Matematika I-II.

Tartalom

I. kötet
I. Számhalmazok 3
1. Természetes számok 3
2. Egész számok 4
3. Racionális számok 4
4. Irracionális számok 4
II. Halmazok elméletének alapfogalmai 7
III. Halmazok számossága 22
IV. Komplex számok 15
1. A számtest fogalma 15
2. Komplex számok mint a sík vektorai 15
3. Komplex számok trigonometrikus alakja 19
V. Lineáris algebra 21
1. Vektorok 21
2. Műveletek vektorok között 23
a) Összeadás és kivonás 23
b) Vektor szorzata skalárral 23
c) Vektorok skaláris szorzata 24
d) Vektorok vektorális szorzata 26
e) Vektorok vegyes szorzata 27
3. Vektorok eltolása és elforgatása 28
a) Vektorok eltolása 29
b) Vektorok elforgatása 29
4. Determinánsok 37
5. Mátrixok és homogén lineáris transzformációk 40
a) Összeadás 40
b) Szorzás 40
6. Mátrix sajátértékei és sajátvektorai 43
7. Lineáris egyenletrendszer 46
VI. Függvények 50
1. Valós függvények 50
2. Vektor-skalár függvények 52
3. Skalár-vektor függvények 54
4. Vektor-vektor függvények 57
VII. Sorozatok és sorok 58
1. Számsorozatok egy- és több dimenzióban 58
2. Néhány fontosabb határérték 60
3. Végtelen sorok 61
VIII. Függvények határértéke és folytonossága 64
IX. Differenciálhányados 67
1. Valós függvények differenciálhányadosa 67
2. Derivált mint differenciálhányados. A differenciáloperátor fogalma 70
3. Vektor-skalár függvények deriváltja 72
4. Skalár-vektor függvények deriváltja 73
5. Vektor-vektor függvények deriváltja 79
X. A differenciálszámítás néhány alkalmazása 82
1. Egyváltozós függvények szélsőértéke 82
2. Egyváltozós függvény Taylor-sora 84
3. Többváltozós függvények Taylor-sora 90
4. Többváltozós függvények szélsőértéke 93
5. Feltételes szélsőérték 94
XI. Határozatlan integrál 98
XII. Határozott integrál 108
1. A határozott integrál fogalma 108
2. A határozott integrál formális tulajdonságai 109
3. A határozott és határozatlan integrál közötti kapcsolat 111
XIII. Improprius integrálok 114
XIV. Az integrálszámítás alkalmazásai 116
1. Területszámítás 116
2. Köbtartalom számítás 119
3. Ívhossz számítás 119
XV. Többváltozós függvények integrálja 121
1. Paraméteres integrál és differenciálása a paraméter szerint 121
2. Ívhossz szerinti integrál 122
3. Vonalintegrálok (görbe menti integrálok) 124
4. Tartományi integrálok 130
XVI. Az integrációs változók transzformációja 139
a) Polár-transzformáció 140
b) Transzformáció gömbi polár-koordinátákra 142
XVII. Közönséges differenciálegyenletek 143
1. Egzakt differenciálegyenlet 143
2. Szeparálható differenciálegyenletek 145
3. Homogén differenciálegyenletek 146
4. Homogén lineáris differenciálegyenletek 147
5. Másodrendű differenciálegyenlet 149
6. Állandó együtthatós másodrendű differenciálegyenletek 152
II. kötet
I. Bevezetés 3
1. Az esemény matematikai fogalma 3
2. Műveletek eseményekkel 4
3. Gyakoriság, relatív gyakoriság 4
4. A valószínűségelmélet axiomatikus megfogalmazása ... 6
5. A valószínűségek meghatározása kombinatorikai módszerekkel 6
6. Feltételes valószínűség és az események függetlensége. 7
7. Bernoulli problémája 11
II. A valószínűségi változó fogalma és eloszlása 12
1. Sűrűségfüggvény, eloszlásfüggvény 12
2. Hisztogram 16
3. Valószínűségi változó függvényének eloszlása 16
4. Több valószínűségi változó együttes eloszlása 17
5. Két valószínűségi változó összegének sűrűségfüggvénye 20
6. Szorzat és hányados sűrűségfüggvénye 22
III. A valószínűségi változók jellemzői 23
1. Várható érték 23
2. Szórás 24
3. Kovariancia és korreláció 26
4. Kovariancia- és korreláció mátrix 27
IV. Nevezetes eloszlástípusok 30
1. Diszkrét valószínűségi változó eloszlástípusai 30
Binomiális eloszlás 30
Polinomiális eloszlás 33
Poisson eloszlás 34
2. Folytonos valószínűségi változó eloszlástípusai 38
Exponenciális eloszlás 38
Egydimenziós normális eloszlás 39
Többdimenziós normális eloszlás 41
A X2 és X eloszlás 42
Student vagy t eloszlás 48
F-eloszlás 50
V. Generátor függvények 52
1. Diszkrét valószínűségi változó generátorfüggvénye 52
A binomiális eloszlású valószínűségi változó generátorfüggvénye 55
A Poisson eloszlású valószínűségi változó generátorfüggvénye 56
2. Folytonos eloszlású valószínűségi változó generátor függvénye 56
Normális eloszlású valószínűségi változó generátorfüggvénye 56
VI. A matematikai statisztika elemei 59
1. A statisztikai minta és annak likelihood függvénye 59
2. Az empirikus várható érték várható értéke, szórása és eloszlása 63
3. Az empirikus szórás várható értéke és eloszlása 64
VII. Konfidencia intervallumok 70
VIII. Statisztikai próbák 74
1. Az u-próba 74
2. A t-próba 76
3. Két várható érték eltérésének vizsgálata 77
4. Az F-próba 81

Témakörök