Matematikai kisenciklopédia

Szerző

Fried Ervin

Pásztor István

Szerkesztő

Grafikus

Budapest

'Fried Ervin: Matematikai kisenciklopédia ' összes példány

Kiadó:	Gondolat Könyvkiadó
Kiadás helye:	Budapest
Kiadás éve:	1968
Kötés típusa:	Fűzött keménykötés
Oldalszám:	598 oldal
Sorozatcím:
Kötetszám:
Nyelv:	Magyar
Méret:	24 cm x 17 cm
ISBN:
Megjegyzés:	Fekete-fehér ábrákkal.

Értesítőt kérek a kiadóról

A beállítást mentettük,
naponta értesítjük a beérkező friss
kiadványokról

Tartalom

Az algebra tárgya	5
A számfogalom felépítése	5
Természetes számok	5
Teljes indukció	6
Műveletek a természetes számok körében	7
Egész számok	12
Műveletek egész számokkal	13
Racionális számok	15
A racionális számokról általában	16
Műveletek racionális számokkal (törtekkel)	18
Periodikus (szakaszos) tizedes törtek	21
Valós számok	24
Műveletek valós számokkal	25
A hatványozás általánosítása	29
A logaritmus	33
A számok normálalakja, karakterisztika és mantissza	34
Komplex számok	36
Algebrai bevezetés	36
Geometriai bevezetés	38
Trigonometrikus és exponenciális alak	40
A számfogalom további általánosítása	42
Kvaterniók	43
Egyéb általánosítási lehetőség? p-adikus számok	45
Polinomok	47
Polinomgyűrű	47
Műveletek polinomokkal	48
Polinomok oszthatósága: irreducibilitás	52
Polinom helyettesítési értéke, gyöke	52
Az "algebra alaptétele"	55
Racionális együtthatós polinomok	56
Polinomok racionális gyökei: Horner-elrendezés	58
Többhatározatlanú polinomok	60
Műveletek algebrai kifejezésekkel	62
Számtani és mértani sorozat	65
Egyenletek	70
Első- és másodfokú egyenlet	70
Harmadfokú egyenlet	72
Cardano-képlet	73
Casus irreduciiblis	74
Negyedfokú egyenlet	77
Egyéb egyenletek	78
Paraméteres egyenletek: egyenletek rendezése	80
Kombinatorika, determinánsok	83
Kombinatorikai alapfogalmak	83
Variációk	83
Kombinációk	85
A binomiális tétel	87
Permutációk inerziói	88
Mátrixok és a determináns	90
Mátrixok	90
A determináns	91
A determináns kifejtése	93
Lineáris algebra	94
Vektorerek	94
Absztrakt vektorerek	96
Vektorok lineáris kombinációi	97
A vektorér bázisa	99
Lineáris leképzések	100
Műveletek lineáris leképezésekkel	101
Lineáris transzformációk	102
A lineáris leképezések mátrix-reprezentációja	103
Euklédeszi tér	105
Kvadratikus alakok	106
A karakterisztikus polinom	107
Egyenletrendszerek	108
Lineáris egyenletrendszerek	108
Példa lineáris egyenletrendszer megoldására	110
A lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságának feltétele	111
Homogén lineáris egyenletrendszerek	112
Túlhatározott egyenletrendszerek	113
Magasabbfokú egyenletrendszerek	114
Csoportelmélet	115
A csoport fogalma	115
Permutációcsoport	116
Ciklusok	119
Csoportok kapcsolatai	120
Testelmélet	121
A test fogalma	121
Galois-elmélet	122
Szerkeszthetőség	123
Az egyismertlenes egyenletek osztályozása	124
Logaritmikus és expoenciális egyenletek	125
Véges testek	127
Algebrai sturktúrák	127
Eddig tárgyalt struktúrák	127
Hálók	128
Az algebrai stuktúrák általában	128
Az algebrai mai fejlődésének irányai	130
Az ALGEBRA TÖRTÉNETÉNEK VÁZLATA	130
SZÁMELMÉLET (Fried Ervin)
Bevezetés	133
Egész számok	133
Az egész számok elemi tulajdonságai	133
A maradékos osztás	134
Számrendszerek	135
Tízes számrendszerek	135
Egyéb számrendszerek	126
Műveletek elvégzése számrendszerekben	138
A kettes számrendszer	141
Oszthatóság	142
Az egész számok osztályozása az oszthatóság alapján	143
A legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös	144
Az Inko meghatározása euklidészi algoritmussal	145
A PRÍMSZÁMOKRÓL	146
A számelmélet alaptétele	149
A prímszámok száma	149
Eratoszthenész szitája	150
Becslések a prímszámok számára	152
Csebisev-tétel	153
A prímszámok reciprokértékének összege	154
Számtani sorozatok prímszámai	155
Különböző típusú prímszámok	156
SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEK	157
Számelméleti függvények és néhány speciális osztályuk	157
Fontosabb multiplikatív számelméleti függvények	158
Az euler-féle függvény	158
A Möbius-féle függvény	160
Az osztók száma és összege	160
KONGRUENCIÁK	160
A kongruenciák fogalma	160
A maradékosztályok	161
Oszthatósági szabályok	153
Teljes és redukált maradékrendszerek	165
Euler tétele	165
Fermat tétele	167
Elsőfokó (lineáris) kongruenciák	169
Szimultán kongruenciarendszerek	170
Magasabb fokú prímmodulusú kongruenciák	172
Wilson tétele	173
Másodfokú (kvadratikus) kongruenciák	174
A kvadratikus karakter megállapítása	175
Primitív gyök	177
ADDITÍV SZÁMELMÉLET	179
Lineáris felbontások	179
A generátorfüggvény	181
A Goldbach-sejtés	184
Kvadratikus felbontások	184
Magasabb fokú felbontások	188
ALGEBRAI ÉS TRANSZCENDENS SZÁMOK
Az algebrai és a transzcendens számok fogalma	188
Diofantoszi approximáció	189
Nevezetes transzcendens számok	192
GEOMETRIAI SZÁMELMÉLET	192
Minkowski tétele	192
A számelmélet történetének vázlata	195
GEOMETRIA
Alapfogalmak	197
A geometriai fogalmak eredete	197
A geometria felépítési módja, alapfogalmak, axiómák	197
Az illeszkedés axiómái	198
A rendezés axiómái	198
Az egybevágóság axiómái	198
A folytonosság axiómái	199
A párhuzamosság axiómái	199
A geometria és a valóság	199
ELEMI EUKLIDÉSZI GEOMETRIA	200
Félegyenes, szakasz, félsík, féltér	200
Egyenesek, síkok kölcsönös helyzete	200
A szög, szögpárok	200
A szakasz és a szög mérése	202
Sokszög, kör, konvexitás	203
A geometriai transzformációk	203
Az egybevágóság	204
Eltolás	205
Elforgatás	305
Középontos tükrözés	206
Tengelyes tükrözöés	206
Hasonlóság, középpontos hasonlóság	208
Háromszögek egybevágósága és hasonlósága	209
Néhány nevezetesebb háromszög-tétel	210
Egyenlőtlenségek a háromszöggel kapcsolatban	211
Négyszögek, trapézek, paralelogrammák	211
A kör geometriájából	212
A terület	213
Mértani közép: Pithagorász tétele	214
Szerkesztések	214
Szerkesztések csak körzővel, csak vonalzóval	216
Poliéderek	217
Tetraéderek	218
Szabályos poliéderek	218
Hengerek, kúpok	219
A gömb geometriájából	220
A térfogat	222
A kúpszeletek	223
Síkbeli konvex tartományok	225
Mozaikok, a sík kitöltése	227
Az affinitás	228
ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA	229
ANALTIKUS GEOMETRIA ÉS TRIGONOMETRIA
A vektor fogalma	235
Vektorok összeadása, kivonása	236
Vektorok szorzása számmal	237
A helyvektor	237
Vektorok felbontása összetevőkre, koordináták	238
A trigonometrikus függvények értelmezése	241
Hegyesszögek függvényei és a derékszögű háromszög	242
Néhány megjegyzés a szögfüggvények értékének meghatározásához	243
A trigonometria alapfeladatai	244
Az összegezési tételek és következményeik	246
Néhány ismertebb trigonometriai összefüggés	248
A szögfüggvények ábrázolása	250
Trigonometrikus egyenletek	251
Egy terepmérési feladat	253
A gömbháromszögek trigonometriája	253
A vektorok skaláris szorzata	254
Vektoriális szorzat, vegyes szorzat	257
Két pont távolsága	258
Az egyenes analitikus geometriája	258
Az egyenes paraméteres egyenlete, a sík egyenlete	261
Terület és köbtartalom analitikus kifejezése	264
A kör egyenlete	264
A kúpszeletek egyenletek	265
Másodrendű görbék	266
Másodrendű felületek	268
Síkbeli polárkoordináták	269
PROJEKTÍV GEOMETRIA	271
Ideális térelemek, Desargeus tétele	271
A projektív tér. Dualitás	273
A kettősviszony	274
A kollineáció	274
Kúpszeletek projektív származtatása	275
Pascal és Brianchon tétele	276
Véges projektív síkok	278
NEM-EUKLIDÉSZI GEOMETRIÁK	280
A párhuzamosság problémája	280
A Bolyai-Lobacsevszkij-féle hiperbolikus geometria	280
A Lambert- és Saccheri-négyszögek	282
A távolságvonal	282
A párhuzamosok néhány tulajdonsága	283
Méretes összefüggések a hiperbolikus síkon	283
A Bolyai-Lobacsevszkij-geometria és a valóság	285
A hiperbolikus sík Cayley-Klein féle körmodellje	286
DIFFERENCIÁLGEOMETRIA
A differenciálgeometria tárgyköre	286
Görbék paraméteres megadása	287
A görbe ívhossza, természetes paraméter	288
A görbe érintője	289
A kísérő tréder	289
A görbület, görbületi kör	290
A torzió	292
A Frencet-féle formulák	293
Felületek megadása, elsőrendű főmennyiségek	293
Érintősík, felületi merőleges, másodrendű főmennyiségek	294
Felületi görbék ívhossza, felszíne	294
Felületi görbék görbülete	295
Felületi pontok osztályozása: a Dupin-féle indikatrix	296
Geometria a felületeken: geodetikus vonalak	298
TOPOLÓGIA
Folytonos leképezések	299
A topológia tárgya	300
A felületek Euler-féle karakterisztikája	300
Felületek kromatikus száma, térképszínezés	301
A szomszédossági szám és a sűrűség	302
A felületek irányítása, egyoldalú felületek	303
Absztrakt terek	304
GRÁFELMÉLET
A síkra rajzolhatóság	304
A gráf fogalma, elnevezések	305
A fokszám	306
Utak, körök, összefüggő gráf, komplementer gráf	307
Fák	308
A gráf Euler- és Hamilton-féle vonala	308
Páros gráfok	310
Irányított gráfok	310
A gráf fogalmának általánosítása	311
A Geometria történetének vázlata	312
ANALÍZIS (Pásztor István)
Bevezetés	314
A valós számok	314
A valós számok alapvető tulajdonságai	317
A rendezés. Egyenlőtlenségek. Abszolút érték	319
Valós számhalmazok	321
A függvény fogalma és megadási módjai	324
Néhány fontosabb függvénytípus	326
Az inverz függvény	327
Az összetett függvény fogalma	329
Az elemi függvények	330
Algebrai függvények	331
Transzcendens függvények	332
Sorozatok határértéke	333
A konvergencia fogalma	335
Konvergenciakritérium monoton sorozatokra	336
Számolás konvergens sorozatokkal és határértékekkel	337
A Cauchy-féle általános konvergenciakritérium	338
Sorozatok torlódási pontjai és részsorozatai	338
Számhalmaz torlódási pontjainak jellemzése sorozatokkal	339
Végtelen sorok	340
Általános konvergenciakritérium végtelen sorokra	341
Pozitív tagú sorok	342
A hányados- és gyökkritérium	344
Leibniz-tétel alternáló sorokra	345
Tetszőleges tagú sorok	346
Számolás végtelen sorokkal	346
Hatványsorok	349
Függvény határértéke	351
Folytonosság	356
Az egyenletes folytonosság	358
Folytonos függvény néhány fontos tulajdonsága	359
Folytonos függvények sorozatának határértékéről	360
Differenciálszámítás	361
A differenciálhányados fogalma	361
Differenciális szabályok	363
Differenciálhatóság és folytonosság	366
A differenciál	368
A differenciálhányados előjelének jelentése	368
A második differenicálhányados előjelének jelentősége szélsőérték-számításnál	370
Konvexség, konkávság és inflexiós pont	373
Megjegyzés lokális és globális tulajdonságokról	373
A középértéktételek	373
A középértéktétel néhány fontos következménye	374
L'Hospital-szabály	375
Taylor-sor	376
Mire való a Taylor-formula?	376
Polinomok Taylor-formulája	377
A Taylor-formula	379
A primitív függvény	383
Alapintegrálok	383
Integrálási szabályok	384
Integrálás helyettesítéssel	386
Racionális függvények integrálása	386
Megjegyzés a differenciálásról és integrálásról	387
A meghatározott integrál	388
A határozott integrál értelmezése	388
A differenciál- és az integrálszámítás kapcsolata	394
A differenciál- és integrálszámítás alaptétele	394
A határozott integrál kiszámítása a határozatlan integrál segítségével	395
Az integrálszámítás egy alkalmazása. Ívhossz	396
Több változós függvények	396
Ponthalmazok	397
Többváltozós függvényekről	399
Többváltozós függvény grafikonja	399
A teljes (totális) differenciálhányados és a teljes (totális) differenciál	401
Görbék és felületek paraméteres egyenletrendszere	405
Az iránymenti differenciálhányados. A gradiens	408
A vonal menti integrál	409
Kettősintegrál, hármasintegrál (térfogatintegrál), felületi integrál	412
Implicit függvények	416
n-változós függvény	418
Differenciálegyenletek	419
Elsőrendű közönséges differenciálegyenletek	421
Elsőrendű közönséges differenciálegyenletek integrálása a változók szétválasztásával	424
Másodrendű közönséges differenciálegyenletek	425
Differenciálegyenlete integrálása hatványsorral	427
Lineáris differenciálegyenletek	428
Komplex függvénytan	431
A komplex sík ponthalmazairól	431
Komplex változós függvények	432
Cauchy-Riemann-féle differenciálegyenletek, Laplace-féle differenciálegyenlete	433
Reguláris függvény által létesített leképezések	435
Példa konformis leképezésre	437
Komplex szám logaritmusa	437
Az e z függvény	438
Komplex függvény görbementi integrálja	439
Az integrál egyszerű tulajdonságai	440
Visszavezetés valós változós integrálra	440
Néhány egyszerű példa	441
A Cauchy-féle integráltétel	442
A Cauchy-féle integrálformula	443
Az analízis történetének vázlata	446
HALMAZELMÉLET (Ruzsa Imre)
Halmazalgebra	448
A halmaz fogalma	448
Részhalmaz, valódi rész	450
Halmazműveletek	452
Hatványhalmaz-algebra	454
Halmazok és függvények	459
A függvény általános fogalma	459
Halmazokból képzett hatvány	460
Halmazok ekvivalenciája	461
Megszámlálható halmazok	463
Megszámlálható halmaz és végtelen sorozat	463
A végtelen halmazok jellegezetes tulajdonságai	465
További megszámlálható halmazok	465
Nem megszámlálható halmazok	467
Kontinuum számosságú halmazok	467
A számosságok	470
Magasabb számosságok	473
Rendezett halmazok	474
Halmazok rendezése, hasonlóság, rendtípusok	474
Rendezett halmaz szelete	476
Jólrendezett halmazok, rendszámok	477
Jólrendezett halmazok	477
Rendszámok	478
A halmazelmélet problémái	480
A matematika és a halmazelmélet	480
Halmazelméleti ellentmondások	481
Az axiomatikus halmazelmélet	483
A halmazelmélet történetének vázlata	485
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS
A valószínűségszámítás feladata	486
A gyakoriság	486
Eseményalgebra	487
Műveletek eseményekkel	487
Események összege	487
Események szorzata	488
A biztos és a lehetetlen esemény	488
Események különbsége	489
Kolmogorov elmélete	489
Eseménytár, elemi esemény, esemény	489
A valószínűség matematikai fogalma	491
Kombinatorikus módszerek valószínűségek meghatározására	491
Példák	492
Feltételes valószínűség	494
A teljes valószínűség tétele	494
Bayes tétele	495
Függetlenség	495
Valószínűségi változó	496
Eloszlás- és sűrűségfüggvény	497
Várható érték	498
Szórás	501
Korreláció	502
Valószínűség eloszlások	503
Binomiális eloszlás	503
Bernoulli képlete	504
Példák a Moivre-Laplace formula alkalmazására	506
Hipergeometrikus eloszlás	509
Poisson eloszlás	510
Expoenciális eloszlás	512
Normális eloszlás	513
A nagy számok törvényei	514
Centrális határeloszlás tétel	505
Sztochasztikus folyamatok	516
Információelmélet	517
A valószínűségszámítás néhány további problémjáról	518
MATEMATIKAI STATISZTIKA (Révész Pál)
A matematikai statisztika feladata	520
Hipotézisvizsgálat	520
Becsléselmélet	522
Várható érték becslése	523
A szórás becslése	523
A becsléselmélet néhány általános fogalma	523
Eloszlás- és sűrűségfüggvény becslés	524
Konfidencia intervallum	524
Játékelmélet	525
Döntésfüggvények	527
A matematikai statisztika néhány további problémájáról	528
A valószínűségszámítás történetének vázlata	528
MATEMATIKAI LOGIKA (Ruzsa Imre)
A matematikai logika tárgya	530
Mi a következtetés?	531
Kijelentéskalkulus	532
A kijelentés	532
Negáció és konjukció	533
A logikai értékek algebrája	534
További logikai műveletek	537
A diszjunkció	538
"Sem-sem"	538
Az implikáció	538
Az ekvivalencia	540
A kizáró "vagy"	540
A Scheffer-féle művelet	541
Néhány azonosság	541
A kijelentéskalkulus következményfogalma	541
A kijelentéskalkulus formulái	541
Helyettesítés és pótlás	542
A kijelentéskalkulus következtetési sémái	543
Alkalmazási példa	545
A kijelentéskalkulus "axiomatikus" felépítése	546
Predikátumkalkulus	547
Predikátumok és kvantorok	547
Műveletek predikátumokon	549
A predikátumkalkulus formulái	551
A predikátumkalkulus következményfogalma	552
A helyettesítés a predikátumkalkulusban	554
A predikátumkalkulus axiomatikus felépítése	555
Szillogisztikus következtetések	557
Azonosság	560
Alkalmazások	562
Matematikai alkalmazások	562
Műszaki alkalmazások	562
A matematikai logika történetének vázlata	564
Név- és tárgymutató	565