Komplex függvénytan

Tartalom

Bevezetés 9
Első fejezet
KOMPLEX FÜGGVÉNYTAN ELŐKÉSZÍTÉSE
1. g Komplex számok és számhalmazok 11
1.1. Komplex számok végtelennel való kibővítése 11
1.2. Komplex számsík és komplex számgömb 11
1.3. Metrika a komplex síkon és gömbön 15
1.4. Komplex számhalmazok 17
1.5. Kidolgozott feladatok 18
2. § Komplex számsorozatok és sorok 20
2.1. Komplex elemű számsorozatok 20
2.2. Komplex tagu számsorok 23
2.3. Kidolgozott feladatok 24
3„5 Görbék és tartományok a komplex síkon 27
3.1. Síkgörbék és tartományok értelmezése, komplex alakú
megadása 27
3.2. Egyenesek, félsíkok, szögterek 32
3.3. Körök, kör-belsők, kör-külsők 33
3.4. Kidolgozott feladatok 35
Második fejezet
KOMPLEX VÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
1. Komplex függvények és körükben értelmezett műveletek 39
1.1. Komplex függvények és relációk 39
1.2. Algebrai műveletek komplex függvényekkel. Összetett függvény, inverz függvény 42
1.3. Kidolgozott feladatok 44
2. Komplex függvények határértéke 49
2.1. Határérték a végesben és a végtelenben 49
2.2. Algebrai műveletek és határértékképzés. Összetett függvény
határértéke 50
2.3. Kidolgozott feladatok 53
3. Komplex függvények folytonossága 55
3.1. Folytonosság, egyenletes folytonosság 55
3.2 Folytonos komplex függvényekre vonatkozó néhány tétel 58
3.3. Algebrai műveletek folytonos komplex függvényekkel. Összetett függvény és Inverz függvény folytonossága 59
3.4. Kidolgozott feladatok 59
Harmadik fejezet
KOMPLEX FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA
1.1 Komplex függvények differenciálhatósága 63
1.1. Pontbeli differenciálhatóság. Differenciál 63
1.2. Haimazbeli differenciálhatóság.Deriváltfüggvény 66
1.3. Differenciálhatóság néhány feltétele 66
1.4. Differenciálási szabályok. Összetett és inverz függvény
differenciálása 70
1.5. Magasabbrendű deriváltak. L' Hospital-tétel 72
1.6. Kidolgozott feladatok 74
2. Komplex függvények regularitása 78
2.1. Pontbeli és halmazbeli regularitás 78
2.2. Reguláris komplex függvény és harmonikus valós függvény
kapcsolata. Harmonikus társfüggvény 78
2.3. Reguláris komplex függvény és vektor függvény kapcsolata.
Komplex potenciái 82
2.4. Kidolgozott feladatok 86
Negyedik fejezet
KOMPLEX FÜGGVÉNYEK ÁLTAL LÉTESÍTETT LEKÉPEZÉSEK.
ELEMI FÜGGVÉNYEK
1 Kölcsönösen egyértelmű leképezések 96
1.1. Sima görbék és azok komplex függvénnyel történő kölcsönösen egyértelmű leképezése 96
1.2. Komplex függvények és relációk által létesített kölcsönösen
egyértelmű és folytonos leképezések. Riemann-levelek 98
1.3. Kidolgozott feladatok 101
2. Konform leképezések 106
2.1. Lokális konformitás 106
2.2. Tartományok konform leképezése 109
2.3. Kidolgozott feladatok 112
3. Lineáris leképezések 16
3.1. Lineáris egész függvény leképezése 116
3.2. Reciprok függvény leképezése. 118
3.3. Általános lineáris törtfüggvény leképezése 123
3.4. Lineáris törtfüggvény által létesített néhány speciális
leképezés 130
3.5. Kidolgozott feladatok 135
4. 8 Elemi függvények és leképezésük 142
4.1. Hatványfüggvény 142
4.2. Gyökfüggvény 144
4.3. Exponenciális függvény 147
4.4. Logaritmus függvény 153
4.5. Trigonometrikus függvények 157
4.6. Arcus-függvények 167
4.7. Hiperbolikus függvények 170
4.8. Area-függvények 171
4.9. Általános hatványfüggvény 173
4.10. Kidolgozott feladatok 177
Ötödik fejezet
KOMPLEX FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA
1.5 Komplex vonalintegrálok 184
1.1. Vonalintegrál (határozott integrál) értelmezése 184
1.2. Vonalintegrál kiszámítása 185
1.3. Vonalintegrál néhány tulajdonsága 188
1.4. Az integrálszámítás alaptétele: Cauchy-integrál-tétel 189
1.5. Cauchy-integrál-tétel néhány következménye 192
1.6. Integrálfüggvény, primitív függvény, határozatlan integrál 196
1.7. (z-a) hatványainak integrálása 203
1.8. Kidolgozott feladatok 205
2. Reguláris komplex függvények integrálelőállításai 211
2.1. Cauchy-integrál-formula 211
2.2. Magasabbrendű deriváltak létezése és integrál-előállítása.
Általánosított Cauchy-integrál-formula 214
2.3. Cauchy-integrál-formula néhány következménye:
a) Cauchy-egyenlőtlenségek
(Deriváltak abszolutértékének becslése) 218
b) Liouville-tétel
(Mindenütt reguláris függvény egy tulajdonsága) 219
c) Gauss-féle középértéktétel 220
d) Maximum-minimum tétel 221
2.4. Kidolgozott feladatok 223
Hatodik fejezet
Komplex függvények sora 227
1. Komplex tagú függvénysorok 228
1.1 Általános komplex függvénysorok 228
1 2. Komplex tagú hatványsorok 233
3.3. Kidolgozott feladatok 241
1.4 Komplex függvények hatványsoros előállítása 246
2. 1 Taylor-sor. Körtartományon reguláris komplex függvény
hatványsoros előállítása 246
2.2. Laurent-sor. Gyürütartományon reguláris komplex függvény
hatványsoros előállítása 255
2.3. Laurent sor és Fourier-sor kapcsolata 261
2.4. Kidolgozott feladatok 263
3. Analitikus komplex függvények és azok néhány tulajdonsága 270
3.1, Analitikusság-regularitás 270
3.2, Analitikus függvények azonossága 271
3.3, Analitikus folytatás 276
3.4 Analitikus függvények zérushelye 280
3.5. Analitikus függvények izolált szinguláris helyei a végesben 284
3.6. Analitikus függvények izolált szinguláris helyei a végtelenben 294
3.7 Kidolgozott feladatok 296
Hetedik fezete
RESIDUUM-ELMÉLET ÉS NÉHÁNY ALKALMAZÁSA 303
1. Analitikus függvények izolált szinguláris pontbeli residuuma 304
1.1. A residuum értelmezése 304
1.2. A residuum meghatározásának néhány módja
1.3. Komplex integrálók meghatározása residuummal 308
14. Kidolgozott feladótok 310
2. Valós integrálok kiszámítása residuum-tétellel 314
2.1. R (cos x, sin x) dx típusú integrálok kiszámítása 314
2.2. f(x)dx tipusu integrálok kiszámítása 315
2.3. f(x) e-^^ Xdx tipusu integrálok kiszámft$psv
Jordpn-lemnnft 320
2.4. R(x). f(x)dx típusu integrálok kiszámítása, ha az integrálandó függvény analitikus folytatása többértékű reláció 323
2.5. Kidolgozott feladatok 325
3. A residuum-elmélet alkalmazása zérushelyek és pólusok
vizsgálatára 334
3.1. Zérus helyek és pólusok rendjének meghatározása. Logaritmikus residuum 334
3.2. Zérushelyek és pólusok számának meghatározása (z) dz tipusu integrálokkal 336
3.3. Zérushelyek és pólusok számának meghatározása a függvény
argumentum-változása alapján. Argumentum-elv 339
3.4. Zérushelyek és pólus helyek vizsgálata. Rouché-tétel -341
3.5. Kidolgozott feladatok 344

Témakörök