Mértan a középiskolák felsőbb osztályai számára I-II.

Tartalom

I. rész
BEVEZETÉS.
I. Mennyiségtani alapfogalmak ... ...1
II. A mértan tárgya 3
II. A mértan felosztása és módszerei 4
SÍKMÉRTAN.
Első fejezet.
A vonalak és a szögek.
Az egyenes vonal ... 5
Az egyenes vonalak összeadása, kivonása stb 6
Az egyenes vonalak mérése ... ...6
A szögek keletkezése ...9
A szögek nemei és mértéke 10
A mellékszögek ... ... ... ...11
A csúcsszögek ... ... 12
A körvonal ... ... 13
Második fejezet.
A párhuzamos egyenesekről.
Két és három párhuzamos egyenes ... ... 14
Két párhuzamos és egy átmetsző egyenes ... ... ... 15
Harmadik fejezet.
Az idomokról általában. Egybevágó idomok.
I. A háromszög.
A háromszögek belső és külső szögei 19
A háromszögek nemei 20
A háromszögek alkotórészeinek összefüggése. Egybevágó
háromszögek.
Általános észrevételek 21
Hiányosan meghatározott háromszögek 22
A háromszög meghatározása egy oldal és két szög alapján 23
A háromszög meghatározása két oldal és a közbezárt szög alapján 25
A háromszög meghatározása két oldal és a nagyobbik oldallal átellenben
fekvő szög alapján 30
A háromszög meghatározása három oldal alapján ... 31
Szerkesztési feladatok 32
II. A négyszög.
A négyszögek nemei 39
A négyszög belső és külső szögei 40
A parallelogramma tulajdonságai 40
A parallelogrammák nemei 41
A trapéz tulajdonságai 42
A négyszögek meghatározásáról 43
III. A sokszögek.
A sokszögek nemei 44
A sokszögek általános tulajdonságai 44
A sokszögek meghatározása ... 45
IV. A kör.
A kör meghatározása 46
A kör húrjainak tulajdonságai 46
A kör szelője és érintője ... ... 49
A középponti szögek. A szögek mértékéről 50
Egyéb szögek a körben 52
Két kör kölcsönös helyzete 54
A körre vonatkozó legegyszerűbb szerkesztések 56
A mértani hely fogalma...57
Negyedik fejezet.
Az egyenes vonalú idomok hasonlósága.
Az egyenesek arányossága 59
A sugárrendszer 60
Szerkesztési feladatok 63
A háromszögek hasonlósága ... 64
Mértani középarányos vonal. Pythagoras tétele 67
A sokszögek hasonlósága ... 69
A háromszögek hasonlóságának alkalmazása a körhöz tartozó egyenes
vonalakra 71
Két kör hasonlósági pontjai 74
Ötödik fejezet.
Az egyenes vonalú idomok területe.
I. Az egyenes vonalú idomok egyenlősége.
Az egyenlő területűség fogalma 76
A parallelogrammák és a háromszögek területének összehasonlítása...76
Sokszögek átalakítása egyenlő területű parallelogrammákká 79
A sokszögek összeadása, kivonása, szorzása és osztása 80
II. Az egyenes vonalú idomok terület-mérése.
Az egyenes vonalú idomok területeinek összehasonlítása 81
Az egyenes vonalú idomok területének kiszámítása ... ... ... 85
Területek átalakítása ... ... 87
Hatodik fejezet.
A beírt és körülírt idomokról.
A beírt és körülírt háromszögekről 89
A beírt és körülírt négyszögekről 91
Szabályos sokszögek ...92
Hetedik fejezet.
A kör kerülete és területe.
A körvonal mérése 100
A körívek mérése 103
A kör területe ... 104
A kör részeinek területe 105
Feladatok a planimetriához 107
A TÉRMÉRTAN BEVEZETŐ TÉTELEI.
Nyolcadik fejezet.
A téridomokról általában.
Az egyenes vonalak kölcsönös helyzete a térben ... .127
A sík helyzetének meghatározásáról ... ... 127
Az egyenes helyzete a síkhoz ... ... 128
Két sík kölcsönös helyzete ... ...128
A síkra merőlegesen álló egyenesekről ... ... .129
Az egyenes vetülete a síkon. Az egyenes hajlásszöge ...131
Párhuzamos egyenes, vonalak és síklapok ..133
A lapszögekről. Két sík hajlásszöge 136
A merőleges síkokról 137
A legegyszerűbb térmértani szerkesztések 138
Kilencedik fejezet.
A testszögekről.
A testszögek fogalma. Csúcs- és sarktestszögek . 140
A testszögek általános tulajdonságai 142
A háromélű testszögek meghatározása .. 143
Feladatok a térmértan bevezető részéhez ... 147
HÁROMSZÖG-MÉRTAN.
Tizedik fejezet.
A derékszögű és az egyenlőszárú háromszögek megfejtéséről.
A szögfüggvények ... ... 150
Fő- és pótló függvények. A szögfüggvények változásai 153
A szögfüggvények mértani ábrázolása - 154
Ugyanazon szög függvényeinek összefüggése 155
Néhány hegyes szög függvényeinek meghatározása ... 157
Szögmértani táblák 160
A derékszögű háromszögek megfejtésére szolgáló tételek .. 163
A derékszögű háromszögek megfejtése 163
Az egyenlőszárú háromszög megfejtése ... ... 167
Tizenegyedik fejezet.
Szögmértan, goniometria.
A tompa- és kihajló szögek függvényei 168
A hegyes- és a nagyobb szögek, függvényei 171
A szögfüggvények értékváltozásairól 174
Két szög összegének és különbségének függvényei. A negatív szögek
függvényei... 178
A kétszeres és a felényi szögek függvényei 182
A szögfüggvények összegének és különbségének szorzattá, illetőleg hányadossá való átalakítása ... 183
Három, vagy több szög függvényei ... ... ... ... 184
A szögfüggvények kiszámítása 184
A tompa- és kihajló szögek függvényei ... ... ... 187
Goniometriai egyenletek ... ... 188
Tizenkettedik fejezet.
A ferdeszögű háromszögek megfejtése.
A ferdeszögű háromszögek megfejtésére szolgáló képletek 190
A ferdeszögü háromszögek megfejtése 194
A háromszögek területének kiszámítása 204
A körülírt és a beírt kör sugarának kiszámítása 206
Háromszögmértani feladatok 203
Tizenharmadik fejezet.
A trigonometria alkalmazása.
Néhány feladat a négyszögről 211
A szabályos sokszögek kiszámítása ... 215
Feladatok a gyakorlati mértan köréből 217
Feladatok a trigonometriához 222

II. rész
TÉRMÉRTAN. (Sztereometria).
Első fejezet.
A téridomokról általában.
Az egyenes vonalak kölcsönös helyzete a térben... ..... 7
A sík helyzetének meghatározásáról ... ... ... ... ... 7
Az egyenes és a sík kölcsönös helyzete ... ... 8
Két sík kölcsönös helyzete 8
A síklapra merőlegesen álló egyenes vonalakról .. ... ... 9
Az egyenes vetülete a síkon. Az egyenes hajlásszöge 11
Párhuzamos egyenes vonalak és síklapok 14
A lapszögekről. Két sík hajlási szöge ... ... 16
A merőleges síkokról .. 17
A legegyszerűbb térmértani szerkesztések 18
Második fejezet.
A testszögek.
A testszög fogalma. Csúcs- és sark-testszögek 20
A testszögek általános tulajdonságai ... 22
A háromélü testszögek meghatározása 24
Harmadik fejezet.
A szögletes testek tulajdonságai.
A gúla és a hasáb ... ... ... 28
A szögletes testek általános tulajdonságai 33
A szabályos testek ... 34
A szabályos testek szerkesztése ... ... 36
Negyedik fejezet.
A gömbölyű testek tulajdonságai.
A kúp és a henger... 39
A gömb 41
A gömbi szögek és háromszögekről...45
Egybevágó és szimmetrikus gömbháromszögek ... 43
A gömbbe és köréje írt testekről ..... 49
Ötödik fejezet.
A testek hasonlóságáról.
A gúlák hasonlósága .. ... 50
Egyéb szögletes testek hasonlósága ... 51
A gömbölyű testek hasonlóságáról ... ... ... . 52
Hatodik fejezet.
A testek felszíne és köbtartalma.
A térfogat-egységről ... 53
A parallelepipedonok térfogatainak egyenlőségéről ... 53
A parallelepipedonok térfogatainak arányosságáról ... 59
A parallelepipedon és a hasáb felszíne és köbtartalma 60
A gúla és a csonka gúla felszíne és köbtartalma... 61
A hasonló szögletes testek térfogatainak arányáról ... ... 63
A henger felszíne és köbtartalma ... 64
A kúp és a csonka kúp felszíne és köbtartalma ... 60
A szabályos sokszögek körülforgásából származott testek és a gömb felszíne és köbtartalma... . 68
Hetedik fejezet.
Gömbháromszög-mértan.
Bevezetés 78
A gömbháromszögmértan alapegyenletei 78
A derékszögű gömbháromszögek megfejtése... ... ..81
A gömbháromszögmértan főképleteinek átalakítása 83
A Delambre- v. Gauss-féle képletek és a Napier-féle analogiák 88
A ferdeszögű gömbháromszögek megfejtése 91
Nyolcadik fejezet.
A gömbháromszögmértan néhány alkalmazása.
A ferde parallelepipedon, háromoldalú hasáb és gúla köbtartalom-számítása 99
A gömbháromszögmértan alkalmazása a szabályos testek kiszámítására 101
Geográfiái helyek valóságos távolságainak a meghatározása 105
Feladatok a tér- és gömbháromszög-mértanhoz 106
ANALITIKAI SÍKMÉRTAN.
Kilencedik fejezet.
Az algebra alkalmazása a mértanra.
Előleges észrevételek 131
Az egynemű algebrai kifejezésekről ... 133
Az első- és másodfokú egyenletek mértani szerkesztése 135
Az algebra alkalmazása néhány mértani feladat megfejtésére 138
Tizedik fejezet.
A pontról.
A pont helyének meghatározása valamely síkban 143
Két adott pont kölcsönös távolságának meghatározása ... . 145
A koordináták átalakításáról 147
A vonalak egyenletei. A két változót tartalmazó egyenletek mértani
jelentése. A vonalak osztályozása ... ... 150
Tizenegyedik fejezet.
Az elsőrendű vonalak.
Az egyenes vonal egyenlete ... .153
Az egyenes egyenletének taglalása ... ...156
Az egyenes szerkesztése 157
Föladatok az egyenes vonalról ..158
A háromszög néhány tételének analitikai bebizonyítása 163
Az egyenes sarkegyenlete - ... ... ... ...165
Tizenkettedik fejezet.
A másodrendű vonalak.
A) A kör.
A kör egyenlete ... ... ... ... ... ... 167
A kör középponti egyenletének taglalása ... .. 168
A kör szerkesztése a megfelelő egyenlet alapján 169
A kör sarkegyenlete 170
A kör és az egyenes vonal átmetszésének föltételei ... 170
Két kör kölcsönös fekvéséről 171
A kör érintője és deréklője 173
B) Az ellipszis (kerülék).
Az ellipszis értelmezése és szerkesztése - 177
Az ellipszis középponti egyenlete 179
Az ellipszis középponti egyenletének taglalása ... 180
Az ellipszis szerkesztése két tengelye alapján ... 183
Az ellipszis csúcsponti egyenlete 185
Az ellipszis sarkegyenlete ...185
Az ellipszis érintője és deréklője 186
C) A hiperbola (mentelék).
A hiperbola értelmezése és szerkesztése ... 190
A hiperbola középponti egyenlete 192
A hiperbola középponti egyenletének taglalása 192
A hiperbola csúcsponti egyenlete ... 196
A hiperbola sarkegyenlete 196
A hiperbola érintője és deréklője 197
D) A parabola (hajtalék).
A parabola értelmezése és szerkesztése ... 199
A parabola csúcsponti egyenlete ... ... .... ... ... 199
A parabola csúcsponti egyenletének taglalása - ... 200
A parabola sarkegyenlete.. ... 201
A parabola érintője és deréklője ... ... 202
E) A másodrendű vonalakról általában.
A két változót tartalmazó általános másodfokú egyenlet mértani jelentése 204
Az átalakított másodfokú egyenlet taglalása 208
A másodrendű vonalak középpontjáról 211
A másodrendű vonalak átmérőiről ... .. 212
A másodrendű vonalak egyenletei társátmérőikre vonatkozólag - ... 216
A hiperbola egyenlete a közelítő egyenesekre vonatkoztatva ... ... 222
A másodrendű vonalak összehasonlítása... ... 224
Az ellipszis és parabola négyszögesítése 226
A másodrendű vonalaknak a kúp- és henger-metszetekkel való azonossága 229
Feladatok az analitikai síkmértanhoz 233

Témakörök