkrét eloszlások generátorfüggvénye 171
Várható érték és szórás meghatározása a generátorfüggvény segítségével 172
4. Valószínűségi változók függőségének egy mérőszáma, a korrelációs együttható 173
VI. A NAGY SZÁMOK TŐRVÉNYEI 178
1. A Csebisev egyenlőtlenség 173
2. A nagy számok Bernoulli-féle gyenge törvénye 179
3. A nagy számok törvényének általánosításai 183
A nagy számok törvényének Bernstein-féle alakja 188
A nagy számok erős törvényeiről 190
VII. CENTRÁLIS HATÁRÉ LOS ÍL ÁSTÉTELEK 195
1. A Moivre-Laplace tétel 195
A Moivre-Laplace tétel globális alakja 197
2. Karakterisztikus függvény a valószinüségszámításban 199
Komplex értékű valószínűségi változók 199
Néhány fontosabb eloszlás karakterisztikus függvénye 206
3. A centrális határeloszlástétel 210
Általánosítások 215
Ljapunov tétele 215
Lindeberg-féle tétel 216
VIII. MARKOV LÁNCOK 220
1. A Markov lánc fogalma 220
2. Az állapotok osztályozása és a visszatérés fogalma 226
Bolyongás a számegyenesen 232
r-dímenziós bolyongás 237
3. Az alapvető határeloszlástétel és néhány következménye 240
IX. INFORMÁCIÓELMÉLET 246
1. A hírközlési rendszerek matematikai modellje 246
2. Prefix kódok 250
Kraft egyenlőtlenség 252
Shannon-féle kód 252
3. Az információ mennyiségének mérése 255
4. Egyértelműen dekódolható kódok átlagos szóhossza 261
5. Az entrópia kereséselméleti interpretációja 265
6. Megbízható információátvitel zajos csatornán 269
Fanó- egyenlőtlenség 274

Témakörök