Matematikai analízis

Tartalom

I. A MATEMATIKAI ANALÍZIS ALAPJAI
FÜGGVÉNYEK 10
1.1. A függvényekről általában 10
1.2. Függvénytipusok 12
1.2.1. Lineáris függvény 12
1.2.2. Kvadratikus függvény 15
1.2.3. Racionális egész függvények 21
1.2.4. Racionális tört függvények 24
1.2.5. Irracionális függvények 28
1.2.6. Exponenciális függvény 34
1.2.7. Logaritmikus függvény 36
1.2.8. Trigonometrikus függvények 37
1.2.9. Abszolútért ék függvény 39
1.2.10.Előjel függvény 39
1.2.11.Egészrész függvény 40
1.3. A függvények néhány tulajdonsága 41
1.3.1. Monotonitás 42
1.3.2. Konvexitás, konkávitás 44
1.3.3. Korlátos függvények 46
1.3.4. Implicit függvények 50
1.3.5. Inverz függvények 51
2. HATÁRÉRTÉKEK 57
2.1. Sorozatok 57
2.1.1. A sorozatok fogalma 57
2.1.2. Számsorozatok monotonitása, korlátossága 58
2.1.3. Torlódási pont 60
2.1.4. Konvergencia, határérték 61
2.2. Függvények határértéke, folytonossága 64
2.2.1. Függvények határértéke 64
2.2.2. Függvények folytonossága 70
3. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 77
3.1. A differenciálhányados 77
3.2. A differenciálható függvények tulajdonságai 81
3.3. Derivált függvény 82
3.4. Deriválási módszerek 84
3.4.1. Elemi függvények deriválása 84
3.4.1.1. Konstans függvény deriválása 84
3.4.1.2. Hatvány függvény deriválása 85
3.4.1.3. Az e alapú exponenciális függvény deriválása 86
3.4.1.4. y = sin x deriváltja 87
3.4.1.5. y = ln x deriváltja 88
3.4.1.6. összetett függvények deriválása 89
3.4.1.7. Implicit függvény deriválása 89
3.4.1.8. Inverz függvény deriválása 90
3.4.1.9. y = ax alakú exponenciális függvény deriváltja 91
Elemi függvények derivált függvényei 91
3.4.2. Deriválási szabályok 92
3.4.2.1. Konstanssal szorzott elemi függvény deriválása 92
3.4.2.2. Függvények összegének deriváltja 93
3.4.2.3. Függvények szorzatának deriválása 94
3.4.2.4. Függvények hányadosának deriválása 95
3.5. Magasabb rendű deriváltak 96
3.6. Differenciálható függvények további tulajdonságai 99
3.6.1. Függvények növekedése, csökkenése 100
3.6.2. A Lagrange-féle középérték tétel 102
3.6.3. A második derivált függvény és a görbe alakja 103
3.7. Maximum és minimum feladatok 105
3.7.1. Szélső értékek 105
3.7.2. Szélső értékek meghatározása 106
3.7.3. Gyakorlati példák szélső értékek meghatározására 109
3.8. Végtelen sorok 115
3.8.1. A végtelen sorokról 115
3.8.2. Hatványsorok 120
4. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 125
4.1. A határozott integrál 126
4.1.1. A határozott integrál fontosabb tulajdonsága 127
4.1.2. A határozott integrál középértéktétele 130
4.1.3. A primitív függvény 130
4.1.4. A Newton-Leibniz-féle formula 133
4.2. Határozatlan integrál 135
4.2.1. Alapintegrálok 136
4.2.2. Parciális integrálás 138
4.2.3. Integrálás helyettesitéssel 140
4.2.4. A határozott integrál kiszámítása helyettesítő módszerrel 143
4.2.5. Egy egyszerű közelítő eljárás 144
4.3. Improprius integrálok 146
5. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK 151
5.1. A többváltozós függvényekről általában 151
5.2. Többváltozós függvények szélső értéke 157
5.3. Feltételes szélső-érték 163
5.4. Többszörös integrálok 165
6. A DIFFERENCIÁLEGYENLETEK ELEMEI 169
II. KOMBINATORIKA
1. A kombinatorika feladata 139
2. Permutációk 190
2.1. Az ismétlés nélküli permutációk száma 191
2.2. Az ismétléses permutációk száma 193
3. Variációk 195
3.1. Az ismétlés nélküli permutációk száma 196
3.2. Ismétléses permutációk száma 197
4. Kombinációk 199
4.1. Ismétlés nélküli variációk száma 200
4.2. Ismétléses variációk száma 201
5. Kombinációs számok 202
6. Binomiális tétel és binomiális együtthatók 205
6.1. Binomiális tétel 205
6.2. Binomiális együtthatók 208
III. BEVEZETÉS A VALÓSZINŰSÉGSZÁMÍTÁSBA
1. A valószínűség fogalma 210
2. Az eseményalgebra elemei 212
3. A valószínűségszámítás alaptételei 217
4. A valószínűségek kiszámításának klasszikus módszere 223
5. Feltételes valószínűség 228
6. Független események 234
7. Valószínűségi változók 238
8. Valószínűségi eloszlások 244
8.1.Egyenletes eloszlás 245
8.2. Binomiális eloszlás 245
8.3. Poisson eloszlás 247
8.4. Exponenciális eloszlás 249
8.5. Normális eloszlás 251
9. Az eloszlás fontosabb jellemző adatai: a várható érték és szórás 255
9.1. Diszkrét valószínűségi változók várható értéke és szórása 255
a./ A binomiális eloszlás várható értéke és szórása 256
b./ A Poisson eloszlás várható értéke és szórása 257
9.2. Folytonos valószínűségi változók várható értéke és szórása 259
a./ Egyenletes eloszlás várható értéke és szórása 260
b./ Az exponenciális eloszlás várható értéke és szórása 261
c./ A normális eloszlás várható értéke és szórása 261
10. A nagyszámok törvénye 262
IV. A MÁTRIXSZÁMITÁS ELEMEI
Bevezetés 268
1. A mátrix fogalma 271
Speciális mátrixok 273
Nullmatrix 273
Diagonális mátrix 273
Egységmátrix 273
Hipermatrix 273
2. Műveletek mátrixokkal 274
2.1. Mátrixok összeadása, kivonása 274
2.2. Mátrixok szorzása skalárral 275
2.3. Vektorok skaláris szorzata 276
2.4. Mátrix szorzása vektorral 278
2.5. Mátrix szorzása mátrixszal 279
3. Kiegészítések, feladatok 281
3.1. Összegező vektor 261
3.2. Vektorok diadikus szorzata 282
3.3. Mátrixszorzat transzponáltja 283
3.4. Kvadratikus mátrixok hatványozása 284
3.5. Vektorok és mátrixok lineáris kombinációja 285
3.6. Figyelmet igénylő néhány feladat 287
3.7. Diagonális mátrixok szorzata, hatványa 288
3.8. További speciális ipatrixok 290
Nilpotens mátrix 290
Aszimptotikusan nilpotens mátrix 290
Minkowski-Leontief mátrix 291
Szimmetrikus mátrix 291
Nem-negatív mátrix 291
Sztochasztikus mátrix 293
Háromszögmátrixok 293
Kvadratikus mátrix polinomja 293
Kvázidiagonális mátrix 294
4. A mátrix rangja 294
5. Inverz mátrix 296
5.1. Kvadratikus mátrix invertálása 297

Témakörök