Matematika I.

Tartalom

ELŐSZÓ 3
Bevezetés: A MATEMATIKA TÁRGYA ÉS MÓDSZERE 5
*1. A matematika tárgya 3
*2. A fogalmak kialakítása a matematikában 7
*3. Az ítéletek kialakítása a matematikában 9
*4. A matematikai jelölésmód 11
*5. A matematika kapcsolata a többi tudománnyal és a technikával 11
I. fejezet: HALMAZELMÉLET 14
1. A halmaz fogalma 14
2. Részhalmaz 16
3. Műveletek halmazokkal 13
4. Hatványhalmaz
5. Függvény, leképezés 23
6. Osztályozás 25
II. fejezet: MATEMATIKAI LOGIKA 26
1. Ítélet és logikai értéke 26
2. Logikai műveletek 27
3. A matematikai logika alapazonosságai 30
4. Logikai függvények 33
5. Kvantorok 33
III. fejezet: VEKTORALGEBRA 37
1. A vektor fogalma 37
2. Vektorok összeadása és kivonása 40
3. Vektor szorzása számmal 45
4. Vektorok lineáris kombinációja 48
5. Vektorrendszer lineáris függetlensége 54
6. Vektor koordinátái 57
7. Vektorok skaláris szorzata 61
8. Másod- és harmadrendű determináns 70
9. Vektorok vektori szorzata 72
10. Vektorok vegyes .szorzata 78
IV. fejezet: ANALITIKUS TÉRGEOMETRIA 83
1. Térbeli derékszögű koordináta-rendszer. Geometriai alakzat egyenlete és egyenletrendszere 83
2. Az egyenes egyenletei és egyenletrendszerei 87
3. A sík egyenletei 91
4. Helyzetgeometriai feladatok 94
5. Méretes feladatok 101
V. fejezet: KOMPLEX SZÁMOK 110
1. A komplex szám algebrai alakja 110
2. Binomiális együtthatók, binomiális tétel 117
3. A síkbeli polárkoordináta-rendszer 121
4. A komplex szám trigonometriai alakja 124
VI. fejezet: SOROZATOK 133
1. A sorozat fogalma 133
2. Metrikus tér 138
3. Korlátos halmaz 139
4. Környezet 142
5. Sorozat határértéke, konvergencia 144
6. Műveletek számsorozatokkal 151
7. Valós számsorozatok konvergenciatételei, végtelenhez divergálása 161
8. Nevezetes számsorozatok 168
9. Koordinátákkal adott pontsorozat korlátossága és konvergenciája 177
10. A Bolzano-Weierstrass-tétel 178
11. A Cauchy-féle konvergenciakritérium 184
12. Változó kitevőjű valós számsorozatok 187
VII. fejezet: FÜGGVÉNYHATÁRÉRTÉK ÉS FOLYTONOSSÁG 190
1. Valós függvények megadása 190
2. Függvény határértéke 197
3. Függvény folytonossága 208
4. Egy oldali határérték, egy oldali folytonosság 215
5. Korlátos zárt halmazon folytonos valós függvények tulajdonságai 219
6. Érintő és aszimptota 228
VIII. fejezet: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK ÉS DIFFERENCIÁLÁSUK 237
1. Differenciálhányados és derivált 237
2. Magasabb rendű deriváltak 244
3. A differenciálás általános szabályai 246
4. Összetett függvények 253
5. Görbék érintkezése; simulókör 260
6. Függvény inverze; invertálhatóság és monotonitás 264
IX. fejezet: EGYVÁLTOZÓS VALÓS ELEMI FÜGGVÉNYEK ÉS DIFFERENCIÁLÁSUK 273
1. Elemi függvények 273
2. Racionális egész függvények 274
3. Racionális törtfüggvények 2S1
4. Páros és páratlan függvények 287
5. Trigonometrikus függvények; függvény periódusai 289
6. Logaritmus függvények 297
7. Exponenciális függvények 303
8. Arkusz függvények 306
9. Hiperbolikus függvények 315
10. Area függvények 322
X. fejezet: FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 329
1. Függvény szélsőértékei 329
2. A differenciálszámítás középértéktételei 332
3. A Taylor-formula 333
4. Növekedés, csökkenés és szélsőérték meghatározása a deriváltak segítségével 344
5. Konvexség, konkávság és inflexiós pont meghatározása a deriváltak segítségével 351
6. L'Hospital-szabály 355
7. Paraméteresen adott függvény differenciálása 366
XI. fejezet: HATÁROZATLAN INTEGRÁL 374
1. Primitív függvény, határozatlan integrál 374
2. Alapintegrálok 377
3. Az integrálás általános szabályai 378
4. Parciális integrálás 382
5. Integrálás helyettesítéssel 388
6. Racionális törtfüggvények integrálása 394
XII. fejezet: HATÁROZOTT INTEGRÁL 403
1. A határozott integrál fogalma 407
2. A határozott integrál tulajdonságai 411
3. Folytonos függvények határozott integrálja 418
4. Improprius integrálok 425
5. Területszámítás határozott integrállal 430
6. Térfogatszámítás határozott integrállal 443
7. Ívhosszúság kiszámítása határozott integrállal 447

Témakörök