Valós függvények és függvénysorok

Előszó

E könyv, egyetemi tankönyvnek készülvén, tárgyválasztásában elsősorban az érvényben levő egyetemi programhoz igazodik. Tekintettel azonban a függvényelmélet állandóan növekvő jelentőségére matematikusképzésünkben, egyes olyan kérdéseket is tárgyal, amelyek a programban nem foglaltatnak benne, de ahhoz szorosan kapcsolódnak: pl. az általános függvény deriváltszámai, absztrakt halmazokon való Lebesgue-integrál stb. Az absztrakt halmazokon való Lebesgue-integrál tárgyalását a valószínűségszámításban való jelentősége is indokolja.
Az első két fejezet a halmazok legegyszerűbb számossági kérdéseiről, az n-dimenziós euklidesi tér topológiájának elemeiről és a folytonos függvények tulajdonságairól szól. Az ún. „leíró halmaz- és függvényelmélet" tárgyalásába nem megy mélyebben bele a könyv, a Baire-féle függvényosztályozást is éppen csak érinti. Az e fejezetek anyagában jobban elmélyülni kívánó olvasó számára rendelkezésre áll P. S:. Alekszandrov: „Bevezetés a halmazok és függvények általános elméletébe" című műve (Budapest, 1952).
A differenciálás és integrálás modern elméletének felépítésében a könyv Riesz Frigyes módszerét követi: az elmélet élére a monoton függvények differenciálhatóságára vonatkozó Lebesgue-tétel Riesz-féle bizonyítását állítja, a Lebesgue-féle integrálhoz pedig közvetlenül, a mértékelmélet közbeiktatása nélkül vezet el. Ezek a fejezetek (III-VII.) jó részét felölelik annak az anyagnak, amelyet Riesz Frigyes és a szerző francia nyelvű műve első részében tárgyal [F. Riesz-B. Sz.-Nagy: „Lecons d'Analyse Fonctionnelle', (Budapest, 1952 és 1953)]. E mű első része további tanulmányok alapjául szolgálhat néhány olyan kérdéskörben, amelynek tárgyalása a jelen tankönyv kereteit meghaladta (pl. többdimenziós intervallum-függvények differenciálása, az Lp függvénytér és lineáris operációi stb.). Bár a könyv a Lebesgue-féle integrált nem Lebesgue eredeti módszerével építi fel, szól a könyv erről a módszerről is, és bebizonyítja a két módszer ekvivalens voltát. Az eredeti Lebesgue-féle módszer részletes kifejtését megtalálja az olvasó pl. Veress Pál: „Valós függvények" c. könyvében (Budapest, 1934). Vissza