Parciális differenciálegyenletek I-II.

Tartalom

I. kötet:
I. FEJEZET. ALAPVETŐ DEFINÍCIÓK ÉS PÉLDÁK 3
1. § Bevezetés 3
2. § A parciális differenciálegyenlet fogalma 6
3. § Fizikai példák 9
4. § Néhány elemi úton megoldható probléma 15
5. § Feladatok 21

II. FEJEZET. ELSŐRENDŰ PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 23
1. § Elsőrendű kvázilineáris differenciálegyenletek 23
2. § Elsőrendű homogén lineáris parciális differenciálegyenletek általános megoldása 28
3. § Kvázilineáris differenciálegyenletek általános megoldása 38
4. § Cauchy-féle vagy kezdeti érték feladat elsőrendű
kvázilineáris differenciálegyenletekre 41
5. § Két független változó tartalmazó általános elsőrendű parciális differenciálegyenlet 47
6. § Általános elsőrendű parciális differenciálegyenletek 58
7. § Általános elsőrendű parciális differenciálegyenletekre vonatkozó Cauchy-féle
feladat 68
8. § Teljes integrál 80
9. § Hamilton-Jacobi-féle parciális differenciálegyenlet 90
10. § Szimultán parciális differenciálegyenlet-rendszer két független változóval. A Pfaff-féle differenciálegyenlet 95
11. § Feladatok 101

III. FEJEZET. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS ÉS KVÁZILINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK OSZTÁLYOZÁSA ÉS KANONIKUS ALAKJA. A CAUCHY-FÉLE FELADAT KITŰZÉSE MAGASABB RENDŰ PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEKRE 117
1. § Másodrendű parciális differenciáloperátorok osztályozása 117
2. § Állandó együtthatós másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek kanonikus alakja 119
3. § Főrészében lineáris másodrendű differenciálegyenletek kanonikus alakja két független változó esetén 126
4. § A Cauchy-féle feladat kitűzése 134
5. § Feladatok 139

IV. FEJEZET. HIPERBOLIKUS TÍPUSÚ MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK KÉT FÜGGETLEN VÁLTOZÓ MELLETT 148
1. § Goursat-féle probléma 148
2. § Cauchy-féle feladat 155
3. § A Cauchy-féle feladat megoldása állandó együtthatós esetben 170
4. § Feladatok 175

V. FEJEZET. CAUCHY-FÉLE FELADAT LINEÁRIS ÁLLANDÓ EGYÜTTHATÓS PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEKRE 191
1. § A feladat kitűzése és megoldása az általános esetben 191
2. § Cauchy-féle másodrendű állandó együtthatós parabolikus egyenletre 198
3. § Cauchy-feladat másodrendű állandó együtthatós
hiperbolikus differenciálegyenletre 211
4. § Feladatok 233

A kitűzött feladatok megoldása 252

II. kötet:
VI. FEJEZET. A LAPLACE ÉS POISSON EGYENLETRE VONATKOZÓ PEREMÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSÁNAK UNICITÁSA 3
1. § Elliptikus egyenletre vonatkozó peremérték feladatok kitűzése 3
2. § Green-féle formulák 6
3. § Harmonikus függvények 15
4. § A Dirichlet-féle feladat unicitása 23
5. § A Neumann-féle feladat megoldásának unicitása a Poisson-egyenlet esetében 30
6. § Feladatok 35

VII. FEJEZET. GREEN-FÉLE FÜGGVÉNY A DIRICHLETFELADAT ESETÉBEN 43
1. § A Green-függvény definíciója és alaptulajdonságai 43
2. § Green-függvény és a Dirichlet-feladat megoldása gömb esetén 50
3. § Egyszeresen összefüggő síktartományok Green-függvénye 56
4. § Feladatok 58

VIII. FEJEZET. POTENCIÁLOK ALKALMAZÁSA A POISSONEGYENLETRE VONATKOZÓ PEREMÉRTÉKFELADATOK MEGOLDÁSÁRA 64
1. § Potenciál típusú integrál operátorok 64
2. § Térfogati potenciál 82
3. § Kettősréteg potenciálja 88
4. § Egyszerű réteg potenciálja 101
5. § Peremérték feladatok visszavezetése integrál egyenletre,
a megoldás egzisztenciája 106
6. § Feladatok 120

IX. FEJEZET. ELLIPTIKUS TÍPUSÚ DIFFERENCIÁLOPERÁTOROK SAJÁTÉRTÉKEI ÉS SAJÁTFÜGGVÉNYEI. A VÁLTOZÓK SZÉTVÁLASZTÁSÁNAK MÓDSZERE 130
1. § A sajátérték probléma általános jellemzői elliptikus differenciáloperátorok esetén 130
2. § A Laplace-operátor sajátértékei és sajátfüggvényei 136
3. § Peremérték feladatok megoldása az L operátor sajátértékeinek és sajátfüggvényeinek ismeretében 153
4. § Gömbfüggvények 157
5. § Feladatok 176

X. FEJEZET. u+ku =f EGYENLET 187
1. § Peremérték problémák megoldásának unicitása 187
2. § Peremérték problémák visszavezetése integrálegyenletre 200
3. § Feladatok 206

XI. FEJEZET. VEGYES TÍPUSÚ FELADATOK 212
1. § Parabolikus típusú egyenlet 212
2. § Hiperbolikus típusú egyenlet 219
3. § Feladatok 229

A kitűzött feladatok megoldása 237

Témakörök