Numerikus módszerek

Tartalom

Előszó 3
1. Bevezetés 5
1. rész. Egyenletek 6
2. Egyismeretlenes egyenletek 6
2.1. Egyismeretlenes egyenletekről általában 6
2.2. Közelítő megoldás grafikus módszerrel 8
2.3. A Newton-Raphson-módszer 10
2.4. Magasabb rendű Newton-féle finomítás 13
2.5. Konvergencia-kérdések 15
2.6. A lineáris interpoláció (regula falsi) 18
2. 7. Az iterációról általában 20
3. Algebrai egyenletek 22
3. 1. Az algebrai egyenletekről általában 22
3.2. A Horner-féle elrendezés 24
3.3. A Horner-féle elrendezés általánosítása 25
3.4. A Birge-Vieta-módszer 27
3. 5. A Bairstow-módszer 30
3.6. Komplex együtthatós algebrai egyenletek megoldása 37
3.7. Minimalizálási módszerek (Brooker-módszer) 38
4. A stabilitás problémája 42
4.1. A probléma megfogalmazása 42
4.2. A Hurwitz-féle determináns-kritérium 44
4.3. A Routh-féle kritérium 46
4.4. A "helygörbe"-kritérium 49
4.5. A "hézag"- és a "helyzet"-kritérium 52

II. rész. Interpoláció 55
5. Az interpolációról általában 55
5.1. A Lagrange-féle interpoláció 56
5.2. A Newton-féle interpolációs képlet 61
5.3. A maradéktag 64
6. Speciális interpolációs képletek 65
6.1. Differenciatáblázatok 65
6.2. A Gregory-Newton-féle interpolációs képletek 71
6.3. A Gauss-féle interpolációs képletek 73
6.4. Az Everett-Laplace-féle interpolációs képlet 75
6.5. A Stirling- és Bessel-féle interpolációs képletek 79
7. Numerikus integrálás 81
7.1. Középérték képletek 81
7.2. A trapéz- és a Simpson-szabály 83
7.3. A Simpson-módszer pontossága 87
7.4. A 3/8-szabály és kombinációja a Simpson-szabállyal
Integrálfüggvények kiszámítása 89
7.5. Az integrálási képletek általánosítása 93
7.6. Differencia-képletek 96
7.7. A deriváltak felhasználása 102
7.8. Többszörös integrálás 107

III. rész. Differenciálegyenletek numerikus megoldása 113
8. Bevezetés 113
8.1. Általános megjegyzések 113
8.2. Elsőrendű differenciálegyenletek 114
8.3. Az Euler-Cauchy-féle módszer 121
8.4. A megoldás pontossága 123
8.5. A trapéz-szabály. Iteráció 126
8.6. Másodrendű differenciálegyenletek 130
9. Differencia-módszerek 134
9.1. A Simpson-szabály 135
9.2. A numerikus stabilitás problémája 138
a) A differenciálegyenlet stabilitása 139
b) A közelítő integrálási módszerek stabilitása 140
9.3. Numerikusan stabil integrálási képletek 143
9.4. Kezdeti számítások 146
9.5. Deriváltakat tartalmazó integrálási képlétek. Differenciálegyenlet-rendszerek 150
9.6. Másod- és magasabb rendű differenciálegyenletek megoldása 151
10. A Runge-Kutta-eljárás 159
10. 1. Elsőrendű differenciálegyenletek megoldása Runge-Kutta-módszerrel 159
10.2. A Runge-Kutta-módszer pontossága. A lépésköz megválasztása 165
10.3. A Nyström-eljárás. (Az RK-módszer alkalmazása
másodrendű differenciálegyenletekre.) 171
10.4. Az RK-módszer alkalmazása differenciálegyenlet-rendszerek megoldására 179
Irodalom 184

Témakörök