Numerikus módszerek

Szerző

Lektor

Miskolc

'Galántai Aurél: Numerikus módszerek ' összes példány

Kiadó:	Miskolci Egyetemi Kiadó
Kiadás helye:	Miskolc
Kiadás éve:	2000
Kötés típusa:	Ragasztott papírkötés
Oldalszám:	171 oldal
Sorozatcím:
Kötetszám:
Nyelv:	Magyar
Méret:	24 cm x 17 cm
ISBN:	963-661-311-7
Megjegyzés:	500 példányban jelent meg.

Értesítőt kérek a kiadóról

A beállítást mentettük,
naponta értesítjük a beérkező friss
kiadványokról

Előszó

A numerikus módszerekre többféle irányból és többféle célból tekinthetünk. Az egyik szélen a tiszta matematika tudósa áll. Az ő nézőpontjából a numerikus analízis nem más, mint tudományos kutatások tárgya, amelynek művelése, fejlesztése maga a cél. Egy másik szemszögből pedig a numerikus módszerekben csupán konkrét gyakorlati feladatok megoldását segítő eszközöket láthatunk. Az a tankönyv, amit most az Olvasó a kezében tart, elsősorban műszaki egyetemi képzésben résztvevők számára készült. A megírásakor a különböző célok között a hangsúlyt a gyakorlati alkalmazhatóság irányában helyeztük el, azt is szem előtt tartva, hogy főiskolai hallgatók is haszonnal forgathassák. Ugyanakkor nem mondhattunk le teljesen az elméleti megalapozásról, definíciók, tételek pontos kimondásáról sem. Egy-két egészen új eredményt is beiktattunk, különösen a modern hibaanalízis területéről. Nem bizonyítottunk minden tételt, néhány helyen csupán a motivációt adtuk meg, de egyes helyeken teljes matematikai szigorúsággal igazoltuk az állítást. A közölt bizonyításokkal egyrészt ízelítőt kívántunk adni egyéb matematikai apparátusoknak a numerikus módszereken belüli alkalmazásaiból, másrészt a tétel szűken vett jelentését meghaladó mondanivalóra igyekeztünk a figyelmet felhívni. Mindezekkel együtt tudományegyetemi hallgatóknak sem lesz talán érdektelen a könyv lapozgatása. A könyv anyagának oktatása előtt mintegy két féléves analízisbeli tanulmányokat tételezünk fel. A kifejtés terjedelme fejezetenként eltérő. A klasszikus hibaszámítás mellett külön figyelmet fordítottunk a lebegőpontos hibaanalízisre. Legrészletesebben a lineáris algebra numerikus eljárásait tárgyaltuk, tekintettel azok elterjedt műszaki alkalmazásaira. A gyakorlati, sokszor nagyméretű feladatok numerikus megoldása manapság szinte kizárólag számítógéppel történik. Éppen ezért kitértünk a tárolási módokra is és minden eljárást a számítástechnikai megvalósítás szempontjai szerint fogalmaztunk meg. Annak érdekében, hogy az algoritmusokat tömören, közérthetően, szó szerinti (vagy majdnem szó szerinti) program formájában is leírhassuk, a könyv tartalmazza a MATLAB programozási nyelv legfontosabb elemeit. A szövegközi, kidolgozott példákkal a tárgyalt probléma mélyebb megértését céloztuk meg, a fejezetek végén felsorolt néhány feladat pedig, szándékunk szerint, önálló munkára serkenti az Olvasót. A forrásmunkákon kívül 6zéles szakmai látókörrel és gyakorlati tapasztalattal rendelkező kollégák észrevételei segítették a könyv elkészülését. Köszönetünket fejezzük ki Balla Katalinnak, Demendy Zoltánnak és Stoyan Gisbertnek a sok-sok értékes megjegyzésért és tanácsért, amellyel hozzájárultak e tankönyv végleges formába öntéséhez. Vissza

Tartalom

BEVEZETÉS.......... 7
1 A MÁTRIXSZÁMÍTÁS ELEMEI..........9
1.1 Mátrixok és mátrixműveletek................................................9
1.2 Mátrixok inverze és determinánsa...........................................13
1.3 Vektorok és mátrixok normája.....................14
1.4 Gyors mátrixalgoritmusok...............................................15
1.5 Mátrixok és vektorok a MATLAB nyelvben..................................18
1.6 Feladatok......................................................................20
2 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA..........21
2.1 Lineáris egyenletrendszerek....................................................21
2.2 Háromszögmátrixú egyenletrendszerek......................................22
2.3 A Gauss-módszer..............................................................24
2.4 A Gauss-módszer műveletigénye..............................................25
2.5 A főelemkiválasztásos Gauss-módszer........................................27
2.6 Az LU-felbontás................................................................30
2.7 Az LU-felbontás és a Gauss-módszer kapcsolata............................33
2.8 Az LU- és Choleski-módszerek................................................35
2.9 Az LU-módszer algoritmusa pointeres technikával..........................37
2.10 Utasítások, függvények és eljárások a MATLAB nyelvben..................38
2.10.1 Utasítások..............................................................38
2.10.2 Függvények...................................................39
2.10.3 M-adatállományok, eljárások..........................................40
2.11 Feladatok...................................................41
3 MÁTRIXOK TÁROLÁSI FORMÁI..........43
3.1 Mátrixok és vektorok tárolása hagyományos módon........................43
3.2 Mátrixok tárolása vektorformában...................................44
3.3 Szabályos szerkezetű speciális mátrixok tárolása............................45
3.3.1 Háromszögmátrixok tárolása..........................................45
3.3.2 Szimmetrikus mátrixok tárolása......................................45
3.3.3 Sávmátrixok tárolása..................................................46
3.4 Ritka mátrixok................................................................47
3.4.1 A háromsoros módszer................................................48
3.4.2 Ritka mátrixok a MATLAB rendszerben............................49
3.5 Feladatok......................................................................50
4 A GAUSS-MÓDSZER SÁVMÁTRIXOKON..........51
4.1 Az LU-módszer sávmátrixokon................................................52
4.2 A Choleski-módszer sávmátrixokon.....................53
4.3 Pivotálás sávmátrixokon.....................................53
4.4 Feladatok....................................54
5 SZABVÁNYOS LINEÁRIS ALGEBRAI SZUBRUTINOK..........55
5.1 BLAS 1 rutinok.............................. 55
5.2 BLAS 2 rutinok........................... 56
5.3 BLAS 3 rutinok................................ 56
6 A KLASSZIKUS HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI..........59
6.1 Az aritmetikai műveletek abszolút hibái......................................59
6.2 Függvényértékek hibája ......................................................60
6.3 Az aritmetikai műveletek relatív hibái........................................61
6.4 Függvényértékek relatív hibája és a kondíciószám..........................62
6.5 Direkt és inverz hibák........................................................64
6.6 Feladatok................................................................65
7 A LEBEGŐPONTOS HIBAANALÍZIS..........67
7.1 A lebegőpontos aritmetikai szabvány.................... 71
7.2 Feladatok................................... 72
8 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK HIBAANALÍZISE..........75
8.1 Érzékenységvizsgálat..........................................................75
8.2 Wilkinson tétele................................................................81
8.3 Skálázás és prekondicionálás..................................................82
8.4 Utólagos hibabecslések........................................................83
8.4.1 A direkt hiba becslése a reziduális segítségével.....................84
8.4.2 Az ||A^-1|| LINPACK becslése........................................85
8.4.3 Az inverz hiba Oettli-Práger-féle becslése............................85
8.5 A közelítő megoldás iteratív javítása.................... 85
8.6 Feladatok................................... 86
9 A SAJÁTÉRTÉK-PROBLÉMA..........89
9.1 Feladatok................................... 95
10 SAJÁTÉRTÉK-PROBLÉMÁK ITERATÍV MEGOLDÁSA..........97
10.1 A hatvány módszer............................................................97
10.2 Ortogonalizálási eljárások....................................................99
10.3 A QR-módszer................................102
10.4 A szinguláris érték felbontás.........................107
10.5 Feladatok......................................................................109
11 INTERPOLÁCIÓ..........111
11.1 A lineáris interpoláció............................111
11.2 A Lagrange-féle interpolációs feladat....................112
11.3 Harmadfokú szplájn interpoláció.......................115
11.4 Feladatok...................................118
12 NUMERIKUS DERIVÁLÁS..........119
12.1 A Lagrange-interpoláció esete................................................119
12.2 Közelítés differencia hányadosokkal..........................120
12.3 Numerikus differenciálás szplájnokkal............................122
12.4 Feladatok......................................................................122
13 NUMERIKUS INTEGRÁLÁS..........123
13.1 Interpolációs eljárások........................................................123
13.1.1 A trapézformula........................................................123
13.1.2 A Simpson formula....................................................124
13.2 Kvadraturaformulák hibáinak utólagos becslése............................125
13.3 Numerikus integrálás természetes szplájnokkal............................126
13.4 Adaptív kvadratura eljárások................................................126
13.5 Feladatok......................................................................127
14 FÜGGVÉNYEK LEGJOBB EGYENLETES KÖZELÍTÉSE..........129
14.1 Legjobb egyenletes approximáció polinomokkal..........................130
14.2 Legjobb egyenletes approximáció racionális törtfüggvényekkel..........132
14.3 A Padé-approximáció..........................................................133
14.4 Elemi függvények kiszámítási módjai........................................135
14.5 Feladatok......................................................................137
15 FÜGGVÉNYEK LEGKISEBB NÉGYZETES KÖZELÍTÉSE..........139
15.1 Feladatok......................................................................142
16 A LINEÁRIS LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERE..........143
16.1 Feladatok.......................................................................145
17 NEMLINEÁRIS EGYENLETEK..........147
17.1 Egyváltozós egyenletek megoldása............................................147
17.1.1 Az intervallumfelező eljárás..........................................148
17.1.2 A fixpont iterációs módszer..........................................149
17.1.3 A Newton-módszer....................................................152
17.2 Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása..................................154
17.2.1 Fixpont iterációs eljárás..............................................154
17.2.2 A Newton-módszer....................................................154
17.3 Utólagos hibabecslések........................................................157
17.4 Feladatok......................................................................157
18 DIFFERENCIÁLEGYENLETEK KÖZELÍTŐ MEGOLDÁSA..........159
18.1 A kezdetiérték feladat megoldása Runge-Kutta típusú módszerekkel ..........159
18.1.1 Az explicit Euler-módszer............................................160
18.1.2 Explicit egylépéses módszerek........................................162
18.1.3 Runge-Kutta módszerek differenciálegyenlet-rendszereken ..........166
18.2 Peremérték feladatok megoldása differencia módszerekkel..........167
18.3 Feladatok......................................................................169
IRODALOM..........171

Témakörök

Megvásárolható példányok

Nincs megvásárolható példány
A könyv összes megrendelhető példánya elfogyott. Ha kívánja, előjegyezheti a könyvet, és amint a könyv egy újabb példánya elérhető lesz, értesítjük.

Előjegyzem