Matematika III.

Tartalom

1.§ Egyparaméteres vektor-skalár függvények. Térgörbék 3
1. Alapfogalmak 3
2. Egyparaméteres vektor-skalár függvény deriváltja 6
3. Egyparaméteres vektor-skalár függ. vonat. deriválási szabályok 9
4. Térgörbék ívhosszúsága 10
5. A térgörbe ívhossza, mint paraméter 11
6. Térgörbék általános vizsgálata 12
7. A térgörbe kísérő triédere 17
8. Térgörbe egyenlete a kísérő triéder koordinátarendszerében 21
9. A Darboux-féle vektor 23
10. Centrális mozgás jellemzése 24
2.§ Kétparaméteres (kétváltozós) vektor-skalár függvények. Felületek 27
1. Alapfogalmak 27
2. Kétparaméteres vektor-skalár függvény deriváltjai 33
3. Felületdarab felszíne 36
4. Hosszúság- és szögmérés felületeken 39
5. Felületek görbületi viszonyai 40
3.§ Skalár-vektor függvények (skalárterek) 47
1. Alapfogalmak 47
2. Skalár-vektor függvény deriváltja: a gradiens vektor 49
3. Skalár-vektor függvény iránymenti deriváltja. Skalár-vektor függvény értékváltozási sebessége 51
4. A vektortér skaláris potenciálja meghatározásának feladata. (A kvadratura probléma általánosítása) 56
4.§ Vektor-vektor függvények 59
1. Alapfogalmak 59
2. Homogén lineáris vektor-vektor függvények: tenzorok 62
3. Speciális tenzorok 71
a) Tenzor transzponáltja 71
b) Szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzor 72
c) Reguláris és szinguláris tenzor 75
d) Reciprok tenzor, egységtenzor 75
e) Izometrikus tenzor 77
f) Szimmetrikus tenzor diagonalizálása 88
g) Tenzor felbontása izometrikus és szimmetrikus tenzor szorzatára 96
4. Vektor-vektor függvény deriváltja: deriválttenzor 111
5.§ Görbementi integrálok 130
1. A görbementi integrál értelmezése 130
2. A görbementi integrál kiszámítása 131
3. Vektortér skaláris potenciáljának meghatározása 135
6.§ Vektor-vektor függvény felületi integrálja 141
1. Fizikai bevezetés 141
2. A felületi integrál értelmezése 142
3. A felületi integrál kiszámítása 144
7.§ A Gauss-Osztrogradszkij-féle integrálátalakítási tételek 148
1. A térbeli Gauss-Osztrogradszkij-féle tétel 148
2. Fizikai alkalmazások 151
3. Síkbeli Gauss-Osztrogradszkij-féle tétel 153
4. Green tétele 156
8.§ A Stokes-féle tétel 161
1. A Stokes-féle tétel 161
2. Vektortér egyértékű skaláris potenciálja létezésének feltétele 164
9.§ Görbevonalú ortogonális koordinátarendszerek 168
1. Görbevonalú koordinátarendszerekről általában 168
2. A gradiens vektor kiszámítása görbevonalú ortogonális koordinátarendszerben 173
3. A divergencia kiszámítása görbevonalú ortogonális koordinátarendszerben 174
4. A rotáció vektor adott irányú összetevőjének meghatározása görbevonalú ortogonális koordinátarendszerben 176
5. A Laplace-féle kifejezés görbevonalú ortogonális koordinátarendszerben 178
10.§ A komplex függvénytan elemei 181
1. Definíciók 181
2. Komplex változós függvény differenciálhatósága 182
3. Görbe menti integrál 189
4. A logaritmus és az exponenciális függvény. Trigonometrikus függvények 190
5. A Cauchy-féle tétel és következményei 192
6. A Cauchy-Taylor-féle hatványsor 196
7. A Laurent-féle hatványsor 197
8. Reguláris és szinguláris pontok 199
9. A reziduum-tétel 200

Témakörök