Matematikai feladatgyűjtemény I.

Tartalom

LOGIKA 9
I. fejezet KIJELENTÉSLOGIKA
1. A kijelentés. A kijelentés logikai értéke 13
2. Kijelentéslogikai műveletek 15
3. Formalizálás, interpretálás 17
4. Következtetések 20
5. Logikai áramkörök 23
II. fejezet PREDIKÁTUMLOGIKA
1. Predikátumok, formalizálás, interpretálás 25
2. Predikátumlogikai következtetések 29
III. fejezet FELADATOK A LOGIKA EGYÉB FEJEZETEIBŐL
Útmutatások, megoldások, eredmények 33
Vegyes feladatok 42
ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 47
I. fejezet HALMAZELMÉLETI ALAPISMERETEK
1. Műveletek halmazokkal 53
2. Reláció, leképezés 57
3. Leképezéshalmaz (függvényhalmaz) 59
4. Leképezések szorzása 60
5. Relációk tulajdonságai 61
6. Ekvivalenciareláció és ekvivalenciaosztály. Faktorhalmaz 65
7. A halmaz számossága 66
8. A természetes szám mint számosság 67
9. A teljes indukció és a rekurzív definíció 68
10. Végtelen halmazok számosságairól 70
11. Műveletek számosságokkal 71
12. Számosságok rendezése 72
13. Rendezett és jólrendezett halmazok 75
Műveletek rendtípusokkal, rendszámokkal 75
II. fejezet KOMBINATORIKA
Vegyes feladatok 76
III. fejezet ALAPVETŐ ALGEBRAI FOGALMAK
1. Az algebrai művelet és az algebrai struktúra 81
2. Néhány fontos algebrai struktúratípus 83
3. Az invertálhatóság és a disztributivitás következményei 85
4. Az algebrai struktúrák leképezései 87
5. Kongruenciareláció és kompatibilis osztályozás. Faktorstruktúra 89
IV. fejezet EUKLIDESZI GYŰRŰK
1. Az egész számok gyűrűje 90
2. Euklideszi osztás az egész számok és a test fölötti polinomok gyűrűjében 91
3. Euklideszi gyűrűk 93
4. Oszthatóság integritástartományban 95
5. Legnagyobb közös osztó 97
6. Irreducibilis elem és prímelem 99
7. Legkisebb közös többszörös 100
8. Egyértelmű irreducibilis faktorizáció euklideszi gyűrűben 201
9. A prímszámokról 102
10. Az elsőfokú diofantoszi egyenlet 203
11. Pitagoraszi számhármasok 105
12. Nevezetes diofantoszi eredmények és problémák 106
13. Számelméleti függvények 107
14. Számrendszerek 111
15. Oszthatósági szabályok 114
16. A racionális számok tizedes tört alakja 115
17. Kongruencia és maradékosztályok euklideszi gyűrűben 117
18. Kongruencia és maradékosztályok Z-ben 119
V. fejezet GAUSS-FÉLE GYŰRŰK
1, Az egész együtthatós polinomok irreducibilis faktorizációja 122
2. Többhatározatlanú polinomok 124
VI. fejezet KOMPLEX SZÁMOK
1. A komplex számok teste 125
2. Gyökvonás komplex számokból, egységgyökök 128
VII. fejezet VEKTOROK
1. Vektorok összeadása és szorzása valós számmal. Vektorok lineáris kombinációja 130
2. Két vektor skaláris és vektoriális szorzata. Három vektor vegyesszorzata 132
3. Műveletek koordinátáikkal adott vektorokkal. A vektorok analitikus geometriai alkalmazásai 135
4. Lineárisan független és összefüggő rendszerek. Vektortér generátorrendszere, bázisa és dimenziója. Homogén lineáris leképezések 139
VIII. fejezet MÁTRIXOK ÉS DETERMINÁNSOK
1. Műveletek mátrixokkal 145
2. Determinánsok. A mátrix inverzének kiszámítása 148
IX. fejezet ALGEBRAI EGYENLETEK, EGYENLETRENDSZEREK
1. A Horner-féle elrendezés. Polinomok irreducibilis tényezőkre való bontása 151
2. Az n-edfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggések. Az egyenlet gyöktényezős alakja 155
3. Lineáris egyenletrendszerek. A vektorrendszer- és a mátrix rangja 155
4. Másodfokú-, harmadfokú- és negyedfokú egyenletek. Alacsonyabb fokúra redukálható egyenletek 160
5. A rezultáns és a diszkrimináns 162
X. fejezet ALGEBRAI STRUKTÚRÁK
1. Félcsoportok 164
2. Csoportok 168
3. Gyűrűk 175
4. Testek 177
5. Geometriai szerkeszthetőség 179
6. Hálók 180
Útmutatások, megoldások, eredmények 184
Vegyes feladatok 297

Témakörök