Lineáris algebra

Tartalom

ELŐSZÓ 5
TARTALOMJEGYZÉK 7
JELEK ÉS RÖVIDÍTÉSEK 11
Első fejezet 15
Bevezetés a lineáris algebra elemeibe 15
1.1 Algebrai struktúrák 15
1.2 A mátrix értelmezése 20
1.2.1 Példák mátrixokkal 20
1.2.2 A mátrix általános értelmezése 24
1.2.3 Speciális mátrixok 31
1.3 Műveletek mátrixokkal 37
1.3.1 Mátrixok összeadása és számmal való szorzása 37
1.3.2 Mátrixok szorzása 44
1.3.3 Hipermátrixok összege, különbsége, szorzata 56
1.3.4 Mátrixok hatványa, mátrixpolinom 58
1.3.5 A mátrixszorzat gyakorlati kiszámítása 63
1.3.6 Feladatok 65
1.4 A determináns 68
1.4.1 A determináns kifejtése 71
1.4.2 Minor és algebrai komplementum 74
1.4.3 A determináns alaptulajdonságai 80
1.4.4 Feladatok 91
1.5 A mátrix rangja 94
1.5.1 Elemi transzformációk 97
1.5.2 A mátrix kanonikus és normál alakja 100
1.5.3 Elemi mátrixok 104
1.5.4 Feladatok 107
1.6 A mátrix adjungáltja és inverze 109
1.6.1 Négyzetes mátrix adjungáltja 109
1.6.2 Négyzetes mátrix inverze 111
1.6.3 A mátrix jobb és bal oldali inverze 122
1.6.4 Hipermátrix (blokkosított mátrix) inverze 124
1.6.5 Feladatok 129
1.7 Sor- és oszlopmátrixok 131
1.7.1 A sor-és oszlopmátrixok függősége 132
1.7.2 A sor- és oszlopmátrixok rangja és bázisa 137
1.7.3 Feladatok 143
MÁSODIK FEJEZET 145
Lineáris egyenletrendszerek 145
2.1 Alapfogalmak 145
2.2 A lineáris egyenletrendszer megoldása 147
2.2.1 Az inhomogén lineáris egyenletrendszer 156
2.2.2 A homogén lineáris egyenletrendszer 161
2.2.3 Mátrixegyenletek 165
2.2.4 Feladatok 167
Harmadik fejezet 169
Számtest feletti lineáris terek 169
3.1 Az n-dimenziós vektorok 169
3.1.1 A vektorrendszer függősége és rangja 172
3.2 A számtest feletti vektortér 176
3.2.1 Dimenzió, altér 177
3.2.2 Bázis 179
3.2.3 Kapcsolat lineáris terek között 183
3.2.4 Vektorok koordinátái bázisban 187
3.3 Lineáris transzformációk 191
3.3.1 A mátrix nullitása 197
3.4 Az euklideszi tér 203
3.4.1 A Schwarz- és a Cauchy-féle egyenlőtlenség 206
3.4.2 Ortogonalitás és bázis 209
3.4.3 Ortonormált bázis előállítása 214
3.4.4 Ortogonális és unitér mátrixok 217
3.4.5 Lineáris alak 221
3.4.6 Feladatok 224
Negyedik fejezet 229
Bilineáris és kvadratikus alakok 229
4.1 A bilineáris alak 229
4.1.1 A bilineáris alak fogalma 229
4.1.2 Báziscsere és kanonikus alak 231
4.1.3 Kogradiens és kontragradiens transzformáció 235
4.1.4 A szimmetrikus és hermitikus bilineáris alak 239
4.2 Kvadratikus alakok 243
4.2.1 A négyzetösszeggé alakítás módszerei 246
4.2.2 Sylvester-féle tehetetlenségi tétel 250
4.2.3 Definit és szemidefmit kvadratikus alakok és mátrixok 253
4.2.4 A Gram-féle mátrix 259
4.2.5 Hermite-féle kvadratikus alak 264
4.2.6 Feladatok 266
Ötödik fejezet 269
A mátrix karakterisztikus értékei 269
5.1 A mátrix sajátértékei és sajátvektorai 269
5.1.1 Polinom és mátrixa 276
5.1.2 A karakterisztikus értékekre vonatkozó fontosabb
tételek 283
5.1.3 A mátrix minimálpolinomja 296
5.1.4 Hasonlósági transzformációk 308
5.1.5 Szimmetrikus és hermitikus mátrixok diagonalizálása 318
5.1.6 Feladatok 336
Hatodik fejezet 337
Vegyes feladatok 337
6.1 Másodrendű görbék és felületek 337
6.1.1 Másodrendű görbék 342
6.1.2 Feladatok 351
6.1.3 Másodrendű felületek 352
6.1.4 Feladatok 363
6.2 Lineáris differenciálegyenlet-rendszerek 364
6.2.1 Megoldás modálmátrix alkalmazásával 368
6.2.2 Megoldás Lagrange-féle alappolinomokkal 373
6.2.3 Megoldás Hermite-féle mátrixpolinommal 377
6.2.4 Feladatok 380
Hetedik fejezet 383
Feladatmegoldások 383
1.3.6 feladatok megoldásai 383
1.4.4 feladatok megoldásai 387
1.5.4 feladatok megoldásai 390
1.6.4 feladatok megoldásai 393
1.7.3 feladatok megoldásai 398
2.2.4 feladatok megoldásai 399
3.4.6 feladatok megoldásai 401
4.2.6 feladatok megoldásai 411
5.1.6 feladatok megoldásai 414
6.1.2 feladatok megoldása 415
6.1.4 feladatok megoldása 417
6.2.4 feladatok megoldása 418
IRODALOMJEGYZÉK 421
NÉV- ÉS TÁRGYMUTATÓ 423

Témakörök