Matematika V.

Tartalom

Differenciálegyenletek
Bevezetés 3
1. Segédismeretek
1.1.1. Gauss-féle hibaintegrál 6
1.1.2. Gammafüggvény 8
1.1.3. Bessel-függvények 10
1.1.4. Az egységugrás és a Dirac-delta 13
1.2. A komplex függvénytan néhány fogalma és tétele
1.2.1. Komplex változós függvény fogalma, határértéke, folytonossága 18
1.2.2. Differenciálhatóság, Cuachy-Riemann egyenletek. Reguláris függvény 19
1.2.3. Komplex változós függvény görbementi integrálja 20
1.2.4. Komplex változós exponenciális és trigonometrikus függvények. Euler-reláció 23
1.2.5. A komplex függvénytan alaptétele. Integrálformulák 24
1.2.6. Taylor-sor és Laurent-sor 27
1.2.7. A reziduumtétel 31
1.2.8. Zérushelyek és pólusok száma 33
1.3. Fourier-sorok és általánosításaik
1.3.1. Ortogonális függvényrendszerek 34
1.3.2. Ortogonális rendszerek szerinti sorfejtések 35
1.3.3. A trigonometrikus Fourier-sor 37
1.3.4. Bessel-Fourier-sorok 42
1.3.5. Fourier-integrál 42
1.4. Laplace-transzformáció
1.4.1. A Laplace-transzformáció fogalma 45
1.4.2. A Laplace-transzformáció létezésének feltételei 47
1.4.3. A deriváltak Laplace-transzformáltja 50
1.4.4. Integrálfüggvény Laplace-transzformáltja 53
1.4.5. Hasonlósági, csillapítási, eltolási tétel 53
1.4.6. Periódikus függvény Laplace-transzformáltja 55
1.4.7. A Laplace-transzformált néhány általános tulajdonsága 56
1.4.8. Inverz Laplace-transzformáció 57
1.4.9. Az inverziós integrál kiszámítása 60
1.4.10. A konvolúciótétel 65
1.4.11. Laplace-transzformációs táblázat 67
2. Közönséges differenciálegyenletek
2.1. Elsőrendű differenciálegyenletek
2.1.1. Az elsőrendű explicit differenciálegyenlet geometriai szemléltetése 72
2.1.2. Görbesereg differenciálegyenlete 75
2.1.3. Egzakt differenciálegyenlet 77
2.1.4. Szétválasztható változójú differenciálegyenlet 81
2.1.5. Homogén differenciálegyenlet 85
2.1.6. Integráló tényező /Euler multiplikátor/ 88
2.1.7. Lineáris differenciálegyenlet 90
2.1.8. Egzisztencia- és unicitástétel 100
2.1.9. Szinguláris pontok. Integrálgörbék vizsgálata szinguláris pont környezetében 107
2.1.10. A megoldás, mint a kezdeti értékek és paraméterek függvénye. Stabilitás 122
2.2. Magasabbrendű differenciálegyenletek
2.2.1. Az általános elmélettel kapcsolatos megállapítások 126
2.2.2. Hiányos differenciálegyenletek 127
2.2.3. Lineáris differenciálegyenletekről általában 131
2.2.4. Homogén lineáris differenciálegyenlet 132
2.2.5. Inhomogén lineáris differenciálegyenlet 138
2.2.6. Állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenlet 142
2.2.7. Stabil polinomok 148
2.2.8. Állandó együtthatós inhomogén lineáris differenciálegyenlet 150
2.2.9. Átviteli függvény. Duhamel-formula 158
2.2.10. Bessel-féle differenciálegyenlet 161
2.2.11. Lineáris peremérték- és sajátérték-feladatok 162
2.2.12. Sturm-Liouville-típusú sajátérték-feladatok 167
2.3. Differenciálegyenlet-rendszerek
2.3.1. Az egzisztencia, unicitás és stabilitás kérdése normálalakú rendszer kezdetiérték-feladatával kapcsolatban 172
2.3.2. A megoldás geometriai és fizikai interpretációja. Fázistér, pályagörbék 174
2.3.3. Lineáris differenciálegyenlet-rendszerek 176
2.3.4. Állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer 180
2.3.5. Állandó együtthatós inhomogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer 192
2.3.6. Autonóm rendszer. Pályagörbék vizsgálata 197
2.3.7. Két-szabadságfokú autonóm rendszer. A pályagörbék szerkezete egyensúlyi helyzet környezetében. Az egyensúlyi helyzet stabilitásvizsgálata 201
2.3.8. Stabilitáskritériumok 209
2.4. Közelítő megoldási módszerek
2.4.1. Bevezető megjegyzések 217
2.4.2. Szukcesszív approximáció /Iteráció/ 218
2.4.3. Hatványsoros közelítés 222
2.4.4. Euler-féle poligonmódszer 225
2.4.5. Runge-Kutta módszerek 227
2.4.6. Adams-féle extrapolációs módszer 232
2.4.7. Lineáris peremérték-feladatok közelítő megoldása kezdetiérték-feladatra való visszavezetéssel 234
2.4.8. Hibanégyzet-módszer /Legkisebb négyzetek módszere/ 237
2.4.9. Differenciamódszer 239
3. Szemelvények a parciális differenciálegyenletek köréből
3.1. Bevezetés
3.1.1. Alapfogalmak 243
3.1.2. A másodrendű állandó együtthatós lineáris parciális differenciálegyenletek felosztása 245
3.2. Néhány, az alkalmazásokban fontos szerepet játszó parciális differenciálegyenlet ismertetése
3.2.1. Maxwell-egyenletek 246
3.2.2. Kontinuitási egyenlet 248
3.2.3. Hullámegyenlet 251
3.3. Feladat hiperbolikus differenciálegyenletre
3.3.1. A rezgő húr problémája 255
3.4. Feladat elliptikus differenciálegyenletre
3.4.1. Hengerszimmetrikus stacionárius hővezetés, diffúzió 260
3.5. Feladatok parabolikus differenciálegyenletre
3.5.1. A hővezetés és diffúzió differenciálegyenletére vonatkozó néhány feladat megfogalmazása 263
3.5.2. A megoldás egyértelműségének kérdése 267
3.5.3. Hővezetés, diffúzió végtelen egyenes mentén 271
3.5.4. Hővezetés ill. diffúzió félegyenes mentén, a végpontban állandó hőmérséklet ill. koncentráció 278
3.5.5. Hővezetés, diffúzió félegyenes mentén, szigetelt végpont esetén 282
3.5.6. Véges hosszúságú test esete, a végpontokon állandó hőmérséklet ill. koncentráció 284
3.5.7. Véges hosszúságú test esete, szigetelt végpontok 288
3.5.8. Hővezetés ill. diffúzió félegyenes mentén, a végpontban időtől függő hőmérséklet ill. koncentráció 290
3.5.9. Tetszőlegesen görbült rudak, csövek esete, a paláston átadás 292
3.5.10. Sugárirányú hővezetés ill. diffúzió körhengerben, a paláston állandó hőmérséklet ill. koncentráció 293
3.5.11. Hővezetés, diffúzió egyenes mentén, ezen irányban áramló közegben 295
3.5.12. Kétdimenziós hővezetés ill. diffúzió, homogén áramlási térben 299
3.5.13. Differenciamódszer parabolikus differenciálegyenlettel kapcsolatos feladat közelítő megoldására 300

Témakörök