Analízis I-II.

Tartalom

I. KÖTET
Előszó 7
Függvények 9
A függvény fogalma 9
A függvény grafikonja 18
Feladatok 23
Műveletek függvényekkel 24
Feladatok 27
Korlátos függvények 28
Feladatok 32
Monoton függvények 33
Feladatok 35
Feladatok 38
Feladatok 40
Elemi függvények 40
A) Racionális egészfüggvények 41
B) Racionális törtfüggvények 42
C) Hatványfüggvények 43
D) Trigonometriai függvények 44
Feladatok 45
E) Exponenciális függvény 45
F) Logaritmusfüggvény 46
Egy megjegyzés a függvényekről eddig tanultakhoz 46
A binomiális tétel 47
Feladatok 49
Egyenlőtlenségek 50
Egy érdekes szélsőérték-feladat 59
Feladatok 61
Feladatok 65
Cauchy-egyenlőtlenség 69
Feladatok 72
Bernoulli-egyenlőtlenség 73
Sorozatok 75
Bevezető példák 75
Feladatok 79
Feladatok 81
A sorozat fogalma
Sorozatok megadása és ábrázolása 85
Feladatok 88
Korlátos sorozatok 89
Feladatok 96
Monoton sorozatok 96
Feladatok 99
Példák 100
Feladatok 109
Konvergens sorozatok 109
Bevezető példák 109
Sorozatok konvergenciája 116
Példák 119
Feladatok 124
Konvergens sorozatok néhány tulajdonsága 124
Végtelenhez tartó sorozatok 128
Feladatok 129
Műveletek konvergens sorozatokkal 129
Feladatok 136
Monoton, korlátos sorozatok 137
A rendőr-elv 143
Feladatok 146
Nevezetes sorozatok 147
Feladatok 158
A Cantor-féle axióma 159
A Bolzano-Weierstrass-tétel 164
A Cauchy-féle konvergenciakritérium 165
A kör kerülete 166
További példák, kiegészítések 170
Folytonos függvények 180
Példák 180
Függvény pontban való folytonosságának értelmezése 185
Műveletek folytonos függvényekkel 192
Feladatok 193
Feladatok 196
A két folytonossági definíció ekvivalenciája (olvasmány) 196
Adott intervallumon folytonos függvények 198
Feladatok 205
Példák 206
Feladatok 216
Függvény határértéke 217
Bevezető példák 217
Függvény határértéke egy pontban 220
Példák 223
Függvény végtelenben vett határértéke 233
Példák 235
Feladatok 237
Monoton függvény határértéke 238
Az exponenciális függvény 239
Példák ' 244
Feladatok 250
Differenciálható függvények 251
Példák 251
A differenciálhányados 254
Példák 257
Műveletek differenciálható függvényekkel 259
1. összeg deriváltja 259
Feladatok 259
2. Szorzat deriváltja 260
Feladatok 262
3. Hányados deriváltja 262
Feladat 263
Trigonometriai függvények differenciálhányadosa 264
Feladat 265
Példák 267
Feladat 267
Az exponenciális függvény deriváltja 267
Feladat 274
A logaritmusfüggvény folytonossága és differenciálhatósága 274
Feladat 276
összetett függvény differenciálása 276
Példák 278
Feladatok 281
Középértéktételek 283
Példák 286
Feladatok 288
Monoton függvények 288
Feladat 290
A középértéktétel két következménye 290
Konvex és konkáv függvények 294
Példák 295
Feladat 296
Függvényvizsgálat 297
Feladatok 304
Vegyes példák 304

II. KÖTET
I. Határozatlan integrál 7
1. Antiderivált; primitív függvény 7
2. Határozatlan integrál 11
3. Parciális integrálás 15
4. Példák a határozatlan integrálra 23
5. Néhány racionális törtfüggvény határozatlan integrálja 30
II. Határozott integrál 41
1. Bevezető példák 41
2. Alsó és felső összegek 55
3. A határozott integrál fogalma 60
4. Tételek az integrálhatóságról 63
5. A határozott integrál tulajdonságai 72
6. A határozott integrál és a terület 77
7. A határozott integrál néhány további tulajdonsága 79
8. Az integrál mint a felső határ függvénye 83
9. A Newton-Leibniz-tétel 93
10. További példák 96
11. Parciális integrálás határozott integrálokra 99
12. Integrálás helyettesítéssel 102
13. Területszámítás a határozott integrál segítségével 107
14. Néhány alakzat tömegközéppontja 113
15. Néhány görbe ívhosszúsága 118
16. Sorozatok határértékének megállapítása az integrálszámítás segítségével 125
17. A határozott integrál közelítő kiszámításáról 129
18. Improprius integrál 134
19. Néhány test térfogata 143
A) Téglatest térfogata 144
B) Az egyenes hasáb térfogata 148
C) A ferde hasáb térfogata 149
D) A gúla térfogata 150
E) Henger és kúp térfogata 153
F) Forgástestek térfogata 155
Példák 157
20. Testek felszínéről 158
A) Egyenes körhenger felszíne 158
B) Egyenes körkúp felszíne 159
C) A gömb felszíne 160
III. Végtelen sorok 165
1. Bevezető példák; elnevezések 165
2. Pozitív tagú sorok 180
3. Végtelen sorok néhány fontos tulajdonsága 184
4. Végtelen sorokra vonatkozó konvergenciakritériumok 188
Példák 190
5. További példák 195
6. Három nevezetes sor 207
7. Függvénysorozatok és függvénysorok 216
8. Hatványsorok 227
9. Végtelen függvénysor differenciálása és integrálása .. 239
10. A binomiális sor 246
11. Néhány szó a Fourier-sorokról 249
12. Példák 255
IV. Differenciálegyenletekről 265
1. Példák; elnevezések 265
2. Elsőrendű közönséges differenciálegyenletekről 284
3. Szétválasztható változójú differenciálegyenletek 285
4. Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek 290
Példák 294
5. Két, speciális elsőrendű differenciálegyenlet 300
A) A Bernoulli-féle differenciálegyenlet 300
B) A Ricatti-féle differenciálegyenlet 302
6. Elsőrendű közönséges differenciálegyenletek megoldásainak létezéséről 304
V. Rövid történeti áttekintés 315
Utószó 319
Javasolt irodalom 320

Témakörök