Matematika I.

Tartalom

Első rész. ALGEBRA
I. FEJEZET. HALMAZOK, RELÁCIÓK, KIJELENTÉSEK, SZÁMHALMAZOK . 5
1. Halmazok, relációk, kijelentések 5
2. Számhalmazok 12
Gyakorlatok 29
II. FEJEZET. ALGEBRAI SZÁMÍTÁSOK 33
1. Algebrai kifejezések 33
2. Monom 34
3. Polinom 39
4. Algebrai törtek 67
Gyakorlatok 70
III. FEJEZET. EGYENLŐSÉGEK, EGYENLETEK, EGYENLETRENDSZEREK 82
1. Elsőfokú egy ismeretlenes egyenlet 82
2. Egyenletrendszerek 91
Gyakorlatok 103
IV. FEJEZET. ELSŐFOKÚ EGYENLŐTLENSÉGEK 106
Gyakorlatok 110
V. FEJEZET. RACIONÁLIS KITEVŐS HATVÁNYOK 112
1. Irracionális algebrai kifejezések 112
2. Természetes szám kitevős hatványok 112
3. A gyökvonás értelmezése 114
4. A gyökmennyiségek tulajdonságai 117
5. A gyökmennyiségek közös gyökkitevőre hozása 119
6. Racionális tényező kiemelése a gyökjel elé 124
7. Tényező bevitele a gyök jel alá 126
8. A nevező gyöktelenítése 127
9. Gyökvonás negatív számokból 128
10. Egynevű gyökmennyiségek 130
11. Irracionális kifejezések összeadása és kivonása 132
12. Irracionális kifejezések szorzása 132
13. Irracionális kifejezések osztása 133
14. Irracionális kifejezések hatványozása 134
15. Irracionális kifejezések tényezőkre bontása és irracionális
kifejezéseket tartalmazó törtek egyszerűsítése 135
16. Gyökvonás irracionális kifejezésekből 138
17. Tört nevezőjének racionalizálása 138
18. Az irracionális algebrai kifejezések számértéke 142
19. A hatvány fogalmának általánosítása 149
VI. FEJEZET. A MÁSODFOKÚ EGYENLET ÉS IRRACIONÁLIS
EGYENLETEK 162
1. A másodfokú egyenlet 162
2. Irracionális egyenletek 168
Gyakorlatok 171
Egyismeretlenes másodfokú feladatok 174
VII. FEJEZET. KOMPLEX SZÁMOK . . . . . . 176
1. A komplex számtest 176
2. A komplex számtest megszerkesztése a rendezett valós
számpár fogalma alapján 187
3. Valós együtthatós másodfokú egyenlet megoldása a komplex számtesten 190
4. A bikvadratikus egyenlet 193
Gyakorlatok " 194
VIII. FEJEZET. EGYENLETRENDSZEREK 197
1. Két- vagy többismeretlenes valós együtthatós másodfokú
egyenlet megoldása a komplex számtesten 197
2. Valós együtthatós egyenletrendszerek megoldása a komplex számtesten 198
3. Szimmetrikus egyenletrendszerek 204
4. Más egyenletrendszerek 207
5. Háromismeretlenes egyenletrendszerek 211
6. A z2 = A alakú egyenletek megoldása a komplex számtesten . 214
Gyakorlatok és feladatok 217
Útmutatások és eredmények 220
Második rész. MÉRTAN
BEVEZETÉS 237
I. FEJEZET. AZ ÁLTALÁNOS ISKOLÁBAN TANULT EGYES
ISMERETEK ISMÉTLÉSE 242
1. Vonalak, sokszögek . 242
2. A szögek 245
3. A háromszög 253
A háromszögek osztályozása. A háromszögek nevezetes
vonalai . 253
Az egyenlő szárú és az egyenlő oldalú háromszög tulajdonságai 256
Az általános és derékszögű háromszögek egybevágósági esetei 257
Alkalmazások 261
Feladatok 264
II. FEJEZET. HÁROMSZÖGEK 267
1. Külső szög 267
2. összefüggések a háromszög oldalai és szögei között . . 268
3. Háromszögek, amelyeknek két-két megfelelő oldala egyenlő, az általuk bezárt szög pedig különböző 271
Alkalmazások 273
Feladatok 274
III. FEJEZET. PÁRHUZAMOS EGYENESEK 276
1. A párhuzamossági axióma 276
2. Két egyenesnek egy szelővel való metszésekor keletkezett
szögek 277
3. Párhuzamos és merőleges szárú szögek 280
4. A háromszög szögeinek összege. Konvex sokszögek szögeinek összege. 283
Alkalmazások 285
Feladatok. . 286
IV. FEJEZET. MÉRTANI HELYEK 289
1. Néhány nevezetes mértani hely 289
2. A háromszög oldalfelező merőlegeseinek és szögfelezőinek
tulajdonságai 293
3. Mértani szerkesztések 296
Feladatok . 298
V. FEJEZET. A NÉGYSZÖGEK 300
1. Az egyenlő közű négyszög 300
2. A háromszög magasságvonalai 304
3. A rombusz, a téglalap és a négyzet 305
. 4. A trapéz 309
Alkalmazások 311
Feladatok 313
VI. FEJEZET. A KÖR 316
1. A kör és egyenes kölcsönös helyzete. Érintő 316
2. Az átmérő, a húr és a körív . . 319
3. Két kör kölcsönös helyzete 324
Alkalmazások 328
4. Kerületi szögek. Szögek, melyeknek csúcsa a körön belül,
illetve a körön kívül fekszik 330
5. Adott szöget befogadó körív. Körbeírható négyszögek 333
Alkalmazások 337
6. Szabályos sokszögek 340
7. Érintők a körhöz . 342
Feladatok 345
VII. FEJEZET. PONTTRANSZFORMÁCIÓK 351
1. Vektorok. Vektorösszeg 351
2. A transzláció (párhuzamos eltolás) 353
3. Pont körüli forgatás 357
4. Pont szerinti szimmetria 359
5. Tengely szerinti szimmetria 360
Alkalmazások 364
Feladatok 366
VIII. FEJEZET. ARÁNYOS SZAKASZOK 369
1. Arányos szakaszok. Szakasz felosztása adott arányban 369
2. Thalész tétele 373
3. A szögfelezők tétele és fordított tételei 376
Alkalmazások 378
Alkalmazás mértani szerkesztésekre 380
Feladatok 381
IX. FEJEZET. SOKSZÖGEK HASONLÓSÁGA 384
1. A hasonlóság alaptétele 384
2. A háromszögek hasonlósági esetei 386
Sajátos háromszögek hasonlósága 389
3. A háromszög és a trapéz középvonala. Az oldalfelezők
tulajdonságai 391
4. Sugársor 394
5. A pont körre vonatkozó hatványa 396
6. Hasonló sokszögek . . . . . 398
Alkalmazások . 401
A hasonlóság gyakorlati és technikai alkalmazásai . . 405
Feladatok 410
X. FEJEZET. METRIKUS ÖSSZEFÜGGÉSEK A HÁROMSZÖGBEN 418
1. Metrikus összefüggések a derékszögű háromszögben . . 418
2. Metrikus összefüggések az általános háromszögben ... 421
Alkalmazások 423
Feladatok 426
XI. FEJEZET. TERÜLETEK 429
1. A terület fogalma 429
2. A téglalap területe 430
3. Más sokszögek területe (paralelogramma, háromszög,
rombusz, trapéz) 432
4. Szabályos sokszögek területe. A kör területe 437
5. A háromszögbe és a háromszög köré írt kör sugara . . 439
6. Két hasonló sokszög területének aránya 440
Alkalmazások 442
Feladatok 446
ÖSSZEFOGLALÓ FELADATOK 450
Útmutatások és eredmények 462
Szakirodalom 489-494

Témakörök