Analízis I.

Előszó

Minden tudomány úgy fejlődik, hogy az emberiség a felgyülemlett tapasztalatok rendszerezésével fogalmakat alakít ki, ezek között összefüggéseket állapít meg; az így nyert ismeretek birtokában új tapasztalatokra tesz szert, új fogalmakat vezet be, új összefüggéseket tár fel, és így tovább. A matematika fejlődése is így indult, azonban e tudomány jellegénél fogva az előrehaladás a közvetlen tapasztalatoktól való rohamos elszakadással járt együtt. Ez azt eredményezte, hogy az új és új fogalmak általában egyre kevesebb és kevesebb szemléletes tartalommal rendelkeztek, egyre kevésbé kézzelfoghatóvá váltak. Eleinte azonban az emberek megragadtak szokásos szemléletes képeiknél, aminek következtében ellentmondásokra jutottak. Az ellentmondások szaporodása késztette a matematikusokat arra, hogy kritikusan felülvizsgálják tudományukat. E munka nyomán alakult ki a matematika mai nagyon szigorúan meghatározott szerkezetű szilárd épülete.
Most már, visszatekintve, igen egyszerű példán tudjuk bemutatni, milyen problémák merültek fel, és aztán könnyű vázolni, hogyan lehet ezeket elkerülni. Íme: tekintsük azon egész számok összességét, amelyeket magyar nyelven legfeljebb ezer karakterrel (betűvel, írásjellel és szóközzel) le tudunk írni. Például: száz, kétmillió- háromszázhuszonhétezer, mínusz kettő, hatszor hat, tíz a huszonkettediken, stb. Véges sok karakter áll rendelkezésünkre, ezeknek véges sok legfeljebb ezer hosszúságú variációja lehetséges, tehát csak véges sok ilyen szám van. Közöttük nyilván létezik legnagyobb; jelölje ezt n. Legyen m "az a legkisebb egész szám, amely nagyobb, mint a magyar nyelven legfeljebb ezer karakterrel leírható összes egész szám". Meghatározása szerint tehát m nagyobb, mint n. Számoljuk viszont meg az idézőjelen belüli karaktereket: ezernél kevesebben vannak. Következésképpen m a kiválasztott tulajdonsággal rendelkezik, így nem lehet nagyobb, mint n.
Egészen addig, amíg nyilvánvalóvá nem vált az ellentmondás, úgy tűnt, értelmes és igaz dolgokat mondtunk. Valahol pedig hiba van. Hiába ismételjük azonban végig, amit mondtunk, nem találunk szembeszökő tévedést. Vissza