Numerikus módszerek

Tartalom

Előszó
A modul célkitűzései és követelményei
A modul célkitűzései
Tárgyfelvétel, teljesítés, értékelés 7
A tananyag javasolt időbeli beosztása 9
Minta zárthelyi dolgozatok n
Előadások, gyakorlatok vázlata 20
A tananyag részletes ismertetése 25
1. Hiba analízis 25
1.1. A közelítő számítások hibái 25
1.1.1. Numerikus hibák és összetevőik, hibaterjedés 25
1.1.2. Az alapműveletek hibakorlátjai 26
1.1.3. Függvényértékek hibakorlátjai 27
1.2. Példák 28
1.3. Kérdések 29
1.4. Feladatok 29
2. Lineáris egyenletrendszerek közelítő megoldása 31
2.1. A lineáris algebrai ismeretek összefoglalása, jelölések 31
2.2. A lineáris egyenletrendszerek megoldása eliminációs eljárásokkal 31
2.2.1. A Gauss-elimináció 31
2.2.2. A Jordan-elimináció vagy más néven a Gauss-Jordan-elimináció 32
2.2.3. Mátrixok felbontása 32
2.3. A lineáris egyenletrendszerek megoldása iterációs eljárásokkal 33
2.3.1. Fixpont Iteráció 33
2.3.2. Jacobi-iteráció 33
2.3.3. A Seidel-iteráció vagy más néven a Gauss-Seidel eljárás 35
2.4. Példák 36
2.5. Kérdések 38
2.6. Feladatok 39
3. Interpoláció és extrapoláció 41
3.1. Az interpoláció alapfeladata 41
3.1.1. A Lagrange-féle interpoláció 41
3.1.2. Az Hermite-féle interpoláció 43
3.1.3. Harmadrendű spline interpoláció 44
3.1.4. Trigonometrikus interpoláció 45
3.2. Keresés rendezett táblázatokban 46
3.3. Példák 47
3.4. Kérdések 49
3.5. Feladatok 50
4. Numerikus differenciálás 53
4.1. Példák 54
4.2. Kérdések 56
4.3. Feladatok 56
5. Numerikus integrálás 57
5.1. Közelítő integrálásra vezető feladatok 57
5.2. A mechanikus kvadratúra formulák áttekintése 57
5.2.1. Általános kvadratúra formula 57
5.2.2. Ekvidisztáns alappontú kvadratúra formulák 58
5.2.3. Maximális pontossági rendű kvadratúra formulák 58
5.2.4. Radau-féle és Lobatto-féle formulák 59
5.2.5. Kvadratúra szabályok vagy más néven összetett kvadratúra formulák 59
5.2.6. A kvadratúra módszer kiválasztása, a formulák összehasonlítása 60
5.3. A kvadratúra formulák részletes leírása 60
5.3.1. Az érintő-formula 60
5.3.2. Az összetett érintő-formula 61
5.3.3. Trapézformula 61
5.3.4. Összetett trapézformula 61
5.3.5. Simpson-formula 62
5.3.6. Összetett Simpson-formula 62
5.3.7. Az Euler-Maclaurin formula 63
5.3.8. A Romberg-féle integrálási eljárás 63
5.3.9. Gauss-típusú kvadratúra formulák 63
5.4. Az egyszerű Monté Carlo-integrálás 64
5.5. Példák 64
5.6. Kérdések 66
5.7. Feladatok 67
6. Nemlineáris egyenletek, egyenletrendszerek megoldása, 71
gyökkeresési eljárások 71
6.1. Iterációs módszer 71
6.2. Intervallumfelelő módszer 72
6.3. Húrmódszer 72
6.4. Szelőmódszer 73
6.5. Érintőmódszer (Newton-módszer, Newton-Raphson-módszer) 74
6.6. Müller-módszer 74
6.7. Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása 75
6.8. Példák 75
6.9. Kérdések 77
6.10. Feladatok 77
7. Közönséges differenciálegyenletek és egyenletrendszerek 79
megoldása 79
7.1. Euler-módszer 79
7.2. Taylor-módszer 80
7.3. Runge-Kutta-módszerek 81
7.4. Runge-Kutta-Fehlberg-módszer 83
7.5. Többlépéses módszerek 83
7.6. Prediktor-korrektor módszerek 83
7.7. Példák 84
7.8. Kérdések 86
7.9. Feladatok 87
8. Függvények kiértékelése 91
8.1. Függvénysorok és konvergenciájuk 91
8.2. A lánctörtek kiértékelése 91
8.3. Polinomok és racionális függvények 92
8.4. Rekurzív formulák 93
8.5. A numerikus deriváltak kiértékelése 94
8.6. A Csebisev-féle formulák, Csebisev-féle függvényapproximáció 94
8.7. Csebisev-approximált függvény deriválása és integrálása 96
8.8. Példák 97
8.9. Kérdések 98
8.10. Feladatok 98
Fogalmak 101
Irodalom 107
Függelék 109

Témakörök