Számelmélet

Tartalom

a/ Tételjegyzék
1. Fejezet
Számelméleti alapfogalmak 5
Nullától különböző' szám osztóinak száma /T.1.1./ 7
Maradékos osztás /T.1.2./ 7
Egységek /T.1.3./ 9
Az oszthatóság elemi tulajdonságaira vonatkozó tételek /T.1.4.-T.1.7./ 9-11
Számrendszer felírás /T.1.8./ 12
Kitüntetett 1.n.k.o. létezése /T.1.9./ 15
A 1.n.k.o. tulajdonságairól szóló tételek /T.1.10.-T.1.11./ 17
L.k.k.t. létezése /T.1.12./ 20
Felbonthatatlan és prímszám ekvivalenciája a racionális egészeknél /T.1.13.-T.1.14./ 23
Összetett számnak van felbonthatatlan osztója /T.1.15./ 25
A számelmélet alaptétele /T.1.16./ 25
Osztó kanonikus alakja /T.1.17./ 29
Osztók száma /T.1.18./ 30
L.n.k.o. kanonikus alakja /T.1.19./ 32
L.k.k.t. kanonikus alakja /T.1.20./ 32
Relativ prim számokkal kapcsolatos tételek /T.1.21.-T.1.24./ 34
A Legendre formula /T.1.25./ 35
2. Fejezet
Kongruenciák, egy ismeretlenes lineáris kongruenciák és szimultán kongruenciák 43
Kongruencia definiciók ekvivalenciája /T.2.1./ 44
Kongruencia elemi tulajdonságairól szóló tételek /T.2.2.-T.2.10./ 45-50
Teljes maradékrendszerre vonatkozó tételek /T.2.11.-T.2.12./ 51
Kongruens számok 1.n.k.o.-ja /T.2.13./ 52
Redukált maradékrendszerre vonatkozó tételek /T.2.14.-T.2.15./ 54
Euler kongruencia tétele /T.2.16./ 56
A "kis" Fermat tétel /T.2.17./ 57
Egész együtthatós polinom kongruens számoknál való helyettesítési értékei /T.2.18./ 58
Lineáris kongruencia és lineáris diofantikus egyenlet megoldhatóságának szükséges és elégséges feltétele és a megoldások száma /T. 2.19.-T.2.20./ 60-64
Lineáris kongruencia megoldása/T.2.21./ 65
Szimultán kongruenciák megoldhatóságának szükséges és elégséges feltétele /T.2.22. / 70
3. Fejezet
Magasabbfokú kongruenciák 73
Primmodulusu kongruencia redukciója legfeljebb (p-1)-ed fokú kongruenciára /T.3.1./ 73
Korlát primmodulusu kongrencia megoldásainak számára /T.3.2./ 75
Wilson féle kongruencia tétel /T.3.3./ 77
König-Rados tétel /T.3.4.-T.3.5./ 78-83
Az x*= 1 /mod p/ kongruencia megoldásainak száma /T.3.6./ 86
A /mod p/ redukált maradékrendszer elemeinek rendjeire vonatkozó tételek /T.3.7.-T.3.11./ 89-91
/Mod p/ primitiv gyökre vonatkozó tételek /T.3.12.-T.3.13./ 93-94
/Mod p/ binom kongruencia megoldhatóságának szükséges és elégséges feltétele. /T.3.14./ 95
/Mod p/k-adik hatványmaradékra szükséges és elégséges feltétel, a k-adik hatványmaradékok száma, ill. összege /T.3.15.-T.3.17./ 97-99
4. Fejezet
Másodfokú kongruenciák 101
/Mod p/ másodfokú binom kongruencia megoldhatóságának szükséges és elégséges feltétele és a megoldások száma /T.4.1./ 101
Szükséges és elégséges feltétel kvadratikus maradékra, a kvadratikus maradékok száma /T.4.2./ 102
A másodfokú kongruenciákra vonatkozó Euler-lemma /T.4.3./ 102
A (-1/p) Legendre szimbólumra vonatkozó tételek /T.4.4.-T.4.6./ 104-105
A Legendre szimbólum értéke /T.4.7./ 106
Az x2 = -1 /mod p/ megoldásai /T.4.8./ 106
A másodfokú kongruenciákra vonatkozó Gauss lemma /T.4.9./ 107
A (2/p) legendre szimbólum értéke /T.4.10./ 110
A kvadratikus reciprocitási tétel /T.4.11./ 112
Dirichlet tétele a számtani sorozatok prímszámairól /T.4.12./ 116
A (mod p) legkisebb primitív gyök nem korlátos /T.4.13./ 117
Primhatványmodulusu másodfokú kongruenciák /T.4.14.-T.4.16./ 118-124
5. Fejezet
Elemi prímszámelmélet 127
Felső korlát egy összetett szám legkisebb prímosztójára /T.5.1./ 127
A prímszámok száma végtelen /T.5.2./ 129
Felső korlát az n-ik prímszámra /T.5.3./ 129
Hézag a prímszámok között /T.5.4./ 130
A 1/p sor divergens /T.5.5./ 132
Végtelen sok izolált prim van /T.5.6./ 138
A prímszámok sorozata 0 sűrűségű /T.5.7./ 139
Felső korlát az x-ig terjedő prímszámok számára; Tx-re /T.5.8./ 140
Csebisev tétel /T.5.9./ 144
Alsó korlát T(x)-re /T.5.10./ 148
A nagy prímszámtétel /T.5.11./ 150
A Csebisev tétel általánosítása /T.5.12./ 150
Aszimptotika a Elogp/p sorra /T.5.13./ 153
Aszimptotika a E1/p sorra /T.5.14./ 156
A Dirichlet tétel néhány speciális esete /T.5.15.-T.5.17./ 161-162
6. Fejezet
Számelméleti függvények 169
Multiplikativ és additív függvények az n=1 helyen /T.6.1.-T.6.2./ 170
Multiplikativ és additív függvényt elegendő prímszám hatvány helyen megadni /T.6.3/a -T.6.3/b/ 170
Multiplikativ és additív függvényekre vonatkozó fontosabb tételek /T.6.4.-T.6.6./ 171
Fontosabb multiplikativ függvények /T.6.7./ 176
Fontosabb additív függvények /T.6.8./ 179
A (n), (n), (n) függvények explicit alakja /T.6.9.-T.6.11./ 180-182
A d(n) függvényre vonatkozó tételek /T.6.12.-T.6.13./ 187
A d{n) függvény középértéke/T.6.14.-T.6.15./ 189-191
A (n) függvény középértéke /T.6.16./ 196
A (n), v(n), x(n) függvények középértéke/T.6.17.-T.6.19./ 203
Additív függvényekre vonatkozó Erdős-tétel /T.6.20./ 204
A (n) függvény összegzési függvénye /T.6.21./ 208
A Moebius féle megforditási formula /T.6.22./ 210
Multiplikativ függvény összegzési és megforditási függvénye /T.6.23.-T.6.24./ 212
A Smith féle determináns /T.6.25./ 214
A dk(n) függvény explicit alakja /T.6.26./ 220
7. Fejezet
Additív számelmélet 225
Partíció tételek /T.7.1.-T.7.3., T.7.6./ 226-240
A "pénzváltási probléma" /Generátor függvény/ /T.7.4./ 231
Laguerre tétel /T.7.5./ 233
Explicit formula a Fibonacci számokra /T.7.7./ 241
Bizonyos additív előállítások megoldásszámaira vonatkozó ekvivalencia tételek /T.7.8.-T.7.9./ 244-246
A számrendszer fogalmának általánosítása /T.7.10./ 248
Gauss egészekre vonatkozó tételek. /Egységek, oszthatóság, norma, euklideszi algoritmus, alaptétel, G. primek/ /T.7.11.-T.7.23./ 253-268
Az x2+y2 = n diofantikus egyenlet megoldásainak száma /T.7.24./ 272
A E1/p divergenciája/T.7.25./ 275
Gauss tétele a három négyzetszám összegéből való előállíthatóságra /T.7.26./ 278
Lagrange tétele a négy négyzetszám összegéből való előállíthatóságra /T.7.27./ 279
Negyedik hatványok összegéből való előállítás. Liouville tétel /T.7.28.-T.7.29./ 288-289
A Fermat-féle sejtés n=4 esete /T.7.30./ 298
A Pell-féle egyenlet /T.7.31.-T.7.32./ 302-308
8. Fejezet
Diofantikus approximáció 313
Valós szám approximációja racionális p/q számokkal 1/q2 pontossággal /T.8.1.-T.8.4./ 314-319
Két ill. több irracionális szám szimultán approximációja közös nevezőjű racionális számokkal /T.8.5.-T.8.6./ 320-324
Az approximáció pontosságának javítási lehetőségei egy ill. több irracionális szám szimultán approximációjánál /T.8.7.-T.8.9./ 326-329
A 2 approximációja /T.8.10./ 330
Minkowski számgeometriai alaptétele /T.8.11./ 334
Irracionális szám approximációja p/q racionális számokkal 1/2 1/q2 pontossággal /T.8.12./ 341
Az approximációnál fellépő legjobb konstans /T.8.13./ 343
Két irracionális szám szimultán approximációja q nevezőjű törtekkel 2/3.1/q3 pontossággal /T.8.14./ 344
4k+1 alakú prímszám előállíthatósága két négyzetszám összegéből /T.8.15./ 347
Diofantikus egyenlőtlenségrendszer vizsgálata /T.8.16./ 348
Irracionális oc szám egész számú többesei /mod 1/ mindenütt sűrűn vannak/T.8.17./ 354
Diofantikus egyenlőtlenségrendszerekre vonatkozó Kronecker tétel/T.8.18./ 360
Weyl tétele a (mod 1) egyenletes eloszlásra vonatkozóan /T.8.19./ 367
Irracionális <x szám egész-számu többesei (mod 1) egyenletes eloszlásúak /T.8.20./ 374
9. Fejezet
Algebrai és transzcendens számok 383
Algebrai szám kanonikus polinomja egyértelműen meghatározott irreducibilis polinom /T.9.1.-T.9.2./ 384-385
Az összes algebrai számok számtestet alkotnak /T.9.3./ 337
Algebrai szám előállítása algebrai egész és racionális egész hányadosaként /T.9.4./ 391
Az összes algebrai egész szám gyűrűt alkot /T.9.5./ 391
Algebrai egész szám konjugáltja algebrai egész /T.9.6./ 392
Algebrai együtthatós polinomok gyökei /T.9.7./ 393
Algebrai szám tetszőleges racionális hatványa is algebrai /T.9.8./ 393
A transzcendens számokra vonatkozó Gelfond-Schneider tétel /T.9.9./ 394
Az algebrai egész együtthatós polinomokra vonatkozó Kronecker tétel /T.9.10./ 396
Az algebrai számok approximációjára vonatkozó Liouville tétel /T.9.11.-T.9.12./ 401
Liouville féle konstrukció transzcendens számra /T.9.13./ 404
Az e szám irracionális /T.9.14./ 406
Az e szám transzcendens /T.9.15./ 407
Komplex algebrai szám /T.9.16./ 420
Thue tétele algebrai számok approximációjáról /T.9.17./ 421
A diofantikus egyenletekre vonatkozó Thue-Siegel tétel /T.9.18. / 421
10. Fejezet
A racionális számtest egyszerű algebrai bővítése 420
Euler egészekre vonatkozó tételek. /Oszthatóság, egységek, euklideszi algoritmus, alaptétel, E. prímszámok /T.10.1.-T.10.8./ 429-434
A Fermat-féle sejtés n=3 esete /T.10.9./ 435
Az a+b 2 alakú egészekre vonatkozó tételek /T.10.10.-T.10.15./ 449
Az a+b-5 alakú egészekre vonatkozó tételek /T.10.16.-T.10.18./ 451-454
A racionális számtest egyszerű algebrai bővítésének elemei számtestet alkotnak /R/ /T.10.19./ 458
Az R elemeinek kanonikus alakja /T.10.20./ 459
Lineárisan független elemek R /T.10.21./ 462
R elemei algebrai számok /T.10.22./ 466
N-ed fokú R generálható bármely n-ed fokú elemével /T.10.23./ 467
Az R-beli elemek konjugáltjai és relatív konjugáltjai közötti kapcsolat /T.10.24./ 469
Kapcsolat az R fokszáma és elemeinek fokszáma között /T.10.25./ 471
Az összes algebrai számok teste nem algebrai bővítése a racionális testnek /T.10.26./ 472
R-beli elemek normájára vonatkozó tételek /T.10.27.-T.10.28./ 474-475
R-beli elemek diszkriminánsára vonatkozó tételek /T.10.29.-T.10.31./ 477-478
R-ban létezik bázis /T.10.32./ 481
11. Fejezet
Dedekind féle ideálelmélet 485
Az R algebrai egészei által generált ideálok legfontosabb tulajdonságai /T.11.1.-T.11.3./ 490-492
Főideálok alapvető tulajdonságai /T.11.4.-T.11.5./ 494-495
Ideálok szorzatára vonatkozó tételek /T.11.6.-T.11.11./ 496-499
Főideálok oszthatósága /T.11.12./ 500
Az R ideáljaira vonatkozó Kronecker tétel /T.11.13./ 501
Egyszerűsítés /T.11.14./ 504
Oszthatósági és tartalmazási relációk kapcsolata ideáloknál /T.11.15./ 505
Minden ideál tartalmaz természetes számot és minden természetes szám eleme egy ideálnak /T.11.16.-T.11.17./ 507-508
(0)-tól különböző ideál osztóinak száma véges /T.11.18./ 509
Legnagyobb közös osztó létezése /T.11.19./ 510
Primideál és felbonthatatlan ideál ekvivalenciája /T.11.20./ 512
Minden ideálnak van primideál osztója /T.11.21./ 513
A primideálok száma végtelen /T.11.22./ 514
Az ideálelmélet alaptétele /T.11.23./ 515
Elégséges feltétel arra, hogy R minden ideálja főideál legyen /T.11.24./ 517
Bármely ideál generálható legfeljebb két elemmel /T.11.25./ 518
Ideál modulusra vonatkozó maradékosztályok száma véges /T.11.26. / 522
Az ideálosztályokkal kapcsolatos tételek /T.11.27.-T.11.30./. 524-525

Témakörök