Matematika I.

Tartalom

Előszó 9
1. A matematika tárgya és módszere 11
1.1. A matematika tárgya 11
1.2. A fogalmak kialakítása a matematikában 12
1.3. Az ítéletek kialakítása a matematikában 15
1.4. A matematikai jelölésmód 17
1.5. A matematika kapcsolata a többi tudománnyal és a technikával 18
2. Halmazelmélet 20
2.1. A halmaz fogalma 20
2.2. Részhalmaz, tartalmazás 22
2.3. Műveletek halmazokkal 23
2.4. Hatványhalmaz 27
2.5. Függvény, leképezés. Halmazok szorzata 29
2.6. Osztályozás 33
3. Matematikai logika 35
3.1. ítélet és logikai értéke 35
3.2. Logikai műveletek 36
3.3. A matematikai logika alapazonosságai 39
3.4. Logikai függvények és kvantorok 41
4. Vektoralgebra 44
4.1. A vektor fogalma 44
4.2. Vektorok összeadása és kivonása 46
4.3. Vektor szorzása számmal 50
4.4. Vektorok lineáris kombinációja és lineáris függetlensége 52
4.5. Vektor koordinátái 59
4.6. Vektorok skaláris szorzata 62
4.7. Másod- és harmadrendű determináns 69
4.8. Vektorok vektori szorzata 71
4.9. Vektorok vegyes szorzata 79
5. Analitikus térgeometria 85
5.1. Térbeli derékszögű koordináta-rendszer 85
5.2. A sík egyenletei 88
5.3. Az egyenes egyenletei és egyenletrendszerei 93
5.4. Helyzetgeometriai feladatok 97
5.5. Távolság- és szögfeladatok 103
6. Komplex számok 111
6.1. A komplex szám algebrai alakja 111
6.2. Binomiális együtthatók, binomiális tétel 117
6.3. A síkbeli polárkoordináta-rendszer 121
6.4. A komplex szám trigonometriai alakja 123
7. Sorozatok 130
7.1. A sorozat fogalma 130
7.2. Metrikus tér és korlátos részhalmazai 133
7.3. Sorozat határértéke; konvergencia 140
7.4. Műveletek számsorozatokkal 145
7.5. Valós számsorozatok konvergenciatételei, végtelenhez divergálása 154
7.6. Nevezetes számsorozatok 162
7.7. Korlátosság és konvergencia az Rk-ban 167
7.8. A Bolzano-Weierstrass-tétel 170
7.9. A Cauchy-féle konvergenciakritérium; irracionális kitevőjű hatvány 173
8. Függvényhatárérték és folytonosság 178
8.1. Valós függvények és szemléltetésük 178
8.2. Függvény határértéke 185
8.3. Függvény folytonossága 194
8.4. Egyoldali határérték, egyoldali folytonosság 199
8.5. Korlátos zárt halmazon folytonos valós függvények tulajdonságai 203
8.6. Érintő és aszimptota 210
9. Egyváltozós valós függvények differenciálása 217
9.1. Differenciálhányados és derivált 217
9.2. Parciális differenciálhányados, parciális derivált 223
9.3. Magasabb rendű deriváltak 227
9.4. A differenciálás általános szabályai 229
9.5. összetett egyváltozós függvények 237
9.6. Görbék érintkezése; simulókör 243
9.7. Invertálhatóság és monotonitás. Függvény inverze 249
9.8. A differenciálszámítás középértéktételei 256
10. Egyváltozós valós elemi függvények és differenciálásuk 262
10.1. Racionális egész függvények 263
10.2. Racionális törtfüggvények 271
10.3. Páros és páratlan függvények 275
10.4. Trigonometrikus függvények; függvény periódusai 276
10.5. Arkuszfüggvények 282
10.6. Logaritmusfüggvények 289
10.7. Exponenciális függvények 294
10.8. Hiperbolikus függvények 298
10.9. Areafüggvények 304
11. Egyváltozós valós függvények menetének vizsgálata 310
11.1. Függvény szélsőértékei 310
11.2. Taylor-formula 313
11.3. Szélsőértékek meghatározása deriváltak segítségével 318
11.4. Konvexség, konkávság és inflexiós pont meghatározása deriváltak segítségével 322
11.5. L'Hospital-szabály 325
11.6. Paraméteresen adott síkgörbék vizsgálata deriváltak segítségével 333
12. Határozatlan integrál 343
12.1. Primitív függvény, határozatlan integrál 343
12.2. Alapintegrálok 347
12.3. Az integrálás általános szabályai 348
12.4. Parciális integrálás 351
12.5. Integrálás helyettesítéssel 356
12.6. Racionális törtfüggvények integrálása 361
13. Határozott integrál 367
13.1. A határozott integrál fogalma 367
13.2. A határozott integrál tulajdonságai 374
13.3. Folytonos függvények határozott integrálja 380
13.4. Improprius integrálok 387
13.5. Területszámítás határozott integrállal 396
13.6. Térfogatszámítás határozott integrállal 408
13.7. ívhosszúság kiszámítása határozott integrállal 412
13.8. Határozott integrál kiszámítása közelítő módszerekkel 418
Név- és tárgymutató 427

Témakörök