Matematika II.

Tartalom

1. A határozatlan integrál 3
1.1. A határozatlan integrál fogalma 3
1.2. Alapintegrálok 4
1.3. Összetett függvény differenciálási szabályának megfordítása 8
1.4. Parciális integrálás 12
1.5. Integrálás helyettesítéssel 15
1.6. Racionális függvények integrálása 17
1.7. Racionális függvény integráljára vezető helyettesítések 27
1.8. Megjegyzés a differenciálásról és integrálásról 39
2. A határozott integrál 40
2.1. Határozott integrál fogalmához vezető példák 40
2.2. A határozott integrál 46
2.3. A differenciál és integrálszámítás alaptétele 56
2.4. A határozott integrál kiszámítása a határozatlan integrál segítségével 58
3. Az integrálszámítás néhány alkalmazása 61
3.1. Síkidomok területe 61
3.2. Görbék ívhosszának kiszámítása 65
3.3. Köbtartalom számítás integrállal 69
3.4. Forgástestek köbtartalma és felszíne 71
3.5. Gáz munkája izotermikus kiterjedésnél 76
3.6. Disszociáló gáz munkája izotermikus kiterjedésnél 77
3.7. A benzin közepes fajhőjének kiszámítása 78
3.8. Zeuner és Navier képletei 79
3.9. Hatványsorok tagonkénti integrálásának alkalmazásai sorfejtésre 81
3.10. Improprius integrál 85
3.11. Határozott integrálok közelítő értékének meghatározása 91
Feladatok 98
4. Többváltozós függvények 101
4.1. A többváltozós függvény fogalma 101
4.2. A többváltozós függvény megadása 102
4.3. Kétváltozós függvény gradikus ábrázolása 103
4.4. A kettőnél több változós függvény grafikonja 115
4.5. Többváltozós függvény értelmezési tartománya 117
4.5. A sík topológiája 118
4.7. Az n-dimenziós tér 125
4.8. Többváltozós függvény határértéke és folytonossága 129
4.9. A parciális differenciálhányadosok 133
4.10. A deriválás sorrendjének felecserélhetősége 141
4.11.Többváltozós függvény differenciálhatósága 144
4.12. A teljes differenciál 150
4.13. Hibaszámítás 154
4.14. Összetett függvények deriválása 157
4.15. Középértéktétel 60
4.16. Irány menti derivált 161
4.17. Többváltozós függvények Taylor-formulája 164
4.18. Kétváltozós függvény szélsőértéke 166
4.19. Implicit függvények 170
4.20. A kettős integrál 174
Feladatok 190
5. A vonalmenti integrál 194
5.1. A vonalmenti integrál értelmezése és kiszámítása 194
5.2. A vonalintegrál értékének függése az integrációs úttól 201
5.3. Megjegyzés 210
Feladatok 211
6. Differenciálegyenletek 212
6.1. A differenciálegyenlet fogalma 212
6.2. A differenciálegyenletek osztályozása 213
6.3. Néhány fogalom egyszerű példákon bemutatva 214
6.4. Szétválasztható differenciálegyenletek 219
6.5. Helyettesítéssel szétválaszthatóra visszavezethető differenciálegyenletek 225
6.6. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet 231
6.7. Bernoulli-féle differenciálegyenlet 238
6.8. Kezdeti feltételek másodrendű differenciálegyenleteknél 243
6.9. Hiányos másodrendű differenciálegyenlet 245
6.10. Másodrendű lineáris differenciálegyenlet 254
6.11. A másodrendű lineáris homogén állandóegyütthatós differenciálegyenlet megoldása 256
Feladatok 264
Függelék
A valószínüségszámitás néhány alapfogalma 267
1. Véletlen és szükségszerű jelenség 267
2. Véletlen események 267
3. Relatív gyakoriság és valószínűség 268
4. Események algebrája 269
5. A valószínűség matematikai fogalma és alaptulajdonságai 270
6. A valószínűségek klasszikus, kombinatórikus kiszámítási módja 273
7. Feltételes valószínűség és függetlenség 280
8. A teljes valószínűség tétele 283
9. Bayes-tétel 284
10. Események függetlensége 285
11. Bernoulli-képlete 288
12. Valószínűségi változó fogalma 289
13. Statisztikus módszerek 290

Témakörök