Szilárdságtan

Tartalom

1. ALAPFOGALMAK ..............................................13
1.1. A szilárdságtan tárgya ....................................13
1.2. Az anyagok szilárdsági tulajdonságai ..........14
1.3. A szilárdsági tulajdonságok jellemzése .... 16
1.3.1. A szilárdsági tulajdonságok kísérleti meghatározása......................................16
1.3.2. Az anyagok osztályozása jellegzetes szilárdsági tulajdonságaik alapján .. 18
1.4. A szilárdsági tulajdonságok idealizálása. Anyagmodellek és anyagegyenletek.....22
1.5. A szilárdságtan felosztása ..............................25
1.6. A szilárdságtan feltevései................................26
2. A SZILÁRD TEST ÁLLAPOTÁNAK JELLEMZŐI .................27
2.1. A feszültségek ..................................................27
2.1.1. A feszültség fogalma............................27
2.1.2. A feszültségi állapot ............................29
2.2. Az alakváltozások............................................31
2.2.1. Az alakváltozás fogalma ....................31
2.2.2. Az alakváltozási állapot......................33
2.3. A feszültségek és az alakváltozások kapcsolata. Az anyagegyenletek ..........35
2.3.1. Az anyagegyenlet fogalma..................35
2.3.2. A lineárisan rugalmas anyagú testek anyagegyenletei. Az általános Hooke-törvény ....................35
2.3.3. Az általános Hooke-törvény hőmérséklet-változás esetén ..........................38
2.3.4. Bonyolultabb anyagegyenletek..........39
Mintapéldák..........................................40
Gyakorlófeladatok ..............................44
2.4. Az alakváltozási energia ................................45
2.4.1. Az alakváltozási energia fogalma ... 45
2.4.2. Az alakváltozási energia meghatározása ........................... 45
2.4.3. A rugalmas alakváltozási energia ... 49
3. RUDAK FESZÜLTSÉGEI ÉS ALAKVÁLTOZÁSAI .............................52
3.1. Alapfogalmak és feltevések ............................52
3.1.1. A rúd......................................................52
3.1.2. A kis elmozdulások elve ....................53
3.1.3. A sík keresztmetszetek feltevése .... 53
3.1.4. A rúd és a rúdelem modellje..............54
3.1.5. A rúd és a rúdelem igénybevételei és feszültségei .......................55
3.1.6. A rúd és a rúdelem elmozdulásai és alakváltozásai .................56
3.1.7. A rúd anyaga és terhelése ..................58
3.1.8. Szilárdságtani követelmények. Ellenőrzés és méretezés................................59
3.2. Központos húzás és nyomás..................61
3.2.1. A rúdelem alakváltozásai ..................61
3.2.2. A rúdelem feszültségei ........................62
3.2.3. A rugalmas állapotban lévő rúdelem 62
3.2.4. A képlékeny állapotban lévő rúdelem 63
3.2.5. A teljes rúd húzása és nyomása ........64
3.2.6. Húzott, ill. nyomott rudakból álló egyszerű, statikailag határozatlan szerkezetek ...68
3.2.7. Feszültségkoncentráció. A Saint-Venant-féle elv ..........................................71
3.2.8. Ellenőrzés és méretezés ......................73
Mintapéldák..........................................74
Gyakorlófeladatok ..............................83
3.3. Tiszta nyírás......................................................90
3.3.1. A rúdelem alakváltozásai ..................91
3.3.2. A rúdelem feszültségei ........................91
3.3.3. A rugalmas állapotban lévő rúdelem .......92
3.3.4. A képlékeny állapotban lévő rúdelem .........92
3.3.5. Ellenőrzés és méretezés ......................93
3.3.6. Szegecskapcsolatok..............................93
Mintapéldák..........................................95
Gyakorlófeladatok ..............................97
3.4. Csavarás ............................................................98
3.4.1. A kör keresztmetszetű rúdelem alakváltozásai ..............................................99
3.4.2. A kör keresztmetszetű rúdelem feszültségei ................................................99
3.4.3. A rugalmas állapotban lévő, kör keresztmetszetű rúdelem..........................99
3.4.4. A képlékeny állapotban lévő kör keresztmetszetű rúdelem ........................101
3.4.5. Körgyűrű keresztmetszetű rúdelem.......... 102
3.4.6. A kör keresztmetszetű teljes rúd csavarása ....................................................103
3.4.7. Csavarásra igénybevett elemekből álló, statikailag határozatlan szerkezetek .....105
3.4.8. Derékszögű négyszög keresztmetszetű rúd csavarása ..................................107
3.4.9. Vékonyfalú rudak csavarása..............108
3.4.10. Ellenőrzés és méretezés ......................110
Mintapéldák..........................................110
Gyakorlófeladatok ..............................119
3.5. Hajlítás ..............................................................123
3.5.1. A rúdelem alakváltozásai ..................123
3.5.2. A rúdelem feszültségei ........................124
3.5.3. A rugalmas állapotban lévő rúdelem 124
3.5.3.1. Általános összefüggések .... 124
3.5.3.2. Egyenes hajlítás......................126
3.5.3.3. Ferde hajlítás..........................127
3.5.4. A képlékeny állapotban lévő rúdelem...... 131
3.5.5. A teljes rúd hajlítása............................137
3.5.5.1. Rugalmas állapot ..................137
3.5.5.2. Képlékeny állapot..................142
3.5.6. Ellenőrzés és méretezés ......................146
Mintapéldák..........................................147
Gyakorlófeladatok ..............................157
3.6. Hajlítás és nyírás....................... 164
3.6.1. A rugalmas állapotban lévő, szimmetriasíkjában terhelt tömör vagy üreges
rúdelem ......................... 164
3.6.2. A képlékeny állapotban lévő, szimmetriasíkjában terhelt tömör vagy
üreges rúdelem................... 171
3.6.3. A szimmetriasíkjában terhelt teljes rúd rugalmas hajlítása és nyírása ... 172
3.6.4. Vékonyfalú rúdelemek rugalmas állapota ............................ 173
3.6.4.1. Szimmetriasíkjukban terhelt vékonyfalú rúdelemek. A nyírófolyam ...... 173
3.6.4.2. Szimmetriasíkjukra merőlegesen terhelt vékonyfalú rúdelemek. A nyírási középpont....... 174
3.6.5. Méretezés és ellenőrzés............ 177
Mintapéldák..................... 177
Gyakorlófeladatok ............... 184
3.7. Hajlítás és húzás vagy nyomás. Külpontos húzás vagy nyomás..................... 188
3.7.1. A rugalmas állapotban lévő, húzásra és nyomásra azonosan viselkedő
anyagú rúdelem.................. 189
3.7.1.1. A normálfeszültségek meghatározása .................. 189
3.7.1.2. A semleges tengely meghatározása ................... 191
3.7.2. A rugalmas állapotban lévő, csak nyomásnak ellenálló anyagú rúdelem......193
3.7.3. A képlékeny állapotban lévő, húzásra és nyomásra azonosan viselkedő
anyagú rúdelem....................................196
3.7.4. A képlékeny állapotban lévő, csak
nyomásnak ellenálló anyagú rúdelem 198
3.7.5. Méretezés és ellenőrzés........................199
Mintapéldák..........................................199
Gyakorlófeladatok ..............................204
3.8. Általános igénybevételi állapot......................208
3.8.1. Feszültségek és alakváltozások számítása rugalmas állapotban....................208
Mintapéldák..........................................209
Gyakorlófeladatok ..............................211
4. RUDAK ELMOZDULÁSAI................................213
4.1. Fogalmak ..........................................................213
4.2. Rudak alakváltozásai......................................214
4.3. A rugalmas gerenda differenciálegyenlete .. 216
4.3.1. A differenciálegyenlet..........................216
4.3.2. Kerületi és csatlakozási feltételek ... 219
4.3.3. A szingularitásfüggvények alkalmazása ........................................................219
Mintapéldák..........................................220
Gyakorlófeladatok ..............................225
4.4. Az elmozdulások meghatározása geometriai úton...................................226
4.4.1. Fogalmak..............................................226
4.4.2. Egy merev test síkbeli mozgása.......227
4.4.3. A dinámok és a kis elmozdulások analógiája..............................................229
4.4.4. Láncolatok elmozdulásai....................230
4.4.5. Zárt vonalak elmozdulásai ................231
4.4.6. Az alakváltozások számításba vétele 232
4.5. A kinematikai határozottság fogalma..........234
4.6. Statikailag határozatlan hajlított tartó .......235
Mintapéldák..........................................238
Gyakorlófeladatok ..............................246
5. A SZILÁRD TESTEK FESZÜLTSÉGEI..........248
5.1. Az általános szilárdságtan alapjai ................248
5.2. A feszültségállapot ..........................................248
5.2.1. Fogalmak ..............................................248
5.2.2. A feszültségvektor egyenlete. Feszültségmátrix ..............................................249
5.2.3. Főfeszültségek és feszültségi főirányok ...................................................251
5.2.4. Redukált feszültségek. Oktaéderes feszültségek ..............................................253
5.2.5. A feszültségtenzor......................254
5.2.6. Feszültségi ellipszoid ..........................255
5.3. Síkbeli feszültségállapot..................................256
5.4. Feszültségi fősíkok. Főnyírófeszültségek ... 258
5.5. A Mohr-féle feszültségi körök ......................259
5.5.1. A Mohr-kör egyenlete és tulajdonságai ..........................................................259
5.5.2. Általános feszültségállapot ábrázolása Mohr-körökkel................................261
5.5.3. Különleges feszültségállapotok ábrázolása Mohr-körrel..............................262
5.5.4. A főirányok hajlásszögének becslése............264
5.6. A főfeszültségi trajektóriák..................264
Mintapélda............................................265
Gyakorlófeladatok ..............................266
5.7. A feszültségmező..............................................268
5.7.1. A feszültségmező fogalma..................268
5.7.2. Az egyensúlyi egyenletek....................268
5.7.3. Statikai kerületi feltételek ..................270
6. A SZILÁRD TESTEK ALAKVÁLTOZÁSAI ............................................272
6.1. Általános megjegyzések ..................................272
6.2. Az alakváltozási állapot..................................272
6.2.1. Fogalmak..............................................272
6.2.2. Az alakváltozás-vektor egyenlete. Alakváltozás-mátrix ............................273
6.2.3. Főnyúlások és alakváltozási főirányok ......................................................277
6.2.4. Főszögváltozások. Redukált alakváltozások ..................................................278
6.2.5. Az alakváltozás-tenzor........................279
6.2.6. Különleges alakváltozási állapotok. Alakváltozási Mohr-körök ................279
6.3. Az alakváltozás-mező......................................280
6.3.1. Az eltolódásmező és az alakváltozás-mező ............................................280
6.3.2. A geometriai egyenletek......................280
A geometriai kerületi feltételek..........281
6.3.4. Összeférhetőségi (kompatibilitási) egyenletek....................... 281
7. RUGALMAS TESTEK .................... 283
7.1. A lineárisan rugalmas testek anyagegyenlete 283
7.1.1. Az anyagegyenlet általános alakja .. 283
7.1.2. Az izotróp anyag anyagegyenlete. Az általános Hooke-törvény .......... 284
7.1.2.1. Általános feszültségi és alakváltozási állapot......................284
7.1.2.2. Síkbeli feszültségi állapot ... 285
7.1.2.3. Síkbeli alakváltozási állapot .......285
7.1.2.4. Összefüggés a rugalmassági állandók között ......................286
7.1.3. A kezdeti alakváltozások figyelembevétele ......................................................287
7.2. A rugalmasságtan alapegyenletei ..................287
7.2.1. Térbeli feladatok................. 287
7.2.2. Síkbeli feladatok ................. 290
7.3. Néhány síkbeli feladat megoldása ........ 294
7.3.1. Téglalap alakú tárcsa............. 294
7.3.2. Befogott tárcsa .................. 296
7.3.3. Tengelyszimmetrikus feladatok..... 301
7.3.3.1. A feladat általános megoldása ..........301
7.3.3.2. Vastagfalú henger vizsgálata ..........302
7.4. Prizmatikus rudak csavarása............. 302
7.4.1. A csavarás alapegyenlete....................303
7.4.2. Membrán analógia ..............................307
Mintapéldák..........................................308
Gyakorlófeladatok ..............................310
8. MUNKA-ÉS ENERGIATÉTELEK ......... 311
8.1. Alapfogalmak ......................... 311
8.1.1. A munka fogalmának általánosítása ........312
8.1.2. A kiegészítő munka és általánosítása .......315
8.1.3. A munka és a kiegészítő munka kapcsolata .......................... 317
8.1.4. A virtuális elmozdulás és a virtuális munka.......................... 317
8.1.4.1. A virtuális elmozdulás ..... 317
8.1.4.2. A virtuális munka ......... 319
8.1.5. A virtuális erő és a virtuális kiegészítő munka.......................... 319
8.1.5.1. A virtuális erő ............319
8.1.5.2. A virtuális kiegészítő munka 320
8.2. A szilárdságtan munkatételei ............ 320
8.2.1. A virtuális elmozdulások tétele.....320
8.2.1.1. A virtuális elmozdulások tételének alkalmazásai.........321
Mintapéldák.....................322
Gyakorlófeladatok ...............327
8.2.2. A virtuális erők tétele.............329
8.2.2.1. A virtuális erők tételének alkalmazásai ...............330
Mintapéldák.....................331
Gyakorlófeladatok ...............336
8.3. A rugalmasságtan energiatételei..........339
8.3.1. A potenciális energia fogalma......339
8.3.1.1. A külső potenciál .........339
8.3.1.2. A belső potenciál..........339
8.3.1.3. A teljes potenciál..........340
8.3.2. A potenciális energia állandóértékűségének tétele....................340
8.3.2.1. A potenciális energia állandóértékűségi tételének alkalmazásai.......342
Mintapéldák.....................343
Gyakorlófeladatok ...............350
8.3.3. A kiegészítő potenciális energia fogalma .............................351
8.3.3.1. A külső kiegészítő potenciál ...... 351
8.3.3.2. A belső kiegészítő potenciál ..... 352
8.3.3.3. A teljes kiegészítő potenciál ...... 352
8.3.4. A kiegészítő potenciális energia minimumának tétele..................352
8.3.4.1. A kiegészítő potenciális energia minimumtételének alkalmazásai ..................353
Mintapéldák.....................354
Gyakorlófeladatok ...............360
9. KÉPLÉKENY TESTEK....................363
9.1. Képlékenységi feltételek.................363
9.1.1. Általános összefüggések...........363
9.1.2. Fémek képlékenységi feltételei .....365
9.1.2.1. A Huber-Mises-Hencky-féle képlékenységi feltétel.......365
9.1.2.2. A Tresca-féle képlékenységi feltétel ...................367
9.1.2.3. A képlékenységi feltételek összehasonlítása...........368
Mintapéldák.....................368
Gyakorlófeladatok ...............369
9.2. Anyagegyenletek ....................... 370
9.2.1. Általános összefüggések...........370
9.2.2. A Prandtl-Reuss-féle anyagegyenletek .............................374
9.2.3. A képlékenységi tényező meghatározása ............................375
9.2.4. A Lévy-Mises-féle anyagegyenletek . 376
9.2.5. A Hencky-féle anyagegyenletek .... 376
9.3. A rugalmas-képlékeny test alapegyenletei .. 378
9.3.1. A Prandtl-Reuss-féle rugalmasképlékeny test ...................379
9.3.2. A Lévy-Mises-féle merev-képlékeny test............................. 380
9.3.3. A Hencky-féle rugalmas-képlékeny test.............................380
9.3.4. Megjegyzések....................380
9.4. Szélsőértéktételek ...................... 381
9.4.1. Állapotváltozás-vizsgálat..........382
9.4.1.1. A kiegészítő potenciális energiasebesség minimumának tétele ......................382
Mintapéldák..................... 384
Gyakorlófeladatok ...............389
9.4.2. Képlékeny határállapot-vizsgálat ... 390
9.4.2.1. A statikai tétel ............ 391
9.4.2.2. A kinematikai tétel ........391
9.4.2.3. Következtetések...........393
Mintapéldák..................... 394
Gyakorlófeladatok ............... 399
9.4.3. Beállásvizsgálat ..................400
9.4.3.1. Statikai tétel ..............402
Mintapéldák.....................404
Gyakorlófeladat ................ 406
9.5. Alkalmazások ......................... 407
9.5.1. Prizmatikus rudak csavarása....... 407
9.5.1.1. Rugalmas-képlékeny állapot. 408
9.5.1.2. Képlékeny teherbírási határállapot ....................................410
Mintapéldák..........................................411
9.5.2. Vastagfalú hengerhéj ..........................412
9.5.2.1. A feszültségek meghatározása 413
9.5.2.2. Az eltolódások meghatározása ..............................................415
9.5.3. Sík alakváltozási állapot ....................416
9.5.3.1. Csúszó vonalak elmélete .... 418
Mintapéldák..........................................421
Gyakorlófeladatok ..............................423
10. EGYÉB ANYAGMODELLEK ........................424
10.1. Általános megjegyzések ..............................424
10.2. Nemlineárisán rugalmas anyagok ............424
10.2.1. Anyagtörvények ............................424
10.2.2. Rúdelem és gerenda hajlítása ... 425
10.2.3. Megjegyzések..................................426
10.3. Anizotrop anyagok ...................427
10.4. Viszkózus anyagok ......................................429
10.4.1. Anyagmodellek ..............................430
10.4.1.1. Viszkoelasztikus anyagok ....................................431
10.4.1.2. Viszkoplasztikus anyagok ....................................434
10.5. Szemcsés anyagok........................................436
10.5.1. A szemcsés anyagok általános szilárdsági tulajdonságai....................436
10.5.2. Laza szemcsés anyagok képlékenységi feltételei ..........................438
10.5.3. Kötött szemcsés anyagok képlékenységi feltételei ..........................439
10.5.3.1. Az általánosított Coulomb-féle képlékenységi feltétel .......439
10.5.3.2. Az általánosított Huber-Mises-Hencky- és
Tresca-féle képlékenységi feltételek ........... 441
Mintapéldák....................................442
Gyakorlófeladatok ........................446
11. AZ EGYENSÚLY STABILITÁSÁNAK VIZSGÁLATA ..............447
11.1. Alapfogalmak és alapelvek ............447
11.2. Merev rúd stabilitása .................450
11.3. Szilárd rúd kihajlása..................452
11.3.1. Rugalmas kihajlás.............452
11.3.2. Képlékeny kihajlás ............456
11.3.3. A különböző megtámasztási módok figyelembevétele...........456
11.3.4. Ellenőrzés és méretezés ........457
11.4. Az elmozdulások hatása tartószerkezetek erőjátékára ..................459
Mintapéldák..................462
Gyakorlófeladatok ............465
FÜGGELÉK 467
A vektorokra és tenzorokra vonatkozó néhány fogalom, jelölés és tétel ............469
1) Az indexes (tenzoriális) jelölési mód szabályai... 469
2) Tükrös tenzorok főtengelytétele ....................471
II. Síkidomok másodrendű nyomatékai ..................473
1. A másodrendű nyomatékok definíciói..........473
2. A másodrendű nyomatékokra vonatkozó alapösszefüggések................474
2.1. Az egymásrahalmozás elve ....................474
2.2. A koordinátatranszformáció hatása .. 474
2.2.1. A koordináta-rendszer eltolása ....... 474
2.2.2. A koordináta-rendszer elforgatása ......................................................475
3. A másodrendű nyomatékok meghatározása 479
3.1. Egyszerű síkidomok másodrendű nyomatékainak kiszámítása..........................479
3.2. Összetett síkidomok másodrendű nyomatékainak kiszámítása....................483
4. A másodrendű nyomatékokhoz kapcsolódó további geometriai jellemzők .......485
4.1. A tehetetlenségi sugár..............................485
4.2. A tehetetlenségi ellipszis. Antipólus, antipoláris ....................485
4.3. A belső mag..............................................487
Gyakorlófeladatok ..........................................490
III. Feladatok eredményei ........................................491
IV. Táblázatok............................................................502
Ajánlott irodalom ......................................................504

Témakörök