Műszaki matematikai gyakorlatok B. IV.

Tartalom

1.§. A KOMPLEX SZÁMOK ÉS ARITMETIKÁJUK
A) A számfogalom bővítése
a) A valós számkör felépítése 17-18
I°. A racionális számok 17
II°. Az irracionális számok 17
III°. A valós számok 18
b) A valós számkör bővítése 18-20
I°. A valós számok elégtelensége 18
II°. A komplex számok kialakulása 18
Példák
B) A komplex számok és alapműveleteik
a) A kétdimenziós számok bevezetése 20-24
I°. Valós számpárok 20
II°. Ábrázolás a számsíkon 20
III°. Műveletek értelmezése 22
Példák
b) A komplex számok aritmetikai bevezetése 24-27
I°. Egyenes alapműveletek 24
II°. Speciális komplex számok 24
III°. Fordított alapműveletek 25
Példák
c) A komplex számok gyakorlati alakjai és ábrázolása 27-32
I°. Gyakorlati alakok 28
II°. A Gauss-féle számsík 28
III°. Elnevezések, jelölések 29
Példák
d) A komplex aritmetika gyakorlati alakjai és ábrázolása 32-54
I°. Jelentősége 32
II°. Összeadás, kivonás 32
III°. Szorzás, osztás 34
IV°. Hatványozás, gyökvonás 37
Példák
C) Síkvektor-geometriai feladatok
a) Két módszer összehasonlítása 54
I°. Általánosságban 54
II°. Speciális esetekben 54
b) A síkvektor-geometria alapfeladatai 54-60
I°. Vektor, koordináták 54
II°. Eltolás. Poligon 55
III°. Nyújtás. Elforgatás 55
IV°. Hajlásszög-feladatok 56
V°. A hajlásszög függvényei 56
VI°. Izogonális vektorsorozatok 56
Példák
c) Egyszerű síkvektor-geometriai feladatok 60-67
Példák
D) Műszaki alkalmazások
a) Háromfázisú rendszer szimmetrikus komponensei 67-73
I°. Szimmetrikus rendszerek 67
II°. Háromfázisú rendszer aszimmetriái 69
III°. Aszimmetrikus háromfázisú rendszer felbontása szimmetrikus komponenseire 71
Feladatok
b) Vegyes műszaki alkalmazási feladatok 73
I°. Szinuszos áramkörök komplex ellenállása 73
2.§. A KOMPLEX FÜGGVÉNYTAN ÉS A KONFORM LEKÉPEZÉS NÉHÁNY ALAPFOGALMA
A) Határérték, sorozatok, sorok
a) Sorozat és határértéke 74-76
I°. A határérték-elmélet alapelve 74
II°. Sorozat sűrűsödési értéke 74
III°. Sorozat határértéke 74
Példák
b) Sorok és konvergenciájuk 76-78
I°. Sor konvergenciája és összege 76
II°. Cauchy kritériuma 76
III°. Abszolút konvergencia 77
IV°. Műveletek végtelen sorokkal 77
Példák
B) A komplex számgömb. Tartományok és határaik
a) A komplex számgömb. A sztereografikus leképzés 78-81
I°. Kölcsönös egyértelműség 78
II°. A komplex számgömb 79
III°. A sztereografikus leképzés 79
Példák
b) Ponthalmazok. Tartományok és határaik 81-83
I°. Ponthalmaz-elméleti fogalmak 81
II°. Tartományok és határaik 81
Példák
C) A komplex függvényekről általában
a) A komplex függvények értelmezése és fajai 83-85
I°. Változási tartomány 83
II°. Komplex függvények és fajaik 84
III°. Inverz és összetett függvények 83
D) Valós változás komplex függvények
a) A függvény és folytonossága. Jordan-görbék 85-92
I°. A függvényről általában 85
II°. Határérték. Folytonosság 86
III°. Jordan-görbék 87
Példák
b) A függvény deriváltja, integrálja 92-99
I°. A derivált és szemléltetése 92
II°. Magasabb rendű deriváltak. Taylor-sor 94
III°. Határozatlan és határozott integrál 94
IV°. Paraméteres és improprius integrál. Laplace- és Fourier-transzformáció 95
Példák
E) Komplex változós függvények és függvénysorok
a) A függvény és határértéke, folytonossága 99-104
I°. A függvény és sajátságai 99
II°. A függvény határértéke 100
III°. A függvény folytonossága 101
Példák
b) Függvénysorok. Hatványsorok 104-107
I°. Függvénysorok és sajátságaik 104
II°. Hatványsorok és sajátságaik 105
Példák
c) A függvény és a hatványsor differenciálása 107-119
I°. A függvény deriváltja. Regularitás 107
II°. Cauchy-Riemann-egyenletek 108
III°. Laplace-egyenlet. Harmonikus függvények 111
IV°. Hatványsor differenciálása 113
Példák
F) A konform leképzés
a) A konform leképzés sajátságai, mértékei 119-127
I°. Előkészítés 119
II°. Főbb sajátságok 119
III°. Konformitás egy tartományban 121
Példák
b) A konform leképezés elméletének általános elvei 127-132
I°. Alapfeladat 127
II°. Tartományok konform leképezése 127
III°. Kerületek megfeleltetése 128
Példák
G) Műszaki alkalmazások
a) Pont kinematikája a síkban 132-147
I°. Alapfogalmak 132
II°. A z, v és a vektorok komponensei 133
III°. Egyszerűbb kinematikai feladatok 134
Feladatok
b) Egytömegű rendszer rugalmas lengései 137-147
I°. A differenciálegyenlet felállítása 137
II°. Csillapítatlan szabad lengés 139
III°. Csillapítatlan kényszerlengés 141
IV°. Csillapított szabad lengés 143
V°. Csillapított kényszerlengés 145
Feladatok
c) Harmonikus lengések szuperponálása 147-156
I°. Általános megjegyzések 147
II°. Két közös frekvenciájú harmonikus lengés szuperponálása 148
III°. Két különböző körfrekvenciájú harmonikus lengés szuperponálása 151
IV°. Kettőnél több harmonikus lengés szuperponálása 154
Feladatok
d) A rugalmasságtan sík-feladata (A. rész) 156-167
I°. Bevezetés. Alapfogalmak 156
II°. Az alapegyenletek alakja komplex potenciálokkal 162
Feladatok
e) Vegyes műszaki alkalmazási feladatok 167
I°. Szinuszos áramkörök tárgyalása 167
II°. Speciális szinuszos áramkörök vizsgálata 167
III°. Mechanikai és elektromos rezgő rendszerek analógiájának elmélete 167
IV°. A telegráfegyenlet egyes kérdései 167
V°. Az elektromágneses hullámtan egyes kérdései 167
3.§. ELEMI KOMPLEX VÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
A) A lineáris egész- és törtfüggvény
a) A lineáris egészfüggvény (w=a z+b) 168-170
I°. Speciális esetek 168
II°. Általános lineáris egészfüggvény 168
b) A lineáris törtfüggvény 170-183
I°. A reciprok függvény 170
II°. Általános lineáris törtfüggvény 171
III°. A körtartás tulajdonsága 172
IV°. A lineáris törtfüggvény invariánsa 173
V°. Inverz pontok invarianciája 175
Példák
B) Magasabb fokú racionális egész- és törtfüggvények
a) A másodfokú hatványfüggvény 183-185
I°. A z sík (felső) felének leképzése 183
II°. A függvény Riemann-felülete 185
Példák
b) A magasabb fokú hatványfüggvény 186
I°. A szektor leképzése 186
II°. A függvény Riemann-felülete 186
Példák
c) A Zsukovszkij-féle függvény 186-192
I°. Az egységkör-belső (-külső) leképzése 186
II°. A függvény Riemann-felülete 188
Példák
d) Általános racionális egész- és törtfüggvény 192-195
I°. Racionális egészfüggvény (polinom) 192
II°. Racionális törtfüggvény 193
C) Irracionális függvények
a) A négyzetgyök-függvény 185-199
I°. A reguláris ág fogalma 195
II°. Speciális reguláris ágak 196
b) Az n-edik gyök függvény 199
I°. A függvényről általában 199
II°. A függvény reguláris ágai 199
Példák
c) További irracionális függvények 200
Példák
D) Exponenciális, trigonometrikus és hiperbolikus függvények
a) Az exponenciális függvény 200-204
I°. Az ez és ex közös sajátságai 200
II°. Az ez és ex eltérő sajátságai 201
III°. Az ez különböző alakjai 202
IV°. A w=ez leképzés sajátságai 203
Példák
b) A trigonometrikus függvények (w=sin z, tg z stb.) 204-211
I°. E függvények értelmezése 204
II°. E függvények sajátságai 205
III°. A w=cos z és a w=sin z leképzés 207
IV°. A w=tg z és a w=ctg z leképzés 209
Példák
c) A hiperbolikus függvények (w=sh z, th z stb.) 211-213
I°. E függvények értelmezése 211
II°. E függvények sajátságai; leképzések 212
Példák
E) Logaritmus-, arcus- és areafüggvények
a) A logaritmusfüggvény (w=ln z) 213-217
I°. A w=ln z értelmezése, sajátságai 213
II°. A W=Ln z és reguláris ágai 214
Példák
b) Az arcusfüggvények (w=arcsin z, arctg z stb.) 217-219
I°. Értelmezés. A w=arccos z sajátságai 217
II°. A w=arctg z függvény sajátságai 218
c) Az areafüggvények (w=arsh z, arth z stb.) 219-221
I°. E függvények értelmezése 219
II°. E függvények sajátságai; leképzések 220
Példák
d) Az általános hatványfüggvény 221-222
I°. Értelmezése, sajátságai 221
II°. A függvény reguláris ágai 222
F) Műszaki alkalmazások
a) Lineáris automatikus szabályozási rendszerek vizsgálata (A. rész) 222-241
I°. Bevezetés. Alapfogalmak 222
II°. Lineáris rendszerek tranziens jelenségei 224
III°. A Laplace-transzformáció alkalmazása 227
IV°. Átviteli és átmeneti függvények 229
V°. Egységugrás és -impulzus függvény és alkalmazásai 233
VI°. Tipikus elemek átviteli függvényei 237
Feladatok
b) A négypólus-elmélet elemei 241-252
I°. Definíciók 241
II°. A passzív, lineáris négypólus alapegyenletei 242
III°. A passzív, lineáris négypólus néhány további jellemzője 246
IV°. A passzív, lineáris négypólusok terhelési esetei 248
V°. A passzív, lineáris szimmetrikus négypólusok 249
Feladatok
c) Vegyes műszaki alkalmazási feladatok 252
I°. Szinuszos áramkörök helyzetgörbéi 252
II°. Az elektroncsövek elméletének elemei 252
III°. Tranziens jelenségek lineáris rendszerekben 252
IV°. A konform leképzés egyes felsőbb geodéziai és kartográfiai alkalmazásai 252
4.§. KOMPLEX VÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA ÉS SORFEJTÉSE
A) Reguláris függvények integrálása
a) Komplex változós függvény integrálja 253-257
I°. Görbe menti integrál 253
II°. A görbe alakjáról 254
Példák
b) Cauchy integráltétele (főtétel) 257-264
I°. A tétel és jelentősége 257
II°. A Cauchy-tétel következményei 258
III°. Többszörösen összefüggő tartomány 259
Példák
c) A Cauchy-féle integrálformula 264-268
I°. A formula és jelentősége 264
II°. Cauchy-típusú integrálok 265
III°. Magasabb rendű deriváltak 265
Példák
d) További tételek a reguláris függvényekre 168-270
I°. Mordera tétele 268
II°. Középérték-tétel 279
III°. Az |f(z)| extrémum-elve 269
B) Reguláris függvények Taylor-sorfejtése
a) Reguláris függvények egyenletesen konvergens sora 270
I°. Weierstrass első tétele 270
Példák
b) Reguláris függvények Taylor-sorfejtése 270-274
I°. Hatványsor. Taylor-sorfejtés 270
II°. Reguláris függvény Taylor-sora 271
Példák
c) Reguláris függvények zérushelyei 274-275
I°. A zérushely és rendszáma 274
II°. A zérushely környezete 274
d) Analitikus folytatás. Tükrözés. Poligon-leképzés 175-283
I°. Analitikus folytatás 275
II°. A tükrözési elv 276
III°. A Schwarz-Christoffel-féle leképzés 277
Példák
C) Laurent-sorfejtés izolált szinguláris pontok környezetében
a) Gyűrűben reguláris függvény Laurent-sorfejtése 284-289
I°. A Laurent-sor előállítása 284
II°. A Laurent-sor sajátságai 285
Példák
b) Egyértékű függvény izolált szinguláris pontjai 289-296
I°. Izolált szinguláris pontok 289
II°. Megszüntethető szingularitások 289
III°. Pólusok 290
IV°. Lényeges szingularitások 291
V°. Szingularitások a végtelenben 291
Példák
D) Integrálás izolált szinguláris pontok környezetében
a) Cauchy reziduum-elméletének alaptétele 296-305
I°. Integrálás izolált szingularitás körül 296
II°. Reziduum az a= pontban 297
III°. A reziduum-tétel 298
IV°. Reziduum a pólusokban 299
Példák
b) Valós integrálok kiszámítása a reziduum-elmélet alapján 305-311
I°. A módszer vázolása 305
II°. A C menti integrál becslése 306
Példák
c) A logaritmikus reziduum. Az argumentum-elv 311-316
I°. A függvény reziduumai 311
II°. A logaritmikus reziduum 312
III°. Az argumentum-elv 313
IV°. Rouché tétele 313
Példák
E) Műszaki alkalmazások
a) Lineáris automatikus szabályozási rendszerek (B. rész) 317-326
VII°. A Routh-Hurwitz-féle stabilitási kritérium 317
VIII°. A Nyquist-Mihajlov-féle stabilitási kritérium 321
IX°. Tipikus elemek stabilitási vizsgálata 324
Feladatok
b) Vegyes műszaki alkalmazási feladatok 326
I°. Cauchy-típusú integrálok a síkbeli rugalmasságtanban 326
5.§. KÉTDIMENZIÓS VEKTOR-, SKALÁRTEREK ÉS KERÜLETÉRTÉK-FELADATOK
A) Kétdimenziós Laplace-terek
a) Kétdimenziós vektor- és skalárterek 327-336
I°. Kétdimenziós vektorterek 327
II°. Kétdimenziós skalárterek 330
III°. Többszörösen összefüggő terek 332
IV°. Örvénymentes, forrásmentes terek 334
Példák
b) Kétdimenziós örvény- és forrásmentes terek 336-338
I°. Komplex potenciál 336
II°. Potenciál- és áram- (erő-) függvény 338
c) A logaritmikus potenciálterek tulajdonságai 338-341
I°. Térokozó szingularitások 338
II°. Forrás- (nyelő-) vonal potenciáltere 339
III°. Forrásréteg és -oszlop. Dipólusvonal és réteg 340
B) A kétdimenziós Dirichlet-féle probléma
a) A Dirichlet-féle probléma és rokon problémák 341-349
I°. Kerületérték-feladatok 341
II°. A Dirichlet-féle probléma 342
III°. Speciális esetek. Rokon problémák 344
b) A probléma megoldása konform leképzéssel 349-354
I°. Görbe vonalú sáv, gyűrű, félsík 349
II°. Zárt görbe külseje 350
Példák
C) Műszaki alkalmazások
a) Ideális folyadék örvénymentes síkáramlása 354-368
I°. Általános megjegyzések 354
II°. Forrás-, nyelő- és örvénypont 356
III°. Dipólus- és multipóluspont 361
IV°. Áramlás szögletek mentén 363
V°. Forrás-, dipólus- és örvénypont párhuzamos áramlásban 364
Feladatok
b) A rugalmasságtan síkfeladata (B. rész) 368-373
I°. A kerületérték-feladatokról 368
II°. Megoldás korlátos tartományban 368
III°. Megoldás végtelen tartományban 371
Feladatok
c) Vegyes műszaki feladatok 373
I°. Elektrosztatikai terek 373
II°. Hővezetési és mágneses terek 373
III°. Vízépítési vonatkozások 373
FELHASZNÁLT ÉS AJÁNLOTT IRODALOM

Témakörök