Matematika I./Matematika II./Matematika III./Matematika IV./Érettségi matematikai összefoglaló

Tartalom

MATEMATIKA I.

Algebra
I. Az általános iskolai anyag ismétlése
1. Alapműveletek természetes számokkal 7
Számlálás 7
Összeadás és kivonás 7
Szorzás 11
Osztás 13
2. Számtani közép 16
3. Oszthatóság. Törzstényezők 16
Legnagyobb közös osztó 19
Legkisebb közös többszörös 21
4. Törtek 23
Törtek értelmezése 23
Áltört átalakítása vegyes számmá és viszont 25
Tizedes törtek 26
Törtek változása, egyszerűsítése 26
Törtek összeadása és kivonása 29
Törtek szorzása egész számmal 34
Törtek osztása egész számmal 36
Szám törtrészének kiszámítása 37
Egész szám szorzása törttel 37
Tört szorzása törttel 38
Egész szám osztása törttel 39
Tört osztása törttel 40
5. Alapműveletek tizedes törtekkel 44
Összeadás 44
Kivonás 45
Szorzás 46
Osztás 47
6. Törtek átalakítása 50
Tört átalakítása tizedes törtté 50
Tizedes tört átalakítása törtté 52
7. A tízes számrendszer összefoglalása 54
8. Következtetés. Arány, aránypár 55
Következtetés 55
Arány, arány pár 56
9. Százalékszámítás 58
II. Algebrai alapismeretek
1. Algebrai írásmód. Zárójelek használata 60
2. Azonosság 62
3. Azonosságok szemléltetése 64
4. Összeg négyzete 65
5. Közönséges számok négyzete 66
6. Közönséges számok négyzetgyöke 68
Összefoglalás 74
7. Negatív számok 74
Előjeles számok 74
A pozitív és negatív számok ábrázolása a számegyenesen 75
Előjeles számok összeadása 77
Előjeles számok kivonása 78
Megállapodás a zárójelek elhagyására 80
Összeg kivonása 81
Összevonás 82
Előjeles számok szorzása 84
Előjeles számok osztása 86
Összefoglalás 87
8. Szorzás 88
Egytagú kifejezések szorzása 88
Többtagú kifejezések szorzása 90
9. Osztás 92
Egytagú kifejezések osztása 92
Többtagú kifejezések osztása egytagúval 93
Kiemelés 94
10. Törtek 94
A törtek egyszerűsítése 94
Törtek bővítése 96
Törtek összevonása 99
Törtek szorzása és osztása 101
»Emeletes« törtek 103
Összefoglalás 105
11. Hatványozás összefoglalása 105
Egyenlő alapú hatványok szorzása és osztása 105
Egyenlő kitevőjű hatványok szorzása és osztása 107
Hatvány hatványozása 109
III. Függvény
1. Grafikus ábrázolás Hl
2. Algebrai kifejezés mint a benne előforduló betűk függvénye 115
3. Elsőfokú függvény grafikus ábrázolása 117
4. Az elsőfokú függvény képe egyenes vonal 120
5. Koordinátarendszer 122
6. Az állandó 124
Összefoglalás 126
IV. Elsőfokú egyismeretlenes egyenlet
1. Függvények és az egyenlet 127
2. Az elsőfokú egyismeretlenes egyenletek algebrai megoldása 130
3. Kivételes esetek 136
Összefoglalás 138
V. Szöveges egyenletek
1. Megoldás próbálgatással 130
2. Megoldás egyenlettel 143
3. Különböző szöveges egyenletek 146
VI. Egyenletrendszerek
1. Elsőfokú kétismeretlenű egyenletrendszerek grafikus megoldása 165
2. Egyenletrendszerek algebrai megoldása 170
Összefoglalás 177
Geometria
I. Az általános iskolai mértan áttekintése
1. Párhuzamos oldalú négyszögek 179
Téglalap és négyzet 179
A vonalzók használata 180
Rombusz és romboid 181
2. Szögpárok 183
3. A kör és részei. Szögmérés. Egyenlő szárú háromszög 185
4. Egyenlő szárú háromszög. Elemi szerkesztések 187
Szakasz felezése 187
Szögfelezés 187
Szögmásolás 188
5. A háromszögek belső szögeinek összege és a szögek szerinti osztályozása 189
6. Trapéz és trapezoid 190
A négyszögek belső szögeinek összege 191
A négyszögek osztályozása 191
7. Egyenes vonalú síkidomok kerülete és területe 192
Kerületszámítás 192
Területszámítás 192
8. A kör kerülete és területe 194
A körív hossza 195
A kör területe 195
A körcikk területe 196
A körszelet területe 196
A körgyűrű területe 196
9. Köbtartalom- és felszínszámítás 197
II. Egybevágóság
1. Síkidomok egybevágóságának fogalma 203
2. Két oldalban és a közbezárt szögben megegyező háromszögek egybevágósága 205
3. Pythagoras tétele és alkalmazása 205
4. Egy oldalban és a rajta levő két szögben megegyező háromszögek egybevágósága 210
5. Tengelyes és középpontos tükrözés 211
6. A háromszögek egybevágóságának további két esete 213
Összefoglalás 216
III. Mértani helyek
1. A kör technikai alkalmazásai. A kör mint mértani hely 218
2. Különböző mértani helyek 222
3. Szerkesztések mértani helyekkel 226
Összefoglalás 230
IV. Érintő szerkesztése a körhöz külső pontból
1. Thales tétele 231
2. Érintő szerkesztése körhöz külső pontból 233
3. Egyenessel párhuzamos körérintő szerkesztése 234
4. Körérintők szerkesztésének alkalmazása 234
5. Thales-kör alkalmazása 236
6. Két kör közös érintői 238
7. Thales-tétel alkalmazása a mértani helyek megállapítására 241
Összefoglalás 242
V. A szögek és a háromszög szögei közötti összefüggések
1. Szögfelezők 243
2. Merőleges szárú szögek 243
3. A sokszög szögeinek összege 244
4. A háromszög oldalai és szögei közötti összefüggések 246
5. Háromszögek szerkesztése oldalainak összegéből vagy különbségéből 247
6. Kerületi és középponti szögek 250
7. Látószög 254
8. Szerkesztések a kerületi szögek tulajdonságai alapján 256
9. Hátrametszés 257
10. Bizonyítások a kerületi szögek felhasználásával 259
Összefoglalás 260
VI. A húr- és érintő négyszögek
1. Körbe írható négyszögek 262
2. Kör köré írható négyszögek 262
3. Geometriai tételek megfordíthatósága 263
4. A háromszög magasságpontja 264
5. Húrnégyszögekkel bizonyítható egyéb tételek 266
Összefoglalás 268
VII. Trigonometria
1. Bevezetés 269
2. A hegyesszög tangense 270
3. A tangens meghatározása rajz alapján 274
4. A tangens-táblázat 277
5. A tangensértékhez megfelelő szög visszakeresése a táblázatból 279
6. Alkalmazások 281
7. A hegyesszög sinusa 283
8. A hegyesszög cosinusa és cotangense 286
9. Derékszögű háromszög megoldása cosinus és cotangens alkalmazásával 289
Összefoglalás 291
Függelék 292

MATEMATIKA II.

ALGEBRA
I. A négyzetgyökre vonatkozó fontosabb azonosságok
1. A négyzetgyök értelmezése 3
2. A négyzetgyök kétértékűsége 4
3. Algebrai számok négyzetgyöke 5
4. Szorzat és tört négyzetgyökére vonatkozó azonosságok 6
5. A négyzetgyök hatványozása 8
6. Hatványmennyiség négyzetgyöke 9
7. Kiemelés a négyzetgyökjel alól, bevitel a négyzetgyökjel alá 10
8. A nevező gyöktelenítése 13
9. Négyzetgyökös kifejezések néhány további azonos átalakítása 16
10. Az irracionális szám 18
a) A mérés pontossága 18
b) Az irracionális szám fogalma és ábrázolása 19
II. Egyenlőtlenségek
1. Az egyenlőtlenség fogalma és alkalmazása 25
2. A számtani és mértani középarányos összehasonlítása 29
III. Másodfokú egyenlet
1. Tiszta másodfokú egyenlet 31
2. Vegyes másodfokú egyenlet 35
3. Az ismert tag nulla 41
4. A másodfokú egyenlet gyökképlete 43
5. A diszkrimináns. A gyökök minősége 53
6. A gyökök és együtthatók szimmetrikus összefüggése 55
7. A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja 57
8. A másodfokú függvény 58
9. A másodfokú egyenlet grafikus megoldása 67
IV. A hatványfogalom kiterjesztése
1. A 2 egész és tört kitevőjű hatványai 75
2. A gyökvonás általánosítása. A tört kitevőjű hatvány 77
3. A gyökre vonatkozó azonosságok 81
4. Nulla és negatív kitevőjű hatvány 93
5. Számok normál alakja 96
6. Az exponenciális görbe 101
V. A logaritmus
1. A logaritmus fogalma 103
2. A logaritmusgörbe 108
3. A logaritmusokra vonatkozó azonosságok 110
4. A 10-es alapú logaritmustáblázat 113
5. Számok logaritmusának keresése a táblázatból 116
6. A szám visszakeresése a táblázatból 119
7. Interpoláció 121
8. Logaritmus alkalmazása a számolásban 126
a) Szorzat kiszámítása logaritmussal 126
b) A hányados értékének kiszámítása 127
c) A hatvány értékének kiszámítása 128
d) A gyök értékének kiszámítása 128
e) Összetettebb kifejezések kiszámítása 129
f) Összeget és különbséget tartalmazó kifejezések kiszámítása 132
g) Negatív értékű kifejezések kiszámítása 134
VI. A logaritmusléc
1. A logaritmusléc skálái 137
2. Négyzetre emelés és négyzetgyökvonás 139
3. Köbre emelés és köbgyökvonás 142
4. A reciprok skála 143
5. Szorzás 144
6. Osztás 146
7. Egyéb összefüggések 146
8. Százalékszámítás 148
9. A kör területe 148
MÉRTAN
I. Síkidomok hasonlósága. A hasonlóság alkalmazásai
1. A hasonlóság fogalma 151
2. Háromszögek hasonlósága 157
3. A háromszögek hasonlóságának alapesetei 158
4. Sokszögek hasonlósága 166
5. Hasonló sokszögek területének aránya 169
6. Hasonló sokszögek szerkesztése. Körök hasonlósága 171
7. A hasonlóság alkalmazása 179
a) Szakasz felosztása egyenlő részekre 180
b) Szakasz felosztása arányos részekre 181
8. Negyedik arányos szerkesztése 183
9. Műveletek szakaszokkal 184
10. A hasonlóság alkalmazása bizonyításoknál 187
a) Arányossági tételek a háromszögben 187
b) A háromszög nevezetes vonalai és pontjai 189
II. Mértani középarányos és alkalmazásai
1. Arányossági tételek a derékszögű háromszögben 192
2. A mértani középarányos szerkesztése 194
3. Kör külső pontjának a körre vonatkozó hatványa 195
4. A mértani középarányos alkalmazása feladatok megoldásánál 196
5. A Pythagoras-tétel és alkalmazása 199
a) Pythagoras tételének algebrai bizonyítása 199
b) Számítások Pythagoras tétele alapján 200
6. A háromszög területének kiszámítása az oldalakból 203
III. Területátalakítások
1. Egyszerű idomok átalakítása téglalappá 209
2. További területátalakítások 210
3.Területek egyenlő részekre osztása 213
TRIGONOMETRIA
I. A derékszögű háromszög megoldása
1. A trigonometriai függvények értelmezése 216
2. A pótszögek függvényei 222
3. A 30°-os, 45°-os és 60°-os szögek szögfüggvényértékei 224
4. Összefüggések ugyanazon szög függvényei között 226
5. A szögmértani táblák használata 235
6. A derékszögű háromszög megoldása 240
7. A derékszögű háromszög területe 245
8. A szögmértani logaritmustáblák használata 246
9. Szögfüggvények a logarlécen 248
10. Derékszögű háromszög megoldására visszavezethető feladatok 252
II. Az általános háromszög megoldása
1. A szögfüggvények általánosítása 267
2. A sinustétel 277
3. A cosinustétel 281

MATEMATIKA III.

Trigonometria
1. Szögfüggvények általánosítása 3
a) A szög fogalmának általánosítása 3
b) Szögfüggvények általánosítása 3
2. Trigonometriai kifejezések átalakítása 6
a) Két szög összegének függvényei 6
b) Két szög különbségének függvényei 11
c) Kétszeres szögek függvényei 11
d) Félszögek függvényei 15
e) Szögfüggvények összegének és különbségének szorzattá alakítása 16
f) Tangenstétel 20
3. A szög ívmértéke 26
4. Szögfüggvények ábrázolása 30
a) A sinusfüggvény ábrázolása 30
b) A cosinusfüggvény ábrázolása 32
c) A tangensfüggvény ábrázolása 33
d) Néhány más trigonometriai függvény ábrázolása 35
5. Trigonometikus egyenletek és megoldásaik 36
Egyenletek és egyenletrendszerek
1. Egyenletek négyzetgyökökkel 44
2. Másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletek 51
3. Másodfokú egyenletek segítségével megoldható másodfokú egyenletrendszerek 54
4. Exponenciális és logaritmikus egyenletek 60
Sorozatok
1. A sorozatok fogalma 70
2. Számtani sorozatok 71
a) A számtani sorozat n-edik tagja 72
b) A számtani sorozat összege 76
3. Mértani sorozatok 81
a) A mértani sorozat n-edik tagja 83
b) A mértani sorozat összege 90
4. A végtelen mértani sorozat összege 99
a) Határérték fogalma 99
b) A végtelen mértani sorozat összege 102
5. Teljes indukció 106
a) Az első n természetes szám négyzetének összege 110
Analitikai geometria
I. fejezet A KOORDINÁTARENDSZER ALKALMAZÁSÁNAK ELEMI KÉRDÉSEI
1. A pont síkbeli helyzetének meghatározása számok segítségével 121
2. Az előjelek szabálya 123
3. Descartes derékszögű koordinátarendszere. A síkban fekvő pont koordinátái 124
4. Két pont távolsága 126
5. Szakasz felosztása adott arányban 129
II. fejezet AZ EGYENES VONAL
6. Az egyenes egyenletének fogalma. Az egyenes iránytényezős egyenlete 134
7. A koordináta-tengelyekkel párhuzamos egyenesek egyenlete; a koordináta-tengelyek egyenlete 141
8. Az egyenes egyenletének általános alakja és különleges esetei 143
9. Az adott ponton átmenő egyenes egyenlete (a sugársor egyenlete) 146
10. Két adott ponton átmenő egyenes egyenlete 148
11. Az egyenes egyenletének "szeletes" alakja 149
12. Két egyenes hajlásszöge 150
13. Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltételei 154
a) A párhuzamosság feltétele 154
b) A merőlegesség feltétele 155
14. Két egyenes metszéspontja 157
III. fejezet A MÉRTANI HELYEK ÉS EGYENLETEIK. MÁSODFOKÚ GÖRBÉK
15. A mértani helyek és mértani helyekként megadott egyenesek egyenletei 163
16. A kör 165
17. Az ellipszis 168
18. Az ellipszis alakjának vizsgálata 170
19. Az ellipszis pontjainak szerkesztése 173
20. Az ellipszis excentricitása 174
21. Az ellipszis és a kör összefüggése 175
22. A hiperbola 175
23. A hiperbola alakjának vizsgálata 177
24. A hiperbola aszimptotái 178
25. Az egyenlő tengelyű hiperbola 184
26. A parabola 186
27. Az y=Ax2+Bx+C parabola 188
28. A görbe egyenlete paraméteres alakban 191
29. A kör paraméteres egyenletei 193
30. Az ellipszis paraméteres egyenletei 193
31. A másodfokú görbék mint kúpok metszetei 194
32. Kúpszeletek érintői 195
a) Az ellipszis, kör és hiperbola érintője 195
b) A parabola érintője 199

MATEMATIKA IV.

Térmértan (sztereometria)
1. Síkok és egyenesek. Térbeli alakzatok
A) Alapfogalmak
1. Bevezetés 3
2. A sík alaptulajdonságai 4
3. Egyenesek és síkok kölcsönös helyzete 5
B) Párhuzamos egyenesek és síkok
4. Egyenes és sík párhuzamossága 6
5. Párhuzamos síkok 7
C) Merőleges egyenesek és síkok
6. Síkra merőleges egyenes 8
7. Síkra merőleges és síkra ferdén hajló szakaszok 9
8. Három egymásra merőleges egyenes tétele 10
9. Két egyenesre merőleges sík, két síkra merőleges egyenes 11
D) Kitérő egyenesek hajlásszöge. Egyenes és sík hajlásszöge
10. Kitérő egyenesek hajlásszöge 12
11. Egyenes és sík hajlásszöge 12
E) Lapszögek. Merőleges síkok
12. A lapszög fogalma 13
13. Merőleges síkok 14
F) Sík idomok vetületének területe
14. A vetület fogalma 15
15. Sokszögek vetületének területe 16
G. Testszögletek
16. A testszögletekről általában 17
Gyakorlatok 18
II. Szögletes testek
A) A hasáb
17. A szögletes test fogalma 21
18. Hasáb 21
19. Paralelepipedon 22
20. A téglatest átlóinak tulajdonsága 23
21. A hasáb felszíne 24
22. A téglatest térfogata 25
23. Az egyenes hasáb térfogata 26
24. Cavalieri elve 28
25. A hasáb térfogata 29
B) A gúla
26. A gúla fogalma 31
27. A gúla alappal párhuzamos síkmetszetének tulajdonsága 32
28. A gúla és a csonka gúla felszíne 35
29. A gúla térfogata 36
30. A csonka gúla térfogata 38
Gyakorlatok 42
III. Görbe felületű testek
A) A henger
31. Hengerfelület 46
32. Egyenes körhenger 46
33. A henger hálózata és felszíne 47
34. A henger térfogata 48
B) A kúp
35. Kúpfelület 50
36. Egyenes körkúp 50
37. A kúp hálózata és felszíne 51
38. A kúp térfogata 53
39. Csonka kúp 53
40. A csonka kúp hálózata és felszíne 54
41. A csonka kúp térfogata 56
C) A gömb
42. A gömbfelület fogalma 58
43. A gömbfelület síkmetszete 58
44. A gömbfelület és a gömbrészei 59
45. A gömb térfogata 60
46. A gömbszelet térfogata 61
47. A gömbcikk térfogata 62
48. A gömb és a gömbsüveg felszíne 64
Gyakorlatok 66
IV. Közelítő eljárások a térfogatszámításban
49. Térfogat-meghatározás a gyakorlatban 69
Gyakorlatok 74
Függvények
I. Alapfogalmak és alapismeretek
1. Mennyiség és szám 75
2. A számfogalom felépítése 75
3. Állandó és változó mennyiségek. A függvény 77
4. Függvények értelmezési tartománya és értékkészlete 78
5. A függvény fogalma. A függvénykapcsolat általános jelölése 82
6. A függvények megadásának módja 84
Gyakorlatok 87
II. Elemi függvények változásának vizsgálata
1. Az elemi függvények osztályozása 91
2. Racionális egész függvények vizsgálata 92
3. Racionális törtfüggvények ábrázolása 98
4. Néhány irracionális függvény ábrázolása 102
5. Néhány transzcendens függvény ábrázolása 104
Gyakorlatok 108
III. Függvény-transzformációk
1. A függvény transzformációi 111
2. A változó transzformációi 115
3. Néhány összetett feladat megoldása 119
Gyakorlatok 123
IV. Szélsőérték-feladatok megoldása
1. Egyszerű szélsőérték-feladatok 125
Gyakorlatok 129
Polinomok osztása. Bezout tétele
1. Polinomok szorzattá alakítása 131
2. A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakjának felhasználása másodfokú polinomok szorzattá alakítására 132
3. Polinomok osztása 134
4. Bezout tétele 140
5. Egyenletek gyöktényezős alakja. A gyökök száma 143
Gyakorlatok 146

ÉRETTSÉGI MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ

I. Számok és műveletek 5
1. Számok fajtái; írásmódjaik 5
2. Műveletek és tulajdonságaik a természetes számok körében 9
3. Számelméleti alapfogalmak 18
4. Törtek 25
5. Tizedes törtek. Százalékszámítás 36
6. Negatív számok 44
7. A komplex szám fogalma 55
II. Függvények 58
1. A függvény és matematikai kifejezésmódjai 58
2. Az y=ax és y=a/x függvények és alkalmazásaik 66
3. A lineáris és exponenciális függvények és alkalmazásaik (Számtani és mértani sorozat) 70
4. A logaritmusfüggvény és alkalmazásai 75
III. Algebrai kifejezések azonos átalakításai 80
1. Algebrai kifejezések 80
2. Racionális egész kifejezések azonos átalakításai 86
3. Racionális törtkifejezések azonos átalakításai 94
4. Gyökös kifejezések azonos átalakításai 99
IV. Egyenletek 104
1. Az egyenletek általános értelmezése. Egyenértékűség 104
2. Első és magasabb fokú algebrai egyenletek megoldása 114
3. Egyenletrendszerek 122
V. Geometria 127
1. A sík- és térgeometria alapvető alakzatai 127
2. Mértani helyek és alkalmazásaik 138
3. Szimmetria 146
4. Egybevágóság 150
5. Hasonlóság 154
6.Területszámítás 158
VI. Trigonometria 169
1. Derékszögű háromszögek megoldása 169
2. Összetett feladatok visszavezetése derékszögű háromszögek megoldására 173
3. A sinus- és cosinustétel alkalmazásai (Az általános háromszög megoldása. Összetett feladatok) 177
4. A szögfüggvények értelmezésének kiterjesztése 180
5. Összefüggések különböző szögek szögfüggvényei között 184
VII. Analitikus (koordináta-) geometria 188
1. Pont és egyenes 189
2. Távolságok. Kör 194
3. Ellipszis és hiperbola 197
4. Parabola 202

Témakörök