Valós analízis előadások II.

Tartalom

Előszó V
Irodalom IX
4. rész. Funkcionálanalízis 1
13. fejezet. Hilbert-terek 3
13.1. Definíciók és példák 3
13.2. Ortogonalitás 9
13.3. Konvex halmazok szétválasztása 14
13.4. Ortonormált bázisok 19
13.5. Gyenge konvergencia. Kiválasztási tétel 24
13.6. Folytonos és kompakt operátorok 29
13.7. Hilbert spektráltétele 33
13.8. A komplex eset 39
14. fejezet. Banach-terek 42
14.1. Normált terek 42
14.2. Konvex halmazok szétválasztása 47
14.3. Kiterjesztési tétel 54
14.4. Az LP terek duálisai 56
14.5. Gyenge konvergencia. Banach-Steinhaus tétel 60
14.6. Reflexív terek. Kiválasztási tétel 67
14.7. Reflexív terek. Geometriai alkalmazások 71
14.8. Nyílt leképezések és zárt gráfok 76
14.9. Folytonos és kompakt operátorok 80
14.10. Fredholm-Riesz elmélet 84
14.11. A komplex eset 92
15. fejezet. Lokálisan konvex terek 94
15.1. Félnormacsaládok 95
15.2. Szétválasztási és kiterjesztési tételek 98
15.3. Krein-Milman tétel 101
15.4. Gyenge topológia. Farkas-Minkowski lemma 104
15.5. Gyenge csillag topológia. Banach-Alaoglu tétel 109
15.6. Reflexív terek 115
15.7. Topologikus vektorterek 117
5. rész. Integrálszámítás 121
16. fejezet. Monoton függvények 123
16.1. Folytonosság. Megszámlálható halmazok 123
16.2. Differenciálhatóság. Nullahalmazok 126
16.3. Ugrófüggvények 130
16.4. A Lebesgue-tétel bizonyítása 133
16.5. Korlátos változású függvények 137
17. fejezet. Lebesgue-integrál R-en 139
17.1. Lépcsős függvények 140
17.2. Integrálható függvények 144
17.3. Beppo Levi tétele 147
17.4. Lebesgue, Fatou és Riesz-Fischer tételei 151
17.5. Mérhető függvények és halmazok 157
18. fejezet. Általánosított Newton-Leibniz formula 165
18.1. Abszolút folytonosság 166
18.2. Primitív függvény 171
18.3. Parciális és helyettesítéses integrálás 175
19. fejezet. Integrál mértékterekben 178
19.1. Mértékek 178
19.2. Véges mértékhez rendelt integrál 184
19.3. Szorzatterek: Fubini és Tonelli tételei 188
19.4. Lebesgue-felbontás 193
19.5. Előjeles mértékek. Hahn- és Jordan-felbontás 195
19.6. Radon-Nikodym tétel 200
19.7. Mértékek kiterjesztése o-algebrákra 207
6. rész. Függvényterek 213
20. fejezet. Folytonos függvények terei 215
20.1. Weierstrass approximációs tételei 218
20.2. Stone-Weierstrass tétel 223
20.3. Kompakt halmazok. Arzelá-Ascoli tétel 227
20.4. Fourier-sorok divergenciája 228
20.5. Fourier-sorok szummációja. Fejér tétele 232
20.6. Korovkin tételei. Bernstein-polinomok 234
20.7. Harsiladze-Lozinszkij, Nyikolajev és Faber tételei 239
20.8. Duális tér. Riesz-féle reprezentációs tétel 243
20.9. Gyenge konvergencia 252
21. fejezet. Integrálható függvények terei 254
21.1. Az lP terek, 1 < p < oo 254
21.2. Kompakt halmazok 264
21.3. Konvolúció 267
21.4. Egyenletesen konvex terek 271
21.5. Reflexivitás 276
21.6. Az IP terek duálisai 278
21.7. Gyenge és gyenge csillag konvergencia 282
22. fejezet. Majdnem mindenütt való konvergencia 286
22.1. Az lP terek, 1 < p < oo 286
22.2. Az lP terek, 0 < p < 1 289
22.3. Az L0 terek 295
22.4. Mértékben való konvergencia 299
Irodalom 307
Oktatási megjegyzések 325
Tárgymutató 327
Névmutató 331
Idézett matematikusok 334

Témakörök