Matematika I/9.

Előszó

Vonal és felület fogalmáról van szemléletes képünk, azonban e fogalmak tisztázása korántsem egyszerű, és - amint látni fogjuk - bőven rejteget számunkra meglepetéseket. A görbék is és a felületek is alakzatok: bizonyos ponthalmazok (terek) részhalmazai. Gondolhatunk mindig euklidészi térre, mégpedig akárhány dimenziósra is, de vizsgálataink tetszőleges metrikus térre vonatkoznak. (A topológiában az alakzat fogalma valójában még általánosabb: a metrikus tér általánosítása az un. topológikus tér; ennek részhalmazai az alakzatok.) Milyen alakzatok tehát a görbék, ill. felületek? Alkossák pl. a H alakzatot azok a pontok, amelyeknek a derékszögű koordinátarendszerben valamennyi koordinátájuk racionális. Nyilvánvaló, hogy nem nevezzük vonalnak vagy felületnek sem a H halmazt, sem annak bármely részhalmazát. De szemléletünk megköveteli, hogy pl. az egyenesszakaszt és a parabolát vonalnak, a körlapot és a paraboloidot felületnek nevezzük.
Elképzelhetjük, hogy az egyenesszakasz, ill. a körlap "vastagsággal nem rendelkező" gumidarab. Szemléletünknek megfelel, hogy e gumidarabok "szétvágás" és "összeforrasztás" nélkül létrehozott deformáltjait (a pusztán nyújtás révén létrejötteket) is vonalaknak, ill. felületeknek tekintsük. Úgy is elképzelhetjük, hogy az egyenesszakasz, ill. a körlap torzító lencse deformálta képe is vonal, ill. felület. Milyen is ez a képalkotás, amely - úgy látszik - az alakzatnak vonal- ill. felület-jellegét nem változtatja meg? Ha a B alakzat az A alakzatnak szóban forgó deformáltja, akkor az A alakzaton "nagyon közeli" pontok a deformáció után is "elég közel" maradnak egymáshoz. (Úgy képzeljük, hogy a "távolságot" valamilyen módon az "alakzaton haladó úton mérjük.) Látható, hogy deformációnk olyan folytonos függvénynek tekinthető, amely A pontjait B pontjaira képezi le, mégpedig egyértelműen. Vissza