Valószínűségszámítás 1-2.

Tartalom

1. Riemann-Stieljtes-integrál 1
1.1. Riemann-integrál, Newton-Leibniz-szabály 1
1.1.1. Riemann-integrál definíciója és tulajdonságai 1
1.1.2. Riemann-integrál improprius kiterjesztése 4
1.1.3. Newton-Leibniz-szabály 7
1.1.4. Végtelen sorok és improprius integrálás 9.
1.2. Stieltjes-integrál 12
2. Absztrakt integrálás 23
2.1. Mérhető halmazok és függvények 24
2.1.1. A mérhetőség definíciója 25
2.1.2. Mérhető terek generálása 26
2.1.3. Mérhető halmazok szerkezete 27
2.1.4. Baire-, Borel-és szorzatmérhetőség 29
2.1.5. Mérhető valós függvények 33
2.1.6. Lépcsős függvények, a mérhető függvények algebrai tulajdonságai 36
2.1.7. A Baire-, Borel-, és a szorzatmérhetőség összevetése 37
2.1.8. Meyer-féle monoton osztály tétel 40
2.2. Mértékek, mértékterek, integrálás 46
2.2.1. A mérték definíciója 46
2.2.2. Absztrakt integrálás 47
2.2.3. A monoton és majorált konvergencia tételek 49
2.2.4. Egyenletes integrálhatóság 56
2.2.5. Szorzatmérték, kettős integrálok, integrálok felcserélése 62
2.2.6. Paraméteres integrálok deriválása 69
2.2.7. Absztrakt helyettesítéssel való integrálás 72
2.3. Mértékek kiterjesztése 72
2.3.1. A kiterjesztési tétel bizonyítása 74
2.3.2. Az egyértelműségi tétel bizonyítása 79
2.3.3. Topológiai megkötések szerepe a kiterjesztési tételben 81
2.3.4. Lebesgue-Stieljes-mérték 82
2.4. Mértékek teljessége 86
2.4.1. Teljes szorzatmértékek 87
2.4.2. A vetítési tétel 89
2.5. Előjeles mértékek 90
2.5.1. Előjeles mértékek felbontása 90
2.5.2. Totális variáció, korlátos változású függvények 93
2.5.3. Előjeles mértékek szerinti integrálok 97
2.5.4. A parciális integrálási formula 98
2.6. Absztrakt reprezentációs tétel 101
3. Mérhető és integrálható függvények terei 110
3.1. Mérhető függvények konvergenciája 110
3.1.1. Sztochasztikus és majdnem mindenhol való konvergencia 110
3.1.2. Mérhető függvények ekvivalenciaosztályai 115
3.1.3. Konvergencia fogalmak metrikus tulajdonságai 116
3.2. Lp konvergencia 122
3.2.1. Lp terek definíciója 122
3.2.2. Lp terek sűrű részhalmazai 126
3.3. Absztrakt deriválás: Radon-Nikodym derivált 130
3.3.1. A Radon-Nikodym-tétel Neumann-féle bizonyítása 130
3.3.2. Lebesgue-féle felbontás 139
3.3.3. Lp-terek dualitása 139
4. Topológia és mértékek 144
4.1. Reguláris mértékek 145
4.2. Reprezentációs tétel 149
4.2.1. Tételek bemutatása 149
4.2.2. Lokális kompaktság, néhány topológiai lemma 151
4.2.3. Mértékek kiterjesztése Borel-halmazokra 153
4.2.4. Egyértelműség 160
4.3. Mértékelmélet Bourbaki-féle tárgyalása 163
5. Mértékek Rn-ben 168
5.1. Rn-en értelmezett mértékek regularitása 168
5.2. Lebesgue-mérték 170
5.2.1. Lebesgue-mérték a számegyenesen 170
5.2.2. Lebesgue-mérték az Rn térben 172
5.2.3. Polárkoordináták 175
5.2.4. Mértékek teljessége, Lebesgue-mérhetőség 177
5.3. Mértékderiválás 179
5.3.1. Mértékderiválás és differenciálható függvények 180
5.3.2. Vitali-rendszerek 183
5.3.3. Mérték-és Radon-Nikodym-deriváltak kapcsolata 189
5.4. Newton-Leibniz-szabály 193
5.4.1. Monoton függvények deriválhatósága 193
5.4.2. Newton-Leibniz-szabály deriválható függvényekre 197
5.5. Helyettesítéssel való integrálás 201
6. Nem mérhető halmazok 207
6.1. Eltolásinvariencia, Vitali-féle konstrukció 207
6.2. Szorzatmérték, szorzattopológia 208
6.3. Regularitás, Bernstein-féle konstrukció 211
7. A valószínűségszámítás alapfogalmai 216
7.1. Valószínűségi mezők, valószínűségi változók 216
7.1.1. Alapvető egyenlőtlenségek 218
7.1.2. Eloszlások, eloszlás-és sűrűségfüggvények 219
7.1.3. Transzformált változók várható értéke 223
7.2. Függetlenség 224
7.2.1. A függetlenség definíciója 225
7.2.2. Függetlenség és szorzatmérték 226
7.2.3. Függetlenség és korrelálatlanság 229
7.2.4. Nulla vagy egy törvény 231
7.3. Megadott eloszlású valószínűségi változók létezése 233
7.3.1. Megadott eloszlású, független változók létezése 234
7.3.2. Kolmogorov-féle konzisztenciatétel 236
7.3.3. Wiener-folyamat 241
8. Transzformált valószínűségi változók 250
8.1. Transzformált változók sűrűségfüggvénye 250
8.2. Normális eloszlás függvényei 251
8.2.1. Normális eloszlású változók hatványai 252
8.2.2. Lévy-eloszlás 253
8.2.3. Logaritmikusan normális eloszlás 254
8.2.4. Normális eloszlás szimulálása 256
8.3. Valószínűségi változók összege 259
8.3.1. X2-eloszlás 263
8.3.2. X-eloszlás 264
8.4. Valószínűségi változók szorzata és hányadosa 265
8.4.1. Student-eloszlás 270
8.4.2. Fisher-féle F eloszlás 274
8.4.3. z-eloszlás 276
8.5. Béta és gamma eloszlások 276
9. Feltételes valószínűség 282
9.1. Feltételes várható érték 282
9.1.1. Feltételes valószínűség naiv definíciója 282
9.1.2. Regresszív feltételes valószínűség 285
9.1.3. A feltételes várható érték általános definíciója 292
9.1.4. A regressziós függvény 295
9.1.5. A feltételes várható érték tulajdonságai 298
9.1.6. Néhány példa a feltételes várható érték kiszámítására 308
9.1.7. A nullmértékű halmazok szerepe 312
9.1.8. Reguláris feltételes eloszlások 316
9.1.9. A feltételes várható érték mint legközelebbi pont 323
9.2. Diszkrét idejű martingálok 330
9.2.1. Sztochasztikus folyamatok 331
9.2.2. Martingálegyenlőtlenségek 337
9.2.3. Konvergenciatételek 340
9.2.4. A martingálkonvergencia-tétel két alkalmazása 351
9.3. Folytonos idejű martingálok 357
9.3.1. Martingálok regularizálása 359
9.3.2. Martingálegyenlőtlenségek 364
9.3.3. Konvergenciatételek 366
9.4. A megállási opciókról szóló tétel 368
9.4.1. Progresszíven mérhető folyamatok 369
9.4.2. Megállási idők 370
9.4.3. Megállási opciókról szóló tétel 377
9.4.4. A tétel néhány alkalmazása 381
9.5. Diszkrét idejű lokális martingálok 392
9.5.1. Kiterjesztett feltételes várható érték 392
9.5.2. Általánosított és lokális martingál, martingáltranszformáció 396
9.5.3. Szemimartingálok, Doob-dekompozíció 403
10. Függvénytranszformációk 407
10.1. Fourier-transzformáció 408
10.1.1. Fourier-transzformáció elemi tulajdonságai 408
10.1.2. Speciális eloszlások Fourier-transzformáltjai 413
10.2. Momentumgeneráló függvények 415
10.2.1. A momentumgeneráló függvény elemi tulajdonságai 417
10.2.2. Kumulánsgeneráló függvények 423
10.2.3. Speciális eloszlások momentumgeneráló függvényei 424
10.3. Unicitási tételek 433
10.3.1. Laplace-transzformáció egyértelműsége 433
10.3.2. A valós Laplace-transzformáció inverziós formulája 436
10.3.3. Fourier-transzformáció egyértelműsége 438
10.3.4. Fourier-transzformációra vonatkozó inverziós formula 439
10.3.5. Többdimenziós inverziós formula 448
10.4. A többdimenziós normális eloszlás 452
10.5. A normális eloszlás karakterizációi 459
11. Eloszlások gyenge konvergenciája 469
11.1. Mértékek konvergenciája 469
11.1.1. Mértékek pontonkénti és egyenletes konvergenciája 469
11.1.2. Dualitás által definiált konvergenciák, mértékszivárgás 478
11.2. Gyenge konvergencia a számegyenesen 481
11.2.1. Folytonossági pontokban való konvergencia 481
11.2.2. A konvergencia fogalmak összevetése 483
11.2.3. A Szkorohod-előállítás 488
11.2.4. Gyenge kompaktság, Prohorov-tétele 492
11.3. A folytonossági tételek 494
113 1 Folytonossági tétel Laplace-transzformaltakra 495
11.3.2. Folytonossági tétel karakterisztikus függvényekre 498
11.4. Gyenge konvergencia metrikus terekben 511
11.4.1. A gyenge konvergencia jellemzése 511
11.4.2. A gyenge konvergencia mint gyenge* konvergencia 514
11.4.3. Gyenge kompaktság, Prohorov-tétele 516
11.4.4. A gyenge konvergencia teljessége 519
11.4.5. A Szkorohod-előállítás 523
11.5. Többdimenziós folytonossági tétel 526
12. A nagy számok törvényei 528
12.1. A nagy számok gyenge törvénye 528
12.2. A nagy számok erős törvénye 532
12.2.1. A nagy számok erős törvénye független változókra 532
12.2.2. A nagy számok erős törvénye korrelálatlan változókra 539
12.3. A statisztika alaptétele 542
12.4. A konvergencia sebessége 546
12.4.1. Eloszlások konjugált függvénye 546
12.4.2. Bernstein-egyenlőtlenség 553
12.4.3. A konvergencia sebessége a nagy számok erős törvényében 556
12.5. Szigorúan stacionárius sorozatok 558
12.5.1. Mértéktartó leképezések 559
12.5.2. Ergodikus és keverő transzformációk 561
12.5.3. Birkoff-Hincsin ergodikus tétel 564
12.5.4. Nagy számok törvénye stacionárius sorozatokra 568
13. Centrális határeloszlás-tétel 577
13.1. Egydimenziós határeloszlás-tételek 577
13.1.1. Karakterisztikus függvény sorbafejtése 578
13.1.2. Azonos eloszlású független valószínűségi változók 579
13.1.3. Véletlen tagszámú összegek 584
13.1.4. Lokálisalak 585
13.2. Többdimenziós centrális határeloszlás-tétel 597
13.3. Centrális határeloszlás-tétel függvényterekben 599
13.3.1. Folytonos függvények tere 599
13.3.2. Donsker-féle invariencia elv 604
14. Korlátlanul osztható eloszlások 607
14.1. Egy út, amely nem vezet sehová 607
14.2. Lévy-Hincsin-formula 609
14.2.1. Lévy-Hincsin és Kolmogorov előállítás 611
14.2.2. Speciális eloszlások Lévy-Hincsin-reprezentációja 618
14.2.3. Korlátlanul osztható karakterisztikus függvények logaritmusa 623
14.2.4. Unicitási és folytonossági tételek 627
14.3. Többdimenziós Lévy-Hincsin-formula 632
14.4. Lévy-folyamatok 639
14.4.1. Jobbról folytonos fiitrációk 642
14.4.2. Erős Markov-tulajdonság 645
14.4.3. Folytonos Lévy-folyamatok, a Wiener-folyamat 647
14.4.4. Poisson-folyamatok 653
14.4.5. Összetett Poisson-folyamatok 653
14.4.6. Lévy-folyamatok spektrálmértéke 659
14.4.7. Lévy-folyamatok felbontása 665
14.4.8. Lévy-Hincsin-formula 669
14.4.9. Lévy-folyamatok kvadratikus variációja 671
15. Stabil eloszlások 676
15.1. Az L osztály 677
15.1.1. A végtelenhez lassan konvergáló sorozatok 677
15.1.2. Az L osztály jellemzése 683
15.2. A farokeloszlások nagyságrendjéről 688
15.2.1. Regulárisán változó függvények 689
15.2.2. Lassan változó függvények reprezentálása 693
15.2.3. Karamata tétele 701
15.2.4. Szubexponenciális eloszlások 707
15.3. Egyváltozós stabil eloszlások 715
15.3.1. Stabil eloszlások mint határeloszlások 716
15.3.2. Stabil eloszlások karakterisztikus függvényei 719
15.4. Többdimenziós stabil eloszlások 728
15.4.1. Szimmetrikus stabil eloszlások szimulálása 731
15.4.2. Többdimenziós stabil eloszlások karakterisztikus függvénye 735
16. Határeloszlás-tételek 745
16.1. A lehetséges határeloszlások jellemzése 746
16.1.1. A kísérő eloszlások módszere 746
16.1.2. Infinitezimális táblázatok 752
16.2. Altalános határeloszlás tétel 767
16.3. A tétel alkalmazásai 778
16.3.1. Centrális határeloszlás-tételek 778
16.3.2. Nagy számok gyenge törvénye 790
16.3.3. Stabil eloszlások vonzási tartománya 794
16.3.4. Stabil eloszlások standard vonzási tartománya 800
16.3.5. A normális eloszlás vonzási tartománya 802
16.3.6. A normális eloszlás standard vonzási tartománya 808
16.3.7. Lokális tételek 808
17. Függelék: néhány további tétel 812
17.1. A folytonos függvények tere 812
17.2. Folytonosan deriválható függvények 816
17.3. Banach-terek dualitása, gyenge kompaktság 818
17.4. Komplex függvények logaritmusa 828
17.5. Szeparbális sztochasztikus folyamatok 837
Tárgymutató846-853
Irodalomjegyzék 854

Témakörök