Műszaki matematikai gyakorlatok C. VI.

Tartalom

I. AZ ELEMI MATEMATIKA NÉHÁNY PONTOSABB ÖSSZEFÜGGÉSE ÉS TÉTELE
1. §. Aritmetika 17
1. A valós számokra vonatkozó fontosabb számolási szabályok 17
2. Az abszolút érték 17
3. Az előjel 18
4. Középértékek 18
5. Számtani (aritmetikai) és mértani (geometriai) haladvány összege 18
6. A faktoriális 18
7. A binomiális együtthatók 18
8. A binomiális tétel 18
9. Bernoulli-féle egyenlőtlenség 19
2. §. Analitikus geometria a síkban 19
1. Távolság 19
2. Koordináta-rendszer transzformációja 19
3. Egyenes egyenletei 20
4. Egyenesek metszése 20
5. Háromszög területe 21
6. Másodrendű görbék egyenletének kanonikus alakja 21
3. §. Analitikus geometria a térben 21
1. Távolság 21
2. Egyenes egyenletrendszere 21
3. Sík egyenlete 21
4. Két sík hajlásszöge 21
5. Másodrendű felületek egyenletének kanonikus alakja 21

II. SZÁMSOROZATOK ÉS VÉGTELEN SOROK
1. §. Számsorozatok 24
1. Definíció 24
2. Korlát és határ 24
3. Sűrűsödési érték; határérték 24
4. Fontosabb tételek 25
5. Cauchy-féle konvergencia-kritérium 25
6. A monotonitás tétele 25
7. Határértékek számítására vonatkozó tételek 25
2. §. Végtelen sorok 25
1. Definíció 25
2. Cauchy konvergencia-kritériuma 26
3. Néhány fontosabb tétel 26
4. Műveletek végtelen sorokkal 27

III. A függvényekre vonatkozó pontosabb alapfogalmak
1. §. Változó és függvény 28
1. Változó és intervallum 28
2. A függvény 28
3. A függvény megadása 28
4. Inverz függvény 29
5. Algebrai és transzcendens függvény 29
6. Páros és páratlan függvények 29
7. Periodicitás 29
8. Monotonitás; korlátosság 30
2. §. Függvény határértéke 30
1. A független változó határértéke 30
2. Függvény határértéke 30
3. A határértékekre vonatkozó néhány tétel 31
3. §. A függvény folytonossága 32
1. Definíció 32
2. A folytonosságra vonatkozó néhány tétel 32
3. Több- és baloldali folytonosság; egyenletes és szakaszonkénti folytonosság 33
4. §. A függvény ábrázolása 33
1. Egyértékű, folytonos függvény képe 33
2. Inverz függvény képe 34
3. Páros és páratlan függyvény képe 34
4. Lineáris transzformáció 34

IV. AZ ELEMI FÜGGVÉNYEK
1. §. Racionális egész függvények 35
1. Racionális egész függvény 35
2. Zérushelyek 35
3. Lagrange-féle interpolációs polinom 35
4. Newton-féle interpolációs polinom 35
2. §. Racionális tört függvények 37
1. Racionális tört függvény 37
2. Zérushelyek 37
3. Pólus 37
4. Hézagpont, megszüntethető szingularitás 37
5. A végtelenben való viselkedés 38
6. Racionális tört függvény részlettörtekre való felbontása 38
3. §. Exponenciális függvények 39
Definíció és fontosabb összefüggések 39
4. §. A logaritmusfüggvény 40
1. Definíció 40
2. Fontosabb összefüggések 40
5. §. Trigonometrikus függvények 41
1. Szög ívmértéke 41
2. Trigonometrikus függvények definíciója 41
3. Fontosabb összefüggések 42
4. Néhány fontos határérték 44
6. §. Az arkuszfüggvények 44
1. Definíció 44
2. Fontosabb összefüggések 45
7. §. Hiperbolikus függvények 45
1. Definíció 45
2. Pontosabb összefüggések 46
3. Pontosabb határértékek 46
8. §. Areafüggvények 47
Definíció 47
V. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
1. §. A derivált fogalma 48
1. Differenciálhányados és derivált 48
2. Geometriai jelentés 48
3. Differenciálhatóság és folytonosság 49
4. Jobb- és baloldali derivált 49
5. Differenciál 49
2. §. Differenciálási szabályok 50
1. Általános szabályok 50
2. Az alapfüggvények deriváltjai 51
3. §. Magasabbrendű deriváltak 52
1. n-edik derivált 52
2. n-edik differenciál 52
3. Leibniz-szabály 52
4. Új független változó bevezetése 52
4. §. Középértéktétel 53
1. Rolle tétele 53
2. Lagrange-féle középértéktétel 53
3. Cauchy-féle középértéktétel 53
5. §. Határozatlan alakokra vezető határértékek meghatározása 53
Bernoulli-l'Hospital szabálya 53
6. §. Grafikus és numerikus differenciálás 54
1. Grafikus differenciálás 54
2. Numerikus differenciálás 54
7. §. Függvényvizsgálat, görbediszkusszió 55
8. §. Taylor-formula 56
1. Általános alak 56
2. Más írásmódok 57
VI. EGYENLETEK MEGOLDÁSA
1. §. Algebrai egyenletek gyökeinek szétválasztása 58
1. Gyökök abszolút értékének felső korlátja 58
2. Rolle tétele 58
3. A többszörös gyökök eltávolítása 58
4. Descartes jelszabálya 58
5. Sturm tétele 58
2. §. Közelítő módszerek 59
1. Húr-módszer (regula falsi) 59
2. Érintő-módszer (Newton módszere) 59
3. Iteráció 60
4. A Ruffini-Horner-féle módszer 60

VII. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
1. §. Határozatlan és határozott integrál 62
1. Határozatlan integrál 62
2. Határozott integrál 62
2. §. Integrálási szabályok 62
1. Alapintegrálok 62
2. Általános szabályok 64
3. Néhány fontosabb integrál 64
4. Néhány fontosabb határozott integrál 65
5. Határozott integrál kiszámítása helyettesítéssel 66
6. Másodfokú polinom néhány függvényének az integrálása 66
7. Racionális függvények integrálása 67
8. Racionális függvények integrálására visszavezethető integrálok 68
3. §. A határozott integrál mint összeg határértéke (Riemann-féle integrál) 69
1. Alsó és felső integrálközelítő összeg 69
2. Riemann-féle integrál 69
3. A Riemann-féle integrál néhány tulajdonsága 70
4. Görbe alatti terület 70
4. §. Az integrálszámítás középértéktétele 70
1. Középértéktétel 70
2. Adott függvény adott intervallumra vonatkozó integrál-középértékei 70
3. Integrálbecslések 71
5. §. Grafikus és numerikus integrálás 71
1. Grafikus integrálás 71
2. Numerikus integrálás 72
6. §. Az integrálszámítás néhány alkalmazása 72
1. Szektorterület kiszámítása 72
2. Térfogatszámítás a Cavalieri-féle elv alapján 73
3. Forgástest térfogata 73
4. Görbedarab ívhossza 73
5. Forgásfelület felszíne 73
6. Tömegközéppont (súlypont) koordinátái 73
7. Forgástest másodrendű nyomatéka 74
8. Pappus - Guldin-féle tételek 74
7. §. Improprius integrálok 74
1. Végtelen határú (nem korlátos tartományra kiterjesztett) integrál 74
2. Nem korlátos függvény integrálja 75

VIII. FÜGGVÉNYSOROK
1. §. Definíciók és tételek 76
1. Függvénysor 76
2. Egyenletes konvergencia 76
2. §. Hatványsorok 77
1. Definíciók 77
2. Hatványsor konvergenciája 77
3. Analitikus függvények 78
3. §. Néhány fontosabb sorfejtés 78
1. Hatványsorok 78
2. Gauss-féle hibaintegrál 79
3. Integrálszinusz-függvény 80
4. Integrállogaritmus-függvény 80
5. Elliptikus integrál 80
6. Riemann-féle zétafüggvény 80
7. Néhány közelítő formula 80
8. Néhány fontosabb sorösszeg 81
4. §. Fourier-sorok 81
1. Definíció 81
2. A Fourier-sor együtthatói 81
3. Fourier-sor konvergenciája 81
4. Dirichlet feltétele 82

IX. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
1. §. Többváltozós függvények fogalma 83
1. A többváltozós függvény 83
2. Értelmezési tartomány 83
3. Határérték, folytonosság 83
4. Többváltozós függvények szemléltetése 84
2. §. Parciális derivált 85
1. Definíció 85
2. A parciális derivált jelentése 85
3. Parciális differenciál 85
4. Differenciálhatóság. Véges növekményekre vonatkozó közelítő egyenlőség. Teljes differenciál 85
5. A kétváltozós függvényre vonatkozó véges növekmények tételének geometriai
jelentése 86
6. Iránymenti derivált 86
7. Összetett függvények 87
8. Implicit függvények 87
9. Magasabbrendű parciális deriváltak 88
10. Magasabbrendű differenciálok 88
3. §. Függvényrendszerek. Transzformációk (leképzések) 89
1. Függvényrendszerek 89
2. Jacobi-féle (függvény-) determináns 91
4. §. Taylor tétele. Középértéktétel 92
1. Taylor tétele 92
2. Középértéktétel 92
5. §. Felületi pontok osztályozása. Szélső értékek 92
1. Felületi pontok osztályozása 92
2. Kétváltozós függvény helyi szélső értéke 93
3. Többváltozós függvények helyi szélső értéke 93
4. Feltételes szélső értékek 93

X. TÖBBVÁLTOZÓS függvények integrálása
1. §. Paraméteres integrál 95
1. Kétváltozós függvény egyik változó szerinti integrálja 95
2. Paraméteres integrál paraméter szerinti differenciálása 96
2. §. Tartományintegrálok 96
1. Definíció 96
2. Tartományintegrálok alaptulajdonságai 97
3. Középértéktétel 98
4. Tartomány szerinti differenciálás 98
3. §. Kettős és hármas integrálok 98
1. Kettős integrál definíciója 98
2. Hármas integrál definíciója 99
3. Kettős integrál kiszámítása kétszeres integrálássá! 99
4. Hármas integrál kiszámítása háromszoros integrálással 100
4. §. Az integrációs változók transzformációja 100
1. Kettős integrál változóinak transzformációja 100
2. Hármas integrál változóinak transzformációja 101
5. §. Kettős cs hármas integrálok néhány alkalmazása 101
1. Síkrész területe 101
2. Hengerszerű test térfogata 102
3. Térrész térfogata 102
4. Tömegközéppont (súlypont) meghatározása 103
5. Tehetetlenségi (másodrendű) nyomatékok 103
6. Tömegeloszlás potenciálja 105

XI. SÍKGÖRBÉK DIFFERENCIÁLGEOMETRIÁJA
1. §. Érintő, normális, ívhossz 106
1. Síkgörbe előállítási, derékszögű koordináta-rendszerben 106
2. Érintő és normális 106
3. Ívhossz és ívelem 106
4. Tangens, normális, szubtangens, szubnormális 106
5. Néhány fontosabb görbe 107
2. §. Két görbe metsződése és érintkezése 108
1. Metszési szög 108
2. n-ed rendű érintkezés 108
3. §. Görbület, görbületi kör (simulókör) 108
1. Görbület 108
2. Görbületi sugár 108
3. Görbületi középpont (simulókör középpontja) 109
4. Evoluta, evolvens 109
4. §. Polárkoordináták 109
1. Polárkoordináták 109
2. Ívelem, érintő 109
3. Polártangens, polárnormális, polárszubtangens, polárszubnormális 110
4. Szektorterület 110
5. Görbület 110
6. Néhány fontosabb görbe egyenlete polárkoordinátákkal 110
5. §. Aszimptoták 110
1. Derékszögű koordinátákban 110
2. Polárkoordinátákban 111
6. §. Síkgörbék szinguláris pontjai 111
Definíció 111
7. §. Görbesereg burkolója 111
Meghatározás 111

XII. KOMPLEX SZÁMOK, KOMPLEX VÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
1. §. Komplex számok értelmezése, ábrázolása és aritmetikája 112
1. Komplex számok értelmezése 112
2. Komplex számok ábrázolása 112
3. Alapműveletek komplex szám algebrai alakjával 113
4. Komplex szám trigonometrikus alakja 113
5. Műveletek trigonometrikus alakú komplex számokkal 114
6. A reciprok érték szerkesztése. Inverzió 114
2. §. Komplex változós függvényén 115
1. Definíció 115
2. Folytonosság 115
3. Differenciálhatóság 115
4. Harmonikus függvények 116
3. §. Az elemi komplex változós függvények 117
1. Exponenciális függvény. Euler-féle reláció 117
2. Logaritmusfüggvény 117
3. Trigonometrikus és hiperbolikus függvények 117
4. Arkusz- és areafüggvények 118
4. §. Kontorm leképezés 118
1. Leképezés 118
2. Konform leképezés 119
5. §. Komplex sorok 119
1. Konvergencia 119
2. Abszolút konvergencia 119
3. Hatványsorok 119
6. §. Integrálás a komplex számsíkon 119
1. Görbe menti integrál 119
2. Határozatlan integrál 120
7. §. A komplex változós függvénytan fő tétele 120
1. Az alaptétel 120
2. Cauchy integrál-képlete 120
3. A Cauchy-Taylor-féle és a Laurent-féle sor 120
4. Reguláris és szinguláris pontok osztályozása 121
5. A oo-pont 122
6. Az algebra alaptétele 122

XIII. VEKTORALGEBRA, DETERMINÁNSOK, LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
I. §. Vektoralgebra 123
1. Alapfogalmak 123
2. Vektorok összeadása és kivonása 124
3. Vektor szorzása számmal (skalárral) 124
4. A vektorok lineáris függése, illetve függetlensége 125
5. Két vektor skaláris szorzata 126
6. A skaláris szorzat néhány alkalmazása 126
7. Két vektor vektoriális szorzata 126
8. Három vektor vegyes szorzata 127
9. Hármas vektorszorzat kifejtési tétele 127
10. Négyes vektorszorzatok 127
2. § Vektorok felbontása a derékszögű koordináta-rendszerben 128
1. Vektorok felbontása a derékszögű koordináta-rendszerben 128
2. A vektorokkal való műveletek elvégzése koordinátákkal 128
3. Néhány alkalmazás az analitikus geometriában 128
3. §. Koordináta-transzformációk 129
1. Párhuzamos eltolás 129
2. Origó körüli elforgatás 129
4. §. Determinánsok 130
1. Másodrendű determináns 130
2. Harmadrendű determináns 130
3. Determináns tételek 130
5. §. Lineáris egyenletrendszerek 130
1. Definíciók 130
2. Inhomogén lineáris egyenletrendszer 131
3. Homogén lineáris egyenletrendszer 131

XIV. A VEKTORANALÍZIS ELEMEI
1. §. Egy paraméteres vektor-skalár függvények. Térgörbék 132
1. Alapfogalmak 132
2. Derivált 133
3. Térgörbe ívhossza 133
4. Az ívhossz mint paraméter 133
5. Simulósík 134
6. Főnormális, görbület 134
7. Térgörbe kísérő triédere 134
8. A torzió 134
9. Frenet-féle képletek 134
10. Térgörbe adatainak meghatározása általános esetben 135
2. §. Két paraméteres vektor-skalár függvények. Felületek 135
1. Alapfogalmak 135
2. Deriváltak 136
3. Érintősík, normális 137
4. Felületdarab felszíne 137
3. §. Skalár-vektor függvények, skalárterek 138
1. Alapfogalmak 138
2. A gradiens vektor 139
3. Irány menti derivált 140
4. Skalár-vektor függvény görbe menti integrálja 140
5. Skalár-vektor függvény felszín-integrálja 140
4. §. Vektor-vektor függvények, vektorterek 140
1. Alapfogalmak 140
2. Derivált 142
3. Divergencia, rotáció 144
4. Vektor-vektor függvény görbe menti integrálja 144
5. Vektor-vektor függvény felületi integrálja 145
6. Vektor-vektor függvény skaláris potenciálja 145
7. Gauss-Osztrogradszkij-féle tétel 145
8. Síkbeli Gauss-Osztrogradszkij-féle tétel 145
9. Green tétele 146
10. Stokes tétele 146

XV. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
1. §. Definíciók, alapfogalmak 147
1. Definíció, osztályozás 147
2. Differenciálegyenletek megoldásai 147
2. §. Elemi integrálási módszerek elsőrendű közönséges differenciálegyenleteknél 148
1. Szétválasztható változójú differenciálegyenletek 148
2. Szétválasztható változójúra visszavezethető differenciálegyenletek 149
3. Elsőrendű lineáris és erre visszavezethető differenciálegyenletek 149
4. Egzakt differenciálegyenlet; integráló tényező 149
5. Közelítő módszerek 150
3. §. Speciális típusú másodrendű differenciálegyenletek 151
1. Hiányos másodrendű differenciálegyenletek 151
2. Másodrendű lineáris differenciálegyenletek 152
4. §. Lineáris differenciálegyenletek 152
1. Inhomogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldása 152
2. Állandó együtthatójú homogén lineáris differenciálegyenlet 153
3. Állandó együtthatójú inhomogén lineáris differenciálegyenlet megoldása
kísérletező feltevéssel 154
4. Euler-féle lineáris differenciálegyenlet 154
Irodalomjegyzék 155

Témakörök