Vektoralgebra/Mátrixok, determinánsok/Többváltozós függvények

Tartalom

Előszó 5
Tartalomjegyzék 7
I. fejezet
Lineáris algebra 11
1. Vektoralgebra 13
1.1. A vektor értelmezése 13
1.2. Vektorok megadása koordinátákkal 14
1.3. Műveletek vektorokkal 17
1.3.1. Összeadás, kivonás 17
1.3.2. Vektor szorzása számmal 19
1.3.3. Skaláris szorzás 21
1.3.4. Vektoriális szorzás 23
1.3.5. Kétszeres vektoriális szorzat 26
1.3.6. Vegyes szorzat 27
1.3.7. Vektorok lineáris függetlensége 29
1.3.8. Példák az 1.1.-1.3. fejezetekhez 30
1.4. Néhány geometriai alkalmazás 39
1.4.1. Két pont távolsága 39
1.4.2. Vektor vetületvektora 39
1.4.3. Az egyenes egyenlete 40
1.4.4. A sík egyenlete 42
1.4.5. Egyenes és sík döféspontja 45
1.4.6. Pont és sík távolsága 46
1.4.7. Két sík szöge 47
1.4.8. Két egyenes szöge 48
1.4.9. Egyenes és sík szöge 48
1.4.10. Pont és egyenes távolsága 49
1.4.11. Két egyenes távolsága 50
1.4.12. Két sík metszésvonala 51
1.4.13. Példák 53
1.5. Az rc-dimenziós vektor fogalma 58
1.5.1. Műveletek rc-dimenziós vektorokkal 59
1.6. Feladatok (Megoldások) 60
2. Mátrixok és determinánsok
2.1. A mátrix értelmezése 75
2.1.1. Mátrixok egyenlősége 76
2.1.2. Mátrixok összeadása 76
2.1.3. Mátrixok különbsége 77
2.1.4. Mátrix szorzása skalárral 78
2.1.5. Mátrix szorzása mátrixszal 79
2.1.6. Átlós (diagonális) mátrix 83
2.1.7. Mátrix nyoma 84
2.1.8. Egységmátrix 84
2.1.9. Zérusmátrix (nullamátrix) 85
2.1.10. Mátrix transzponáltja 85
2.1.11. Szimmetrikus mátrix 87
2.1.12. Ferdén szimmetrikus mátrix 88
2.1.13. Mátrix konjugáltja 89
2.1.14. Hermitikus és ferdén hermitikus mátrix 90
2.1.15. Unitér mátrix 91
2.1.16. Háromszögmátrix 92
2.1.17. Mátrix blokkokra bontása (particionálása) 92
2.1.18. Sormátrix, oszlopmátrix 93
2.1.19. Példák 96
2.2. A determináns értelmezése 102
2.2.1. Minor és aldetermináns 103
2.2.2. Determináns Laplace-féle kifejtése 104
2.2.3. A determináns tulajdonságai 106
2.2.4. Lineáris függőség és függetlenség 111
2.2.5. Példák 112
2.2.6. Négyzetes mátrix inverze 114
2.2.7. Mátrix rangja 122
2.3. Lineáris egyenletrendszerek 128
2.3.1. A lineáris egyenletrendszer fogalma 128
2.3.2. A lineáris egyenletrendszer megoldhatósága 131
2.3.3. Megoldási módszerek 133
A) Cramer-szabály 133
B) A Gauss-fé\e módszer 138
C) Homogén lineáris egyenletrendszerek 140
D) Megoldás bázistranszformációval 142
E) Gyengén meghatározott egyenletrendszerek 146
2.3.4. Példák 150
2.4. A mátrix sajátértékei, sajátvektorai és
minimálpolmomja 156
2.4.1. Tételek és példák 158
2.4.2. Minimálpolinom 163
2.4.3. Feladatok (Megoldások) 166
2.5. Tenzorok 177
2.5.1. A tenzor fogalma 177
2.5.2. Műveletek tenzorokkal 180
2.5.3. A főtengelytétel 181
2.5.4. Feladatok (Megoldások) 185
II. fejezet
A többváltozós függvény 187
3.1. A két- és többváltozós függvény fogalma 189
3.1.1. Példák 191
3.2. Határérték, folytonosság 198
3.2.1. Példák 201
3.3. A kétváltozós függvény ábrázolása 203
3.3.1. Példák 207
3.3.2. Felületek megadása 213
3.3.3. Nevezetesebb felületek 215
3.3.4. Feladatok (Megoldások) 222
3.3.5. Másodrendű felületek 230
3.3.6. Általános helyzetű másodrendű felület
vizsgálata 236
3.3.7. Feladatok (Megoldások) 249
3.4. Felületi görbék 252
3.5. Többváltozós függvények deriválása 257
3.5.1. Parciális differenciálhányados 257
3.5.2. Feladatok (Megoldások) 260
3.5.3. Magasabbrendű deriváltak 266
3.5.4. Teljes differenciál 270
3.5.5. Felület érintősíkja 275
3.5.6. Összetett függvény deriválása 280
3.5.7. Implicit függvény deriválása 284
3.5.8. Paraméteres alakban adott függvény deriválása 286
3.5.9. Az iránymenti derivált 289
3.5.10. A kétváltozós Taylor-formula 293
3.5.11. Feladatok (Megoldások) 295
3.5.12. Feltétel nélküli szélsőérték 315
3.5.13. Feltételes szélsőérték 321
3.5.14. Feladatok (Megoldások) 324
III. fejezet
A kettős integrál 337
4.1. A kettős integrál értelmezése 339
4.1.1. A kettős integrál kiszámítása derékszögű, polár- és görbevonalú koordinátarendszerben 348
A) Derékszögű koordináták használata 348
B) Polárkoordináták bevezetése 372
C) Általános görbevonalú koordináták használata 375
4.1.2. Feladatok (Megoldások) 377
4.2. A kettős integrál alkalmazásai 383
4.2.1. Területszámítás 383
4.2.2. Térfogatszámítás 385
4.2.3. Felszínszámítás 389
4.2.4. Feladatok (Megoldások) 392
4.2.5. Mechanikai alkalmazások 420
A) Homogén síkrész statikai nyomatéka 420
B) A súlypont koordinátái 421
C) Homogén síkrész tehetetlenségi nyomatéka 424
4.2.6. Feladatok (Megoldások) 426
IV. fejezet
A hármas integrál 441
5.1. A hármas integrál értelmezése 443
5.2. A hármas integrál kiszámítása 445
5.2.1. Derékszögű koordinátarendszer 445
5.2.2. Görbevonalú koordinátarendszer 448
A) Hengerkoordináták bevezetése 448
B) Gömbi koordináták bevezetése 451
5.3. A hármas integrál alkalmazásai 453
5.3.1. Térfogatszámítás 453
5.3.2. Mechanikai alkalmazások 459
5.4. Feladatok (Megoldások) 462

Témakörök