Differenciálegyenletek

Előszó

Ez a jegyzet elsősorban a másodéves tervgazdasági szakos hallhatók számára készült, és ennek megfelelően az elemi analízis, és a lineáris algebra olyan szintű ismeretét tételezi fel, amelyet a hallgatók másodéves korukra általában már megszerezhetnek. Mivel az analízis mélyebb tételeire nem támaszkodunk, a jegyzet számos tétel, így például a Picard-Lindelöf-tétel, a karakterisztikus függvény differenciálhatóságáról szóló tétel, vagy az autonóm lineáris rendszerek mátrix-megoldásának előállításáról szóló tétel, a szokásosnál bonyolultabb, bár elemi bizonyítását mutatja be.
A tananyagon túlmenően azonban a jegyzetben jóval nagyobb anyagot tárgyalunk. Ez két okkal is indokolható. Egyrészt az olyan hallgatók további tanulmányaihoz szeretnénk segítséget nyújtani, akik differenciálegyenletekkel modellezhető gazdasági feladatok iránt érdeklődnek. Másrészt az utóbbi években több olyan magyar nyelvű publikáció, sőt könyv is jelent meg, amely gazdasági problémák megoldásához a differenciálegyenletek, illetve a matematikai irányításelmélet apparátusát használja. Célszerűnek látszott ezért egy olyan jegyzet elkészítése, amelyből az érdeklődő olvasók biztos alapokat szerezhetnek e területen.
A fenti okoknak megfelelően a közönséges differenciálegyenletek témaköréből elsődlegesen a lineáris rendszerekkel, és a stabilitáselmélettel foglalkozunk. Úgy tűnik ugyanis, hogy a matematikai közgazdaságtanban e területek játszanak alapvető szerepet. A parciális differenciálegyenletek közül csak az elsőrendű egyenletekkel foglalkozunk, ezek megoldása lényegében visszavezethető közönséges differenciálegyenletek megoldására. A másodrendű parciális differenciálegyenletek tárgyalásához a feltételezettnél már jóval szélesebb körű matematikai ismeretekre lenne szükség. Céljainknak megfelelően az egyes fejezetek utáni gyakorlatok nem annyira a technikai készség kialakítását, inkább a fejezet definícióinak, illetve tételeinek jobb megértését kívánják elősegíteni. Ugyanilyen szerepük van a jegyzetben előforduló gazdasági jellegű példáknak is. Végül ezúton is szeretnék köszönetet mondani kollégámnak, Puskás Csabának, aki értékes észrevételeivel segített a szöveg végső kialakításában. Vissza