Matematika I-III.

Tartalom

I. kötet
1. SZÁMOK ÉS MŰVELETEK 7
1.1. A halmazok 6
1.2. A számok fajtái. Alapmüveletek és tulajdonságaik 12
1.2.1. Összeadás 13
1.2.2. Kivonás 13
1.2.3. Szorzás 15
1.2.4. Osztás 15
1.2.5. Hatványozás 17
1.2.6. Gyökvonás 17
1.2.7. Logaritmuskeresés 22
1.2.8. A számok összefoglalása 22
1.3. Szumma, produktum, faktoriális 23
1.4. Binomiális tétel, binomiális együtthatók 25
1.5. Müveletek komplex számokkal 29
1.5.1. Komplex számok összeadása, kivonása 30
1.5 2. Komplex számok szorzása 31
1.5.3. Komplex számok hatványozása 33
1.5.4. Komplex szám konjugáltja 34
1.5.5. Komplex számok osztása 36
1.5.6. A komplex számok trigonometrikus és exponenciális alakja 37
1.5.7. Müveletek trigonometrikus és exponenciális alakban megadott komplex számokkal 42
1.5.8. A szorzás és osztás geometriai szemléltetése 46
1.5.9. A gyökvonás művelete a komplex számok körében 50
1.5.10. Műszaki alkalmazás 59
1.6. Egyenlőtlenségek 63
1.6.1. Az egyenlőtlenség fogalma; legfontosabb
törvényszerűségek 63
1.6.2. Egyenlőtlenségre vezető feladatok 64
1.6.3. Az egyenlőtlenség megoldása 68
1.6.4. Elsőfokú egyismeretlenes egyenlőtlenségek megoldása 68
1.6.5. Egyismeretlenes egyenlőtlenségrendszerek
megoldása 71
1.6.6. Másodfokú egyenlőtlenségek megoldása ... 73
1.6.7. Törtes egyenlőtlenségek megoldása 79
1.6.8. „Abszolutértékes" egyenlőtlenségek megoldása 82
1.6.9. Transzcendens kifejezést tartalmazó
egyenlőtlenségek megoldása 85
1.6.10. Két ismeret lenes egyenlőtlenségek megoldása 89
1.6.11. Kétismeretlenes egyenlőtlenségrendszerek
megoldása 91
2. SZÁMSOROZATOK ÉS SZÁMSOROK 96
2.1. Számsorozatok 96
2.1.1. A számsorozat fogalma 96
2.1.2. A számsorozat megadása 97
2.1.3. A sorozat ábrázolása 99
2.1.4. A sorozat tulajdonságai 101
2.1.5. Konvergens sorozatokra vonatkozó tételek 109
2.1.6. A végtelen mértani sorozat 110
2.1.7. Divergens sorozatok 111
2.1.8. Műveletek sorozatokkal 113
2.2. Számsorok 118
2.2.1. A számsor fogalma és konvergenciája 118
2.2.2. Nevezetes sorok (végtelen mértani sor,
harmonikus sor) 121
2.2.3. Sorok konvergenciájának eldöntésére szolgáló kritériumok és a konvergencia fajtái 123
2.2.4. Konvergens sorok Összegének megállapítása 133
2.2.5. Müveletek konvergens sorokkal 133
2.3. Az „e", mint határérték 141
3. EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK, DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 145
3.1. A függvény fogalma 145
3.2. A függvény megadásának módjai 149
3.3. A-függvény jellemző tulajdonságai 153
3.3.1. Értelmezési tartomány 153
3.3.2. Szakadási hely 156
3.3.3. Korlátos függvények 158
3.3.4. Értékkészlet 160
3.3.5. Páros, páratlan függvények L62
3.3.6. Periodicitás 165
3.3.7. A függvény görbéjének növekvő és csökkenő szakaszai 167
3.3.8. A függvény görbéjének konvex és konkáv
szakaszai 171
3.3.9. Inflexiós pont 175
3.3.10. A függvény zérushelye 176
3.3.11. A függvény szélsőértékei 178
3.3.12. A függvény határértéke 181
3.3.13. A függvény folytonossága 206
3.3.14. A függvény görbéjének aszimptotája 212
3.4. Néhány speciális függvény 216
3.5. Összetett függvények 222
3.6. Inverz függvények 230
3.7. Egyenletek közelitő megoldása. Hurmódszer 234
3.8. Lineáris függvénytranszformáció 245
3.9. Differenciálszámitás 270
3.9.1. A differenciálhányados fogalma 270
3.9.2. Deriválási eljárások 277
3.9.3. Középértéktételek 292
3.9.4. A függvénygörbe menete és a deriváltak
kapcsolata 299
3.10. Algebrai függvények 309
3.10.1. Racionális egész függvények, polinomok
vizsgálata 309
3.10.2. Polinomok szorzattá alakitása, gyöktényezős alak 336
3.10.3. Interpolációs polinomok 344
3.10.4. Racionális törtfüggvények 359
3.10.5. Irracionális (gyökös) függvények 439
13.11. Transzcendens függvények 461
3.11.1. Szögfüggvények, trigonometrikus függvények 461
3.11.2. Ciklometrikus vagy árkuszfüggvények 482
3.11.3. Exponenciális és logaritmusfüggvények
Logaritmikus derivált 495
3.11.4. Hiperbolikus függvények
3.11.5. Area függvények 521
3.12. A differenciálszámitás alkalmazásai 539
3.12.1. A differenciálszámítás geometriai alkalmazásai 539
3.12.2. A derivált függvény fizikai alkalmazása 553
3.13.3. Egyenletek közelitő megoldása érintő(Newton-) módszerrel 554
3.12.4. A differenciál fogalma és alkalmazása:
közelitő függvényértékek meghatározása, tűrések 563
3.12.5. Bernoulli -L'Hospital szabály 573
3.12.6. Néhány összetett transzcendens függvény vizsgálata 588
3.12.7. Szélsőérték - feladatok 613
3.12.8. Taylor-sor 627
3.13. Grafikus deriválás 646
Függvények paraméteres megadása 648
3TIST Polárkoordinátákban adott függvények 677
FÜGGELÉK
1. Trigonometriai azonosságok 694
2. Köriv hossza, körcikk területe, ivmérték 695
3. Koordináta-geometriai összefoglalás 698
4. Koordinátarendszerek 709
5. Számok abszolút értéke 716
6. Polinomok osztása 717
7. Számrendszerek 724
8. Függvénytani összefoglalás 737

II. kötet
4. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7
4.1. Határozatlan Integrál 7
4.1.1. A primitív függvény fogalma 7
4.1.2. Az alapintegrálok összefoglaló táblázata 10
4.1.3. Általános integrálási szabályok 11
4.2. A határozott integrál 16
4.2.1. Problémafelvetés 16
4.2.2. A határozott integrál fogalma 24
4.2.3. A határozott integrál tulajdonságai 26
4.2.4. Az integrálfüggvény és tulajdonságai 28
4.2.5. Newton-Leibniz-szabály 33
4.2.6. Grafikus integrálás 36
4.3. Integrálási eljárások 40
4.3.1. Integrálás helyettesítéssel 40
4.3.2. Racionális törtfüggvények integrálása 47
4.3.3. Néhány irracionális függvénytipus integrálja 63
4.3.4. Trigonometrikus és hiperbolikus függvényekből racionálisan felépülő függvények
integrálja 71
4.3.5. Parciális integrálás 80
4.3.6. Összefoglalás 93
4.4. Improprius integrál 96
4.4.1. Végtelen intervallumon vett integrálok 97
4.4.2. Nem korlátos függvények integrálja 101
4.4.3. Az improprius integrál konvergenciájának
kritériumai 106
4.4.4. Az improprius integrál abszolút konvergenciája 109
4.4.5. Az improprius integrál alkalmazása 111
4.5. Határozott integrálok közelitő számitása 115
4.5.1. Trapéz szabály 115
4.5.2. Simpson-szabály 117
4.5.3. Integrálás sorbafejtés segitségével 121
4.6. Az integrálszámítás alkalmazása 122
4.6.1. Geometriai alkalmazások Descartes-rendszerben
4.6.2. Fizikai alkalmazások 147
4.6.3. Polárkoordinátákkal adott görbe szektorterülete 183
4.6.4. Paraméteres alakban adott görbék által
határolt sikidomok területe 186
KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 153
5.1. A differenciálegyenlet fogalma 193
5.2. Elsőrendű differenciálegyenletek
5.2.1. Közvetlenül integrálható differenciálegyenletek 200
5.2.2. Szétválasztható változójú differenciálegyenletek 203
5.2.3. Helyettesitéssel szétválasztható változójura visszavezethető differenciálegyenletek 217
5.2.4. Elsőrendű, lineáris, homogén differenciálegyenletek 223
5.2.5. Elsőrendű, lineáris, inhomogén differenciálegyenletek 226
5.3. Másodrendű differenciálegyenletek 241
5.3.1. Közvetlenül integrálható másodrendű differenciálegyenletek 242
5.3.2. Másodrendű, lineáris, homogén állandó
együtthatós differenciálegyenletek 245
5.3.3. Másodrendű, lineáris, inhomogén állandó
együtthatós differenciálegyenletek 252
5.3.4. Hiányos másodrendű differenciálegyenletek 265
FÜGGELÉK
Laplace-transzformáció alkalmazása differenciálegyenletek megoldására 277
1. A Laplace-transzformáció célja 277
2. A Laplace-transzformáció 277
2.1. A Laplace-transzformáció fogalma és jelölése 277
2.2. Műveleti sajátosságok és példák a Laplace-transzformációra 279
2.3. Müveletek a Laplace-transzformációval 282
2.4. Néhány függvény Laplace-transzformáltját összefoglaló táblázat 287
2.5. Példák 288
3. A Laplace-transzformáció inverze 290
3.1. Az inverz Laplace-transzformáció műveleti sajátosságai a 290
3.2. Néhány függvény inverz Laplace-transzformáltját
összefoglaló táblázat 291
3.3. Müveletek a Laplace-transzformáció inverzével.. 292
4. A Laplace-transzformáció néhány alkalmazása differenciálegyenletek és egyenletrendszerek megoldására 296

III. kötet
6. VEKTORALGEBRA 7
6.1. A vektor definíciója és megadása 7
6.2. Vektorokkal végzett elemi müveletek 10
6.3. Vektorok komponensekre bontása 13
6.4. Vektorok koordinátái 15
6.5. Müveletek elvégzése koordinátás alakban 18
6.6. Geometriai példák 19
6.7. Vektor hosszának meghatározása 24
6.8. Vektor irányszögei és iránykoszinuszai 25
6.9* Vektorok skaláris szorzata 29
6.10. Vektor felbontása merőleges összetevőkre 33
6.11. Néhány geometriai feladat megoldása 35
6.32. Vektoriális szorzat 40
6.13. Három vektor vegyes szorzata 46
6.14. Terület- és térfogatszámitási feladatok megoldása 48
7. MÁTRIXOK, DETERMINÁNSOK ÉS LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
7.1. Mátrixalgebra 52
7.1.1. A mátrix fogalma, speciális mátrixok 52
7.1.2. Elemi müveletek a mátrixok körében 56
7.1.3. Mátrixok szorzása mátrixszal 59
7.1.4. Lineáris algebrai egyenletrendszer mátrixos
alakban 64
7.2. Determinánsok 67
7.2.1. A determináns általános fogalma 67
7.2.2. Háromszögdetermináns értéke 73
7.2.3. A determinánsok alapvető tulajdonságai 75
7.2.4. A determináns kifejtésének technikája 81
7.2.5. Mátrixok invertálása 87
7.3. Lineáris egyenletrendszerek 91
7.3.1. A lineáris egyenletrendszerek általános
alakja 91
7.3.2. n xn-es lineáris egyenletrendszer megoldása inverz mátrix segitségével 94
7.3.3. n xn-es lineáris egyenletrendszer megoldása Cramer-szabállyal 96
7.3.4. Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss
algoritmussal 99
8. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
VONALSEREGES ÉS PONTSOROS NOMOGRAMOK
8.1. Többváltozós függvények 110
8.1.1. Kétváltozós függvények 110
8.1.2. Kétváltozós függvények ábrázolása főmetszetekkel 113
8.1.3. Speciális másodrendű felületek 115
8.1.4. Háromváltozós függvények szintvonalas ábrázolása 122
8.2. Többváltozós függvények vonalsereges nomogramja 123
8.3. Többváltozós függvények pontsoros nomogramja 158
9. A VEKTORANALÍZIS ELEMEI
9.1. A vektormező fogalma 181
9.2. A vektoranalizisben szereplő függvények osztályozása 183
9.3. A függvények megadása 185
9.4. Vektorsorozat konvergenciája 187
9.5. Az elsőrendű közelités fogalma 191
9.6. A lineáris függvény fogalma a vektoranalizisben 194
9.7. A derivált általános értelmezése 196
9.8. Vektor-skalár függvények deriváltjának meghatározása 198
9.9. Skalár-vektor függvények parciális deriváltjai 200
9.10. Skalár-vektor függvények deriváltjának meghatározása 207
9.11. Többváltozós függvények hibabecslése 208
9.12. Skalár-vektor függvények iránymenti deriváltja 210
9.13. A gradiens-vektor szemléletes jelentése 211
9.14. Vektor-vektor függvények deriválása 214
9.15. Általános deriválási szabályok 215
9.16. Alakzatok, mértékek 217
9.17. A határozott integrál általános fogalma 220
9.18. Vektor-skalár függvény integrálása egy intervallumon 223
9.19. Skalárértékü felületi integrál 225
9.20. Skalárértékü térfogati integrál 227
9.21. Skalárértékü vonalintegrál 228
9.22. Konzervativ vektormezők 237
9.23. Homogén vektormezők 243
9.24. Elemi forrás 244
9.25. Elemi örvény 249
9.26. Vektormezők szuperpoziciója 252
9.27. Vektormező divergenciájának ás rotációjának általános értelmezése 254
9.28. A vektoranalizis integráltételei 256

Témakörök