Műszaki matematikai gyakorlatok B. IV.

Tartalom

E KÖTET
TARTALOMJEGYZÉKE
1. A KOMPLEX SZÁMOK ÉS ARITMETIKÁJUK
a) A számfogalom bővítése
A valós számkör felépítése 19
I. A racionális számok 19
II. Az irracionális számok 19
III. A valós számok 20
A valós számkör bővítése 20
I. A valós számok elégtelensége 20
II. A komplex számok kialakulása 20
Példák
b) A komplex számok és alapműveleteik
A kétdimenziós számok bevezetése 22
I. Valós számpárok 22
II. Ábrázolás a számsíkon 22
III. Műveletek értelmezése 24
Példák
A komplex számok aritmetikai bevezetése 26
I. Egyenes alapműveletek 26
II. Speciális komplex számok 26
III. Fordított alapműveletek 27
Példák
A komplex számok gyakorlati alakjai és ábrázolása 29
I. Gyakorlati alakok 30
II. A GAUSS-féle számsík 30
III. Elnevezések, jelölések 31
Példák
A komplex aritmetika gyakorlati alakjai és ábrázolása 34
I. Jelentősége 34
II. Összeadás, kivonás 34
III. Szorzás, osztás 34
IV. Hatványozás, gyökvonás 39
Példák
c) Síkvektor-geometriai feladatok
Két módszer összehasonlítása 56
I. Általánosságban 56
II. Speciális esetekben 56
A síkvektor-geometria alapfeladatai 56-62
I. Vektor, koordináták 56
II. Eltolás. Poligon 57
III. Nyújtás. Elforgatás 57
IV. Hajlásszög-feladatok 58
V. A hajlásszög függvényei 58
VI. Izogonális vektorsorozatok 58
Példák 58
Példák
Egyszerű síkvektor-geometriai feladatok 62-69
Példák
d) Műszaki alkalmazások
Háromfázisú rendszer szimmetrikus komponensei 69 - 73
I. Szimmetrikus rendszerek 69
II. Háromfázisú rendszer aszimmetriái 71
III. Aszimmetrikus háromfázisú rendszer felbontása szimmetrikus komponenseire 73
FELADATOK
Vegyes műszaki alkalmazási feladatok 75
I. Szinuszos áramkörök komplex ellenállása 76
2. §. A KOMPLEX FÜGGVÉNYTAN ÉS A KONFORM LEKÉPZÉS NÉHÁNY ALAPFOGALMA.
a) Határérték, sorozatok, sorok
Sorozat és határértéke 76 - 78
I. A határérték-elmélet alapelve 76
II. Sorozat sűrűsödési értéke 76
III. Sorozat határértéke 76
Példák
Sorok és konvergenciájuk 78
I. Sor konvergenciája és összege 78
II. Gauchy kritériuma 78
III. Abszolút konvergencia 79
IV. Műveletek végtelen sorokkal 79
Példák
b) A komplex számgömb. Tartományok és határaik
A komplex számgömb. A sztereografikus leképzés 80
I. Kölcsönös egyértelműség 80
II. A komplex számgömb 81
III. A sztereogratikus leképezés 81
Példák
Ponthalmazok. Tartományok és határaik 83 - 85
I. Ponthalmaz-elméleti fogalmak 83
II. Tartományok és határaik 83
Példák
c) A komplex függvényekről általában
A komplex függvények értelmezése és fajai 85 - 87
I. Változási tartomány 85
II. Komplex függvények és fajaik 85
III. Inverz és összetett függvények 86
d) Valós változós komplex függvények
A függvény és folytonossága. Jordán görbék 87-94
IA függvényről általában 87
II. Határérték. Folytonosság 88
III. Jordán-görbék 89
Példák
A függvény deriváltja, integrálja 94-101
I. A derivált és szemléltetése 94
II. Magasabb rendű deriváltak. TAYLOR-sor 96
III. Határozatlan és határozott integrál 96
IV. Paraméteres és improprius integrál. Laplace- és FouRiER-transzformáció 97
Példák
e) Komplex változós függvények és függvénysorok
A függvény és határértéke, folytonossága 101 - 106
I. A függvény és sajátságai 101
II.. A függvény határértéke 102
III. A függvény folytonossága 103
Példák
Függvénysoroké Hatványsorok 106 - 109
I. Függvénysorok és sajátságaik 106
II. Hatványsorok és sajátságaik 107
Példák
A függvény és a hatványsor differenciálása 109 - 121
I.. A függvény deriváltja. Regularitás 109
II. CAUCHY-RIEMANN-egyenletek 110
III. LAPLACE-egyenlet. Harmonikus függvények 113
IV. Hatványsor differenciálása 115
Példák
f) A konform leképzés
A konform leképzés sajátságait mértékei 121-129
I. Előkészítés 121
II. Főbb sajátságok 121
III. Konformitás egy tartományban 123
Példák
A konform leképzés elméletének általános elvei 129-134
I. Alapfeladat 129
II. Tartományok konform leképzése 129
III. Kerületek megfeleltetése 130
Példák
g) Műszaki alkalmazások
Pont kinematikája a síkban 134-139
I. Alapfogalmak 134
II. A z, v és a vektorok komponensei 135
III. Egyszerűbb kinematikai feladatok 136
FELADATOK
Egytömegű rendszer rugalmas lengései 139-149
I. A differenciálegyenlet felállítása 139
II. Csillapítatlan szabad lengés 141
III. Csillapítatlan kényszerlengés 143
IV. Csillapított szabad lengés 145
V. Csillapított kényszerlengés 147
FELADATOK
Harmonikus lengések szuperponálása 149-158
I. Általános megjegyzések 149
II. Két közös frekvenciájú harmonikus lengés szuperponálása 150
III. Két különböző körfrekvenciájú harmonikus lengés szuperponálása 153
IV°. Kettőnél több harmonikus lengés szuperponálása 156
FELADATOK
A rugalmasságtan sík-feladata (A. rész) 158-169
I. Bevezetés. Alapfogalmak 158
II. Az alapegyenletek alakja komplex potenciálokkal 164
FELADATOK
Vegyes műszaki alkalmazási feladatok 169
I. Szinuszos áramkörök tárgyalása 169
II. Speciális szinuszos áramkörök vizsgálata 169
III. Mechanikai és elektromos rezgő rendszerek analógiájának elmélete 169
IV. A telegráf egyenlet egyes kérdései 169
V. Az elektromágneses hullámtan egyes kérdései 169
3. §. ELEMI KOMPLEX VÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
a) A lineáris egész- és törtfüggvény
A lineáris egészfüggvény (w = a z + b) 170-172
I. Speciális esetek 170
II. Általános lineáris egészfüggvény 170
A lineáris törtfüggvény 172-185
I.A reciprok függvény 172
II. Általános lineáris törtfüggvény 173
III. A körtartás tulajdonsága 174
IV. A lineáris törtfüggvény invariánsa 175
V. Inverz pontok invarianciája 177
Példák
b) Magasabb fokú racionális egész- és törtfüggvények
A másodfokú hatványfüggvény (w = z2) 185-187
I.A z sík (felső) felének leképzése 185
II. A függvény RIEMANN-felülete 187
Példák
A magasabb fokú hatványfüggvény 188
A szektor leképzése 188
A függvény RIEMANN-felülete 188
Példák
ZSUKOVSZKIJ-féle függvény 188 - 194
I. Az egységkör-belső (-külső) leképzése 188
II. A függvény RIEMANN-felülete 190
Példák
Általános racionális egész- és törtfüggvény 194-197
I. Racionális egészfüggvény (polinom) 194
II. Racionális törtfüggvény 195
c) Irracionális függvények
A négyzetgyök-függvény 197-201
I. A reguláris ág fogalma 3 97
II. Speciális reguláris ágak 198
Az n-edik gyök függvény 201
I. A függvényről általában 201
II. A függvény reguláris ágai 201
Példák
További irracionális függvények 202
I. A függvény 202
II. A függvény 202
Példák
d) Exponenciális, trigonometrikus és hiperbolikus függvények
Az exponenciális függvény 202
I. Az ez és ex közös sajátságai 202
II. Az e2 és e* eltérő sajátságai 203
III. Az ez különböző alakjai 204
IV. A w = ez leképzés sajátságai 205
Példák
A trigonometrikus függvények 206-213
I. E függvények értelmezése 206
II. E függvények sajátságai 207
III. A w = cos z és a w = sin z leképzés 209
IV. A w = tg z és a w = ctg z leképzés 211
Példák
A hiperbolikus függvények (w = sh z, th z stb.) 213-215
I. E függvények értelmezése 218
II. E függvények sajátságai; leképzések - 214
Példák
e) Logaritmus-, arcus- és areafüggvények
A logaritmusfüggvény (w = ln z) 215-219
I. A w = ln z értelmezése, sajátságai 216
II. A w = ln z és reguláris ágai 216
Példák
Az arcusfüggvények (w - arcsin z, arctg z stb.) 219-221
I. Értelmezés. A w = arccos z sajátságai 219
II. A ív = arctg z függvény sajátságai 220
Az areafüggvények (w = arsh z, arth z stb.) 221-223
I. E függvények értelmezése 221
II. E függvények sajátságai; leképzések 222
Példák
Az általános hatványfüggvény 223 - 224
I. Értelmezése, sajátságai 223
II. A függvény reguláris ágai 224
f) Műszaki alkalmazások
Lineáris automatikus szabályozási rendszerek vizsgálata (A. rész) 224 243
I. Bevezetés. Alapfogalmak 224
II. Lineáris rendszerek tranziens jelenségei 226
III. A LAPLACE-transzformáció alkalmazása 229
IV. Átviteli és átmeneti függvények 231
V. Egységugrás és -impulzus függvény és alkalmazásai 235
VI. Tipikus elemek átviteli függvényei 239
FELADATOK
A négypólus-elmélet elemei 243 - 154
I. Definíciók 245
II. A passzív, lineáris négypólus alapegyenletei 244
III. A passzív, lineáris négypólus néhány további jellemzője 248
IV. A passzív, lineáris négypólusok terhelési esetei 250
V. A passzív, lineáris szimmetrikus négypólusok 251
FELADATOK
Vegyes műszaki alkalmazási feladatok 254
I. Szinuszos áramkörök helyzetgörbéi 254
II. Az elektroncsövek elméletének elemei 254
III. Tranziens jelenségek lineáris rendszerekben 254
IV. A konform leképzés egyes felsőbb geodéziai és kartográfiai alkalmazásai 254
4. §. KOMPLEX VÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA ÉS SORFEJTÉSE
a) Reguláris függvények integrálása
Komplex változós függvény integrálja 255-259
I. Görbe menti integrál 255
II. A görbe alakjáról 256
Példák
Cauchy integráltétele (főtétel) 259-266
I. A tétel és jelentősége 259
II. A Cauchy-tétel következményei 260
III. Többszörösen összefüggő tartomány 261
Példák
A Cauchy-féle integrálformula 266-270
I. A formula és jelentősége 266
II. Cauchy-típusú integrálok 267
III. Magasabb rendű deriváltak 267
Példák
További tételek a reguláris függvényekre 270-272
I. MORÉRA tétele 270
II. Középérték-tétel 271
III. Az l f(z) l extrémum-elve 271
b) Reguláris függvények TAYLOR-sorfejtése
Reguláris függvények egyenletesen konvergens sora 272
I. Weierstrass első tétele 272
Példák
Reguláris függvények TAYLOR-sorfejtése 272
I. Hatványsor. Taytor-sorfejtés 272
II. Reguláris függvény TAYLOR-sora 273
Példák
Reguláris függvények zérushelyei 276
I.A zérushely és rendszáma 276
II. A zérushely környezete 276
Analitikus folytatás. Tükrözés. Poligon-leképzés 277-285
I. Analitikus folytatás 277.
II. A tükrözési elv 277
III. A SCHWARZ-GHRISTOFFEL-féle leképzés 279
Példák
c) Laurent-sorfejtés izolált szinguláris pontok környezetében
Gyűrűben reguláris függvény LAURENT-sorfejtése 286 - 291
I. A LAURENT-sor előállítása 286
II. A LAURENT-sor sajátságai 287
Példák
Egyértékű függvény izolált szinguláris pontjai 291-298
I. Izolált szinguláris pontok 291
II. Megszüntethető szingularitások 291
III. Pólusok 292
IV. Lényeges szingularitások 293
V. Szingularitások a végtelenben 293
Példák
d) Integrálás izolált szinguláris pontok környezetében
Cuachy reziduum-elméletének alaptétele 298 - 307
I. Integrálás izolált szingularitás körül 298
II. Reziduum az a = végtelen pontban 299
III. A reziduum-tétel 300
IV. Reziduum a pólusokban 301
Példák
Valós integrálok kiszámítása a reziduum-elmélet alapján 307-313
I. A módszer vázolása 307
II. A C menti integrál becslése 308
Példák
A logaritmikus reziduum. Az argumentum-elv 313 - 318
I. A függvény reziduumai 313
II. A logaritmikus reziduum 314
III. Az argumentum-elv 315
IV. Rouché tétele 315
Példák
e) Műszaki alkalmazások
Lineáris automatikus szabályozási rendszerek (B. rész) 319- 328
VII. A Routh - HURWITZ-féle stabilitási kritérium 319
VIII. A Nyquist-Mihajlov-féle stabilitási kritérium 323
IX. Tipikus elemek stabilitási vizsgálata 326
FELADATOK
Vegyes műszaki alkalmazási feladatok 328
I. CAUCHY-típusú integrálok a síkbeli rugalmasságtanban 328
5. §. KÉTDIMENZIÓS VEKTOR-, SKALÁRTEREK ÉS KERÜLETÉRTÉK-FELADATOK
a) Kétdimenziós LAPLACE-terek
Kétdimenziós vektor- és skalárterek 329-338
I. Kétdimenziós vektorterek 329
II. Kétdimenziós skáláfterek 332
III. Többszörösen összefüggő terek 334
IV. Örvénymentes, forrásmentes terek 336
Példák
Kétdimenziós örvény- és forrásmentes terek 338-340
I. Komplex potenciál 338
II. Potenciál- és áram- (erő-) függvény 340
A logaritmikus potenciálterek tulajdonságai 340-343
I. Térokozó szingularitások 340
II. Forrás- (nyelő-) vonal potenciáltere 341
III. Forrásréteg és -oszlop. Dipólusvonal és réteg 342
b) A kétdimenziós DIRICHLET-féle probléma
A DiRiCHLET-féle probléma és rokon problémák 343 - 352
I. Kerületérték-feladatok 343
II. A DiRiCHLET-féle probléma 344
III Speciális esetek. Rokon problémák 346
A probléma megoldása konform leképzéssel 351-356
I. Görbe vonalú sáv, gyűrű, félsík 351
II. Zárt görbe külseje 352
Példák
c) Műszaki alkalmazások
Ideális folyadék örvény mentes síkáramlása 356 - 370
I. Általános megjegyzések 356
II. Forrás-, nyelő- és örvénypont 358
III. Dipólus- és multipóluspont 363
IV. Áramlás szögletek mentén 365
V. Forrás-, dipólus- és örvénypont árhuzamos áramlásban 366
FELADATOK
A rugalmasságtan síkfeladata (B. rész) 370-375
I A kerületérték-feladatokról 370
II. Megoldás korlátos tartományban 370
III. Megoldás végtelen tartományban 373
IV. Formulák, ortogonális görbe vonalú koordinátákkal 375
V. Poligonkülsők leképzése egységkörbe 382
VI. A számítások gyakorlati módszere 386
FELADATOK
Vegyes műszaki feladatok 392
I. Elektrosztatikai terek 392
II. Hővezetési és mágneses terek 392
III. Vízépítési vonatkozások 392
FELHASZNÁLT ÉS AJÁNLOTT IRODALOM

Témakörök