Matematika I.

Tartalom

I. Komplex függvénytan
1. Alapműveletek komplex számokkal (ismétlés) 3
a) Komplex számok egyenlősége 4
b) Komplex számok összeadása 5
c) Komplex számok kivonása 5
d) Komplex számok szorzása 6
e) Komplex számok osztása 7
f) Hatványozás komplexben (egész kitevőre) 9
g) Gyökvonás komplexben (egész gyökkitevő esetén) 9
h) Feladatok 11
2. Geometriai helyek megadása komplex számok segítségével (ismétlés) 12
a) Egyenes, egyenlete 13
b) Kör egyenlete 13
c) Ellipszis és hiperbola egyenlete 13
d) Általános megjegyzések 15
e) Feladatok 16
3. Komplex változós függvények értelmezése; alapfogalmak 16
a) Tartományok 16
b) Komplex sorozat és határértéke 18
c) A határérték tulajdonságai 20
d) Komplex függvények értelmezése 21
e) Komplex függvény határértéke 22
f) Folytonosság komplexben 24
g) Differenciálhányados komplexben 25
h) Reguláris függvények fogalma 29
4. Az elemi függvények értelmezése komplexben 29
a) Az exponenciális függvény 29
b) A cosinus -függvény 31
c) Sinus-, tangens-, cotangens- függvény 34
d) A hiperbolikus függvények 35
e) A logaritmus -függvény 36
f) Az arcus- és area-függvények 37
g) A hatványfüggvény 39
h) Polinomok és a lineáris tört-függvény 39
i) Feladatok 40
5. Konformis leképezés 41
a) A komplex leképezés fogalma 41
b) Reguláris függvény által létesített leképezés 42
c) Általános elvek a leképezés vizsgálatára 44
d) Példák és feladatok 44
6. Komplex változós függvény integrálja 47
a) A görbementi integrál 47
b) Görbementi integrál tulajdonságai 48
c) Görbementi integrál kiszámítása 49
d) Egyszerű példák görbementi integrál kiszámítására 50
e) Cauchy-féle alaptétel 52
f) Az integrál, mint a felső határ függvénye 53
g) Integrálás többszörösen összefüggő tartományokon 56
7. A komplex integrál alkalmazásai 58
a) A Cauchy-féle integrál-formula 58
b) Differenciálhányadosok számítása integrálok segítségével 60
c) Harmonikus függvények, Laplace-egyenlet 63
d) Gauss -féle középértéktétel 64
e) A Cauchy -formula általánosítása gyűrűszerű tartományra 65
f) Feladatok 66
8 . Komplex függvénysorok 67
a) Komplex tagú sorok; alapfogalmak 67
b) Komplex függvénysorok 69
c) Hatványsorok 70
d) Taylor -sor 73
e) Reguláris függvény zérushelyei. Unicitási tétel '77
f) Az analitikus folytatás fogalma . 80
g) Laurent-sor 81
h) Izolált szinguláris helyek 88
i) Reziduum-tétel 90
j) A reziduumok kiszámítása. Alkalmazások 92
k) Fourier-sor valósban (ismétlés) 94
1) Komplex Fourier-sor 98
m) Példák Fourier -sorba fejtésre 103
n) Feladatok 108
9. Komplex integrál-transzformációk 115
a) Az operátorszámításról általában 115
b) Fourier-transzformáció (Fourier-integrál) 111
c) Laplace-transzformáció 114
d) A Laplace-transzformáció műveleti szabályai 117
e) Néhány elemi függvény Laplace-transzformáltja 121
f) Az egységugrás -függvény és az impulzusfüggvény Laplacetranszformáltja 125
g) A Laplace-transzformáció megfordítása racionális esetben 130
h) A konvolució -tétel 136
i) A konvolució-tétel alkalmazásai 140
j) A Riemann -Mellin formula, a Laplace-transzformáció megfordíthatósága 143
k) Heaviside-féle felbontási tétel 144
II. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
1. Alapvető fogalmak
a) Definíciók, elnevezések, osztályozás
b) A lineáris differenciáloperátor tulajdonságai
c) Függvények lineáris függetlensége, Wronski-féle determináns, alaprendszer 153
2. Homogén lineáris differenciálegyenletek általános megoldása 156
a) A Cauchy-probléma 157
b) Az általános megoldás előállítása alaprendszer segítségével 158
c) Alaprendszer létezésének feltételei 159
d) Az alaprendszer további tulajdonságai
e) Alaprendszer segítségével felírható differenciálegyenletek 164
f) Liouville -formula 166
g) A rendszám csökkentése partikuláris megoldás(ok) ismeretében 168
h) Példák és feladatok 170
i) Az általános megoldás keresésének nehézségei 176
3. Inhomogén lineáris differenciálegyenletek általános megoldása 176
a) Általános megoldás keresése partikuláris megoldás ismeretében 176
b) A "konstans -variáció" módszer 178
c) A rendszám csökkentése partikuláris megoldás(ok) ismeretében 182
d) Példák és feladatok 182
4. Állandó együtthatójú homogén lineáris differenciálegyenletek általános megoldása 187
a) Általános megjegyezések, karakterisztikus egyenlet 187
b) Karakterisztikus egyenlet különböző gyökökkel 188
c) Karakterisztikus egyenlet összeeső gyökökkel 189
d) Karakterisztikus egyenlet komplex gyökökkel 194
e) Példák és feladatok 195
5. Állandó együtthatójú inhomogén lineáris differenciálegyenletek speciális alakú zavarótagokkal 198
a) Exponenciális zavarótag 198
b) Sinusos és cosinusos zavarótag 204
c) Polinom zavarótag 208
d) Összetett zavarótagok 211
e) Feladatok 216
6. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenletek megoldása
Laplace-transzformáció segítségével 217
a) Általános megjegyzések 217
b) Példák és feladatok 217
Ajánlott magyar -nyelvű irodalom 222

Témakörök