Matematikai statisztika

Tartalom

Előszó 13
Bevezetés 19
1. Fejezet
A minta. A tapasztalati eloszlás. A statisztikák aszimptotikus tulajdonságai
1. A minta fogalma 23
2. A tapasztalati eloszlás (egydimenziós eset) 26
3. Tapasztalati jellemzők. A statisztikák két típusa 30
1. Példák a tapasztalati jellemzőkre (30). 2. A statisztikák két fajta típusa (31).
4. Többdimenziós minták 34
1. Tapasztalati elosztás (34). 2. A Glivenko-Cantelli tétel még általánosabb változatai. Az iterált logaritmus tétele (35). 3. Tapasztalati jellemzők (36).
5. Folytonossági tételek 37
6*. A tapasztalati eloszlásfüggvény mint sztochasztikus folyamat. Konvergenciája a Brown-hídhoz 41
1. Az nF*n(t) folyamat eloszlása (41), 2. A folyamat aszimptotikus viselkedése (45).
7. Az első típusú statisztikák határeloszlása 47
8*. A második típusú statisztikák határeloszlása 52
9*. Néhány megjegyzés a nemparaméteres statisztikákról 61
10*. A tapasztalati eloszlás simítása. Tapasztalati sűrűségfüggvény 62
2. Fejezet
Az ismeretlen paraméterek becslésének elmélete
1. Előzetes megjegyzések 70
2. Paraméteres eloszláscsaládok és tulajdonságaik 71
1. A normális eloszlás (72). 2. A többdimenziós normális eloszlás (72). 3. Gamma-eloszlás (73). 4. A k-szabadságfokú Hk-eloszlás (74). 5. Exponenciális eloszlás (75). 6. k1, k2 szabadságfokú Fisher-féle eloszlás (75). 7. A k-szabadságfokú Tk Student-eloszlás (76). 8. Béta-eloszlás (B-eloszlás) (78). 9. Egyenletes eloszlás (78). 10. Az Ka.o- paraméterű Cauchy-eloszlás (81). 11. Az La,o2 lognormális eloszlás (81). 12. Az elfajult eloszlás (82).
13. A Bp^n binomiális eloszlás (82). 14. A Poisson-eloszlás (82). 15. Polinomiális eloszlás (82).
3. Pontbecslés. A becslések készítésének alapvető módszere. Konzisztencia, aszimptotikus normalitás 83
1. A behelyettesítéses módszer. Konzisztencia (83). 2. Aszimptotikus normalitás. Egydimenziós eset(87). 3. Aszimptotikus normalitás. Többdimenziós paraméter esete (87).
4. A behelyettesítéses módszer megvalósításai a paraméteres esetben. A momentum módszer 88
1. A momentum módszer. Egydimenziós eset (89). 2. A momentum módszer. A többdimenziós eset (91). 3. Az általánosított momentum módszer (92).
5*. A minimális távolság módszere 92
6. A maximum likelihood becslés 95
7. A becslések összehasonlítása 103
1. A négyzetes középben vett eltérés. Egydimenziós eset (103). 2. Az aszimptotikus módszer. Egydimenziós eset (106). 3. A négyzetes eltérés és az aszimptotikus módszer a többdimenziós esetben (109).
8. A becslések összehasonlítása a paraméteres esetben. Hatásos becslések 113
1. Az egydimenziós eset (114). 2. A többdimenziós eset (119).
9. A feltételes várható érték 121
1. A f.v.é. definíciója (121). 2. A f.v.é. tulajdonságai (25).
10. A feltételes eloszlás 127
11. Bayes-féle és minimax becslések 131
12. Elégséges statisztikák 139
13. Minimális elégséges statisztikák 144
14. Hatásos becslések készítése az elégséges statisztikák segítségével.Teljes statisztikák 152
1. Egydimenziós eset (152). 2. Többdimenziós eset (153). 3. Teljes statisztikák és hatásos becslések (154).
15. Exponenciális eloszláscsalád 157
16. A Cramer-Rao-egyenlőtlenség és az R-hatásos becslések 162
1. A Cramer-Rao-egyenlőtlenség és következményei (162). 2. R-hatásos és aszimptotikusan R-hatásos becslések (168). 3. A Cramer-Rao egyenlőtlenség a többdimenziós esetben (172). 4. Néhány következtetés (178).
17. A Fisher-féle információ tulajdonságai 179
1. Egydimenziós eset (179). 2. Többdimenziós eset (182). 3. A Fisher-mátrix és a paramétertranszformáció (184).
18. Az eltolás és a skálaparaméter becslése. Hatásos invariáns becslések 185
1. Az eltolás- és a skálaparaméter becslése (186). 2. Az eltolásparaméter hatásos becslése az ekvivalens becslések osztályán belül (187). 3. A Pitman-féle becslés minimax volta (190). 4. A skálaparaméter optimális becslése (192).
19. Az ekvivalens becslés általános feladata 195
20. Cramer-Rao típusú integrálegyenlőtlenségek. Aszimptotikusan Bayes-féle és minimax becslések 198
1. Hatásos és túlhatásos becslések (198). 2. Alapvető egyenlőtlenségek (200). 3. Egyenlőtlenségek abban az esetben, amikor q{0)/I(0) függvény nem deriválható (204). 4. Néhány következmény. Aszimptotikusan Bayes-féle és minimax becslések (206). 5. Többdimenziós eset (209).
21. A Kullback-Leibler, a Hellinger és a x2 távolság. Tulajdonságaik 209
1. A távolságok definíciója és alapvető tulajdonságaik (209). 2. A Hellinger és a többi távolság kapcsolata a Fisher-féle információval (213). 3. Egyenletes alsó határ az r(A)/A2 mennyiségekre (214). 4. Többdimenziós eset (215).
5. A vizsgált távolságok és a becslések kapcsolata (217).
22. Cramer-Rao-típusú differencia egyenlőtlenségek 218
23. A likelihood-hányadosra vonatkozó segédegyenlőtlenségek. A maximum likelihood-becslés konzisztenciája 224
1. Alapegyenlőtlenségek (225). 2. A m.l.b. eloszlására és momentumaira vonatkozó becslések. A m.l.b. konzisztenciája (228).
24. A likelihood-hányados tulajdonságai 229
25. A maximum likelihood-becslés tulajdonságai. Aszimptotikus normalitás. Aszimptotikus optimalitás 238
1. A m.l.b. aszimptotikus normalitása (238). 2. Aszimptotikus hatásosság (239). 3. A m.l.b. aszimptotikusan Bayes-féle(241). 4. A m.l.b. aszimptotikusan minimax becslés(242).
26. A maximum likelihood-becslés közelítő kiszámítása 242
27. A maximum likelihood-becslés tulajdonságai - regularitási feltételek nélkül. Konzisztencia 249
28. A 23-27. pontok eredményei a többdimenziós paraméter esetében 255
1. A likelihood-hányadosra vonatkozó egyenlőtlenségek (23. pont eredményei) (255). 2. A likelihood-hányados aszimptotikus tulajdonságai (a 24. pont erdményei) (256). 3. A m.l.b. tulajdonságai (a 25. pont eredményei) (261). 4. A m.l.b. közelítő meghatározása (264). 5. A m.l.b. tulajdonságai regularitási feltételek nélkül (a 27. pont eredményei) (264).
29. A likelihood-hányados és a maximum likelihood-becslés aszimptotikus tulajdonságainak 9 szerinti egyenletessége 264
1. Egyenletes nagy számok törvénye és a centrális határeloszlás tétel (263).
2. A likelihood-hányados és a maximum likelihood-becslés aszimptotikus tulajdonságairól szóló tételek egyenletes variánsai (266). 3. Néhány következmény (270).
30. A véletlen elemszámú mintákkal kapcsolatos statisztikai feladatok. Szekvenciális becslések 271
31. Az intervallumbecslések 272
1. Definíció (272). 2. A konfidenciaintervallumok megszerkesztése a Bayes-féle esetben (273). 3. Konfidenciaintervallumok konstruálása az általános esetben. Aszimptotikus konfidenciaintervallumok (274). 4. Pontos konfidenciaintervallum szerkesztése adott statisztika alapján (277). 5. Más módszerek a konfidenciaintervallumok szerkesztésére (281). 6. A többdimenziós eset (283).
32. Pontos tapasztalati eloszlások és konfidenciaintervallumok normális eloszláscsalád esetén 284
1. Az X, 5q statisztikák pontos eloszlása (284). 2. Pontos konfidenciaintervallum szerkesztése a normális eloszlás paraméterére (287).
3. Fejezet
Hipotézisvizsgálat
1. Véges sok egyszerű hipotézis vizsgálata 291
1. A feladat megfogalmazása. A statisztikai próba fogalma. Legerősebb próbák (291). 2. A Bayes-féle megközelítés (294). 3. A minimax megközelítési mód (299). 4. Legerősebb próbák (300).
2. Két egyszerű hipotézis közötti döntés 302
3. A próbák kiszámolásának kétfajta aszimptotikus megközelítése. Számszerű összehasonlítások 306
1. Előzetes megjegyzések (306). 2. Rögzített hipotézisek (307). 3. Közeli hipotézisek (312). 4. Az aszimptotikus megközelítések összehasonlítása.
Számpélda (315). 5. A l.e.p. kapcsolata a m.l.b. aszimptotikus hatásosságával (320).
4. Összetett hipotézisek vizsgálata. Az optimális próbák osztályai 321
1. A feladat megfogalmazása és az alapfogalmak (321). 2. Egyenletesen legerősebb próbák (324). 3. Bayes-féle próbák (325). 4. Minimax próbák (326).
5. Egyenletesen legerősebb próbák 326
1. Egyoldali hipotézisek. Monoton likelihood-hányados család (326). 2. Kétoldali nullhipotézis. Exponenciális eloszláscsalád (330). 3. A vizsgált feladat egy másféle megközelítése (335). 4. A Bayes-féle megközelítés és a legkevésbé kedvező apriori eloszlás használata a l.e.p. és az e.l.e.p. konstrukciójában (336).
6. Torzítatlan becslések 339
1. Definíció. Torzítatlan e.l.e.p. (339). 2. Kétoldali ellenhipotézisek. Exponenciális eloszláscsalád (341).
7. Invariáns próbák 344
8. Kapcsolat a konfidenciatartományokkal 349
1. A statisztikai próbák és a konfidenciatartományok kapcsolata. Az optimális tulajdonságok összefüggése (349). 2. Legpontosabb konfidenciaintervallumok (351). 3. Torzítatlan konfidenciatartományok (355). 4. Invariáns konfidenciatartományok (356).
9. Az összetett hipotézisek Bayes-féle és minimax megközelítése 359
I. Bayes-féle és minimax próbák (359). 2. Minimax próba a normális eloszlás alfa paraméterére (363). 3. Elfajuló legkevésbé kedvező eloszlások egyoldali hipotézisek esetén (371).
10. A likelihood-hányados-próba 372
11. Szekvenciális analízis 376
1. Bevezető megjegyzések (376). 2. Bayes-féle szekvenciális próba (377). 3. A kísérletek számának átlagértékét minimalizáló szekvenciális próba (381).
4. A legjobb szekvenciális próba paramétereinek kiszámolása (384).
12. Az összetett hipotézisek vizsgálata az általános esetben 387
13. Aszimptotikusan optimális próbák. A likelihood-hányados-próba mint aszimptotikusan Bayes-féle próba egyszerű nullhipotézis és összetett ellenhipotézis esetén 397
1. A l.h.p. és a Bayes-próba aszimptotikus tulajdonságai (397). 2. A l.h.p. aszimptotikus Bayes-tulajdonsága (399). 3. l.h.p. aszimptotikus torzítatlansága (403).
14. Közeli hipotézisek ellenőrzésére szólgáló aszimptotikusan optimális próbák 404
1. A feladat megfogalmazása és definíciók (404). 2. Az alapvető állítások (408).
15. A likelihood-hányados-próba, az optimalitás aszimptotikus jellemzőjéből fakadó aszimptotikus optimalitása 413
1. A e.l.e.p. közeli hipotézisek esetén egyoldalii ellenhipotézisekre, többdimenziós paraméter esetén (413). 2. A e.l.e.p. kétoldali ellenhipotézis esetén (414). 3. Aszimptotikusan minimax próba közeli hipotézisekre, többdimenziós paraméter esetén (416). 4. Aszimptotikusan minimax próba annak ellenőrzésére, hogy a minta egy adott paraméteres részcsaládhoz tartozik (419).
16. A próba. Hipotézisvizsgálat csoportosított adatok alapján 425
1. A próba. Az aszimptotikus optimalitása (425). 2. A x2 próba alkalmazása. Hipotézisvizsgálat csoportosított adatok esetén (429).
17. Hipotézisvizsgálat: a minta adott paraméteres eloszláscsaládba tartozik-e 433
1. Az [] hipotézis vizsgálata. Az adatok csoportosítása (433). 2. Az általános eset (437).
18. A statisztikai döntések stabilitása 441
1. Szimmetrikus eloszlások várható értékének becslése (442). 2. A Student-féle statisztika és az S02 (443). 3. A likelihood-hányados-próba (444).
I. Függelék. Glivenko-Cantelli típusú tételek 447
II. Függelék. A tapasztalati folyamatokra vonatkozó funkcionális határelosztás tétel 450
III. Függelék. A feltételes várható érték tulajdonságai 456
IV. Függelék. A Neyman-Fisher-féle faktorizációs tétel 459
V. Függelék. A nagyszámok erős törvénye és a centrális határelosztás tétel. Egyenletes változatok 463
VI. Függelék. Néhány, a paramétertől függő integrálokkal kapcsolatos állítás - 468
VII. Függelék. A likelihood-hányados eloszlására vonatkozó egyenlőtlenségek a többdimenziós esetben 475
I. Táblázat. A Oq normális eloszlás 481
II. Táblázat. A normális eloszlás kvantilisei 482
III. Táblázat. A Hk x2-eloszlás 483
IV. Táblázat. A Tk Student-eloszlás 487
Bibliográfiai megjegyzések 491
Irodalomjegyzék 497
Az alapvető jelölések jegyzéke 501
Tárgymutató 505

KIEGÉSZÍTŐ FEJEZETEK
Előszó 513
1. Fejezet
Két vagy többmintás statisztikai feladatok
1. A homogenitás (teljes vagy részleges) hipotézisének vizsgálata a paraméteres esetben 515
1. A vizsgált feladatosztály (515). 2. Aszimptomikusan minimax próba közeli hipotézisek esetén a közönséges homogenitásvizsgálatban (518). 3. Aszimptomikusan minimax próbák homogenitásvizsgálati feladatra zavaró paraméter esetén (523). 4. Aszimptomikusan minimax próba a részleges homogenitásvizsgálatra (529). 5. Néhány másféle adat (532).
2. A homogenitásvizsgálati feladat az általános esetben 532
1. A feladat megfogalmazása (532). 2. A Kolmogorov-Szmirnov-próba (533). 3. Előjel próba (534). 4. A Wilcoxon-próba (536). 5. Az x^2 próba mint homogenitásvizsgálat esetében aszimptotikusan optimális próba, csoportosított adatok esetén (541).
3. A regresszió 542
1. A feladat megfogalmazása (542). 2. A paraméterek becslése (544). 3. A lineáris regresszióra vonatkozó hipotézisvizsgálat (551). 4. Becslés és hipotézisvizsgálat lineáris kapcsolat esetén (555).
4. Szórásanalízis 559
1. A szórásanalízis feladata mint regressziós feladat. Egy faktoros eset (559). 2. Két faktor kölcsönhatása. Elemi megközelítés (561).
5. A klasszifikáció 564
1. A paraméteres eset (565). 2. Az általános eset (565).
2. Fejezet
A matematikai statisztika feladatainak játékelméleti megközelítése
1. Bevezető megjegyzések 569
2. A kétszemélyes játékokkal kapcsolatos alapfogalmak és tételek 571
1. A kétszemélyes játék (571). 2. Részosztályokon belül egyenletesen optimális stratégiák (571). 3. Bayes-féle stratégiák (572). 4. Minimax stratégiák (574). 5. A stratégiák teljes osztálya (581).
3. Statisztikus játékok 582
1. A statisztikus játékok leírása (582). A statisztikus játékok osztályozása (585). 3. A statisztikus játékok két alaptétele (586).
4. A Bayes-féle elv. A döntésfüggvények teljes osztálya 587
5. Az elégségesség, torzítatlanság és az invariancia 594
1. Elégségesség (594). 2. Torzítatlanság (596). 3. Invariancia (597).
6. Asszimptotikusan optimális becslések tetszőleges veszteségfüggvény esetén 601
7. Optimális statisztikai próbák tetszőleges veszteségfüggvény esetén. A likelihood-hányados próba mint aszimptotikusan Bayes-féle döntés 612
1. A statisztikus próbák optimalitási tulajdonságai tetszőleges veszteségfüggvény esetén (612). a. A l.h.p. mint aszimptotikusan Bayes-féle próba (613).
8. Aszimptotikusan optimális próbák tetszőleges veszteségfüggvény és közeli hipotézisek esetén 616
Függelék. A statisztikus játékok két alaptételének bizonyítása 623
Bibliográfiai megjegyzések 629
Irodalomjegyzék 632
Az alapvető jelölések jegyzéke 634
Tárgymutató 635

Témakörök