Matematika I.

Előszó

Részlet:
1. / Valós számok
Előtanulmányainkban a szám fogalmát fokozatosan bővítettük. Kiindulva az úja. természetes számokból (az 1, 2, 3, .számokból) műveletek révén megismertük a zérust és a negatív számokat: 0, -1, -2, , . A természetes számok, a zérus és a negatív egész számok neve közösen egész szám. A természetes számokat szokás még pozitív egész számoknak is nevezni Később ismét bővítettük a szám fogalmát a törtek megismerésével. Ilyen törtek pl. 2 5 _ 1 Az egész számok és tört számok
3 ' 2 "4 '
közös neve racionális szám. Racionális számok tehát a alakú törtek, ahol q / 0, és p, valamint q egész szám. Végül megismertük az irracionális számokat, ilyenek pl. Í2, 7Í, sin 5° , lg 2 . A felsorolt számokat közösen valós számoknak nevezzük.
A valós számokkal műveleteket végezhetünk, az elemekből ismert módon bármely két valós szám összege, különbsége, szorzata ismét valós szám. Az osztás műveletét már nem definiáljuk bármely két valós számra: ha az osztó ü, akkor a hányadost nem definiáljuk. Ettől eltekintve két valós szám hányadosa mindig valós szám.
A gyakorlatban a számokat tizedestört alakban szeretjük használni a tízes számrendszer közismert előnyei miatt. A tizedes törtek lehetnek szakaszosak és nem szakaszosak. Szakaszosnak mondjuk a tizedes törtet, ha bizonyos számú tizedesjegy után ugyanaz a számcsoport végtelen sokszor ismétlődik. ( A véges tizedes törtek is ide tartoznak: az utolsó értékes számjegy után a 0 - a számcsoport egyetlen egy tagból áll - végtelen sokszor ismétlődik.) Bebizonyítjuk, hogy minden racionális szám szakaszos tizedes-tört alakjában írható, és fordítva, minden véges tizedestört, vagy végtelen szakaszos tizedestört p alakban írható (p és q egész, q ± 0). azaz racionális szám. q
Az állítás első részét a következőképp bizonyítjuk: tegyük fel, hogy a p egész számot elosztottuk a q (q 4 0) egész számmal és az osztásnál az ji hányadost és az r, maradékot nyertük, (r^ < q). Ha r. = 0, akkor p az állítás bizonyított, mert a » a, 00
a = a'
r^ 4 0 esetén q tovább folytatjuk az osztást, 10r^ - et osztjuk q-val. Ezen osztás eredménye legyen a,, maradéka pedig rQ. (r0 < q.) r 0 t'
2 - eseten 00. . az állítás tehát bizonyított, ellenkező
q 1 Vissza