Matematika I.

Tartalom

I. fejezet
ARITMETIKAI ÉS ALGEBRAI ALAPISMERETEK
1. A természetes számok. A tízes számrendszer 3
2. Összeadás 4
3. Kivonás. Negatív szám 5
4. Szorzás 7
5. Hatvány 10
6. Osztás 12
7. Összetett szám. Törzsszám 13
8. Legnagyobb közös osztó. Legkisebb közös többszörös 15
9. Többtagú algebrai kifejezések szorzattá alakítása 17
10. Törtek 18
11. A hatványfogalom első bővítése 24
12. Tizedestörtek. Törtek átalakítása tizedestörtekké 25
13. Elsőfokú egyismeretlenes egyenletek 27
14. Elsőfokú függvény
a) Alapfogalmak 36
b) Koordinátarendszer 37
c) Elsőfokú függvények ábrázolása 38
d) Elsőfokú egyismeretlenes egyenletek grafikus megoldása 39
15. Elsőfokú egyenletek két vagy több ismeretlennel
a) Határozatlan egyenlet 40
b) Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer 41
c) Elsőfokú háromismeretlenes egyenletrendszer 48
d) Elsőfokú egyenletrendszerre visszavezethető feladatok 52
16. Gyökvonás
a) A gyökvonás definíciója 53
b) Négyzetreemelés. Négyzetgyökvonás 54
c) Irracionális szám 57
d) Képzetes szám. Komplex szám 58
e) Gyökvonás egytagú kifejezésekből 59
Műveletek gyökökkel 59
17. Másodfokú egyenletek 63
Másodfokú egyenletekre visszavezethető egyenletek 67
Irracionális egyenletek 68
Kétismeretlenes egyenletrendszer, az egyik egyenlet másodfokú, a másik elsőfokú 69
A másodfokú egyenlet grafikus megoldása 71
18. Egyenlőtlenségek
a) Definíció. Jelölések 73
b) Tételek 73
c) Intervallum 76
d) További tételek 77
e) Elsőfokú egyismeretlenes egyenlőtlenségek 78
19. A hatványfogalom második bővítése 81
20. Exponenciális függvény 84
21. Logaritmus
a) Definíció 85
b) A logaritmus függvény 86
c) A logaritmusra vonatkozó azonosságok 87
d) A 10-es alapú logaritmus rendszer 88
e) Logaritmuskeresés négyjegyű logaritmus táblából 90
f) Visszakeresés 92
g) Műveletek logaritmussal 93
h) Logaritmusrendszerek összefüggése 95
22. Logarléc 96
a) Szorzás logarléccel 97
b) Osztás logarléccel 98
c) Reciprok skála 99
d) Szorzás reciprok skálával 99
e) Négyzetreemelés, Köbreemelés 100
f) Logaritmusok leolvasása logarlécről 100
23. Egyszreű exponenciális egyenletek 101
24. Számtani és mértani sorozat
A számsorozatokról általában 101
1. Számtani sorozat 102
a) A számtani sorozat n-edik eleme 102
b) A számtani sorozat tulajdonságai 103
c) Közbeiktatás (interpoláció) 104
d) A számtani sorozat elemeinek összege 105
2. Mértani sorozat
a) A mértani sorozat n-edik eleme 107
b) A mértani sorozat tulajdonságai 108
c) A mértani sorozat elemeinek összege 109
II. fejezet
NUMERIKUS SZÁMOLÁS
1. A numerikus számolás feladatai 112
2. Fejszámolás 113
3. Szorzási és osztási rövidítések 116
4. A közelítő értékek hibája és relatív hibája 117
5. Közelítő értékek összegének hibakorlátja-és relatív hibája 122
6. Szorzat és hányados hibakorlátja és relatív hibakorlátja 125
7. Rövidített szorzás 127
8. Rövidített osztás 129
III. fejezet
SZÁMOLÁS ARÁNYOS MENNYISÉGEKKEL
Egyenes és fordított arányosság 131
Láncszabály 134
Százalékszámítás
a) Alapfogalmak 135
b) A százalékérték kiszámítása 135
c) A százalékláb meghatározása 137
d) Az alapősszeg meghatározása 137
e) Százalékláb és fejlődési együttható 138
f) Százalékok százalékának Kiszámítása 139
g) Százalékok egymásután következő kiszámítása 139
h) Ezrelékszámítás 140
3. Arányos osztás
a) Arányos osztás egyenes arányosság alapján 141
b) Arányos osztás fordított arányosság alapján 142
c) Összetett arányos osztás 143
4. Keverékszámítás
a) Átlagárszámítás 144
b) A keverési arány megállapítása 145
c) A keverendő áru mennyiségének vagy értékének 'kiszámítása" 146
5. Kamatszámítás
a) Alapfogalmak 147
b) Kamat évre, hónapra, napra 147
c) Az alapösszeg meghatározása 150
d) A napok számának meghatározása 151
e) A kamatláb meghatározása 151
IV. fejezet
A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI
1. Alapfogalmak 153
2. Számtani (aritmetikai) átlag
a) A számtani átlag definíciója 156
b) A számtani átlag tulajdonságai 156
c) A számítás technikája 159
d) Kronologikus átlag 161
e) Az átlagok kapcsolása
3. Harmonikus átlag
a) A harmonikus átlag definíciója 164
b) Milyen átlagot használjunk? 165
c) Az átlagok kapcsolása 167
4. Mértani (geometriai) átlag
a) A mértani átlag definíciója 168
b) Az átlagos fejlődési együttható 169
c) Az átlagok kapcsolása 170
5. Az átlagok nagyságrendje 171
6. A médián és a quartilisek
a) Médián 173
b) A quartilisek 174
7. A modus 175
8. A szóródás mérése 177
a) A variációs köz 177
b) Quartilis-eltérés 177
c) Középeltérés 178
d) Szórás 178
e) Relatív mérőszámok 181
9. A szimmetria és mérése 182
V. fejezet
KOMBINATORIKA
Bevezető 186
1. Permutációk 186
2. Variációk 190
3. Kombinációk 193
4. A kombinációs számok tulajdonságai 196
5. A binomiális tétel 198
6. A binomiális együtthatók 201
7. Az átlagok nagyságrendje 202
8. Magasabbrendű- számtani sorozatok 204
9. Stirling formulája 207
VI. fejezet
GEOMETRIAI ALAPISMERETEK
1. Síkmértani alapfogalmak
a) A pont 210
b) A vonal 210
c) A szög 211
d) A síkidomok osztályozása 213
e) Az egybevágóság 214
f) Távolságok aránya 216
g) Hasonlóság 217
h) A mértani hely fogalma 218
2. Trigonometria
a) A derékszögű háromszög 219
b) Arányos távolságok a derékszögű háromszögben 220
c) Pythagoras tétele 221
d) Szögek és oldalak közötti összefüggés 222
e) A hegyesszög függvényei 223
f) Összefüggések a szögfüggvények között 223
g) Két szög összegének és különbségének szögfüggvényei 226
h) A szögfüggvények táblázatának használata 228
i) A derékszögű háromszög alkotórészeinek kiszámítása 229
j) 90°-nál nagyobb szögek függvényei 231
k) Az általános háromszögekre vonatkozó tételek és feladatok 234
3. Síkidomok kerülete és területe 237
a) Parallelogrammák kerülete és területe 237
b) Háromszögek kerülete és területe 239
c) A trapéz területe 240
d) Sokszögek kerülete és területe 241
e) A kör és részeinek kerülete és területe 242
f) A területek aránya 244
4. Testek felszíne és térfogata 245
a) A hasáb felszíne és térfogata 245
b) Térfogatok aránya 246
c) A gúla és a csonkagúla felszíne és térfogata 247
d) A henger felszíne és térfogata 248
e) A kúp és a csonkakúp felszíne és térfogata 249
f) A gömb és részeinek felülete és köbtartalma 250
g) A térfogatmeghatározás fizikai módszerei 252
5. A sík analitikus geometriája
1. A pont helyzete a síkban 253
2. A koordináták transzformációja (átalakítása) 254
3. Egyenes szakasz 257
4. A háromszög területe 258
5. Az egyenes egyenlete 259
6. Két egyenes kölcsönös helyzete 262
8. A kör 263
9. Az ellipszis 264
10. A hiperbola 266
11. A parabola 269
12. A másodrendű görbék összefoglalása (kúpszeletek) 271
VII. fejezet
ELEMI FÜGGVÉNYEK
1. Összefüggő mennyiségek és grafikus ábrázolásuk 274
2. Függvények jelölése. Értelmezési tartomány 275
3. Páros és páratlan függvények 276
4. Inverz függvények 276
5. Arcus függvények 277
6. A függvények osztályozása 278
7. Az implicit és az összetett függvény 280
8. Függvények menetének vizsgálata 281
9. A független változó lineáris transzformációja 283
10. Többváltozós függvények fogalma 284
VIII. fejezet
BEVEZETŐ A NOMOGRÁFIÁBA
1. A nomográfia feladata 285
2. Görbe-sereges nomogrammok egyenletes számskálával
1. Összeadás-kivonás 285
2. Szorzás-osztás 287
3. Hatványozás, gyökvonás, logaritmuskeresés 288
3. A beosztás megváltoztatása (átskálázás) 290
4. Nem egyenletes beosztások
1. Négyzetes beosztás 291
2. Logaritmikus beosztás 291
5. Görbesereges nomogrammok nem egyenletes számskálával
1. Csak az egyik tengely skálája nem egyenletes 291
2. Egyik tengely skálája sem egyenletes 293
6. Pontsoros nomogrammok
1. Összeadás-kivonás 296
2. Szorzás-ósztás 300
7. Nomogrammok kapcsolása 302
IX. fejezet
A DIFERENCIÁLSZÁMITÁS ELEMEI
A) Határértékek
1. Sorozatok határértéke 306
a) Végtelen mértani sorozat 306
b) Végtelen sorozatok határértéke 310
c) Műveletek sorozatokkal 312
2. Függvények határértéke
a) Példák függvényhatárértékekre 318
b) A függvényhatárérték és a függvény folytonosságának értelmezése 319
c) A folytonos függvények néhány tulajdonsága 320
d) Műveletek határértékekkel 320
e) Egy nevezetes határérték és a alakú határértékek 321
B) Differenciálhányados
1. A diffrenciálhányados fogalma 323
2. Differenciálási szabályok
a) Konstans differenciálása 325
b) Összeg differenciálása 326
c) Szorzat differenciálása 326
d, y=xn differenciálhányadosa, ha n pozitív egészszám 327
e, 1:f (x) differenciálása 328
f) Hányados differenciálása 328
g) Negatív egész kitevőjű hatvány differenciálása 329
h) Összetett függvény differenciálása 239
i) Implicit függvény differenciálása 330
j) Törtkitevőjű hatvány differenciálása 330
k) Inverz függvény differenciálása 331
3. A logaritmus differenciálhányadosa 331
5. Logaritmikus differenciálás 334
6. Trigonometrikus függvények differenciálása 335
7. Magasabb differenciálhányadosok 337
8. A differenciálhányados geometriai jelentése 337
C) Függvényvizsgálat
1. A függvény viselkedése egy hely környezetében 341
2. Szélső értékek 342
3. A függvénygörbe alakja 343
4. A differenciálszámítás középértéktétele 345
D) Függvények sorbafejtése
1. Polinomok Maclaurin- és Taylor-féle alakja 345
2. Taylor-formula a Lagrange-féle maradéktaggal 348
3. Néhány függvény Taylor-sora 352
X. fejezet
AZ INTEGRÁLSZÁMÍTÁS ELEMEI
1. Az integrál fogalma 357
2. Az integrál tulajdonságai 359
3. Határozatlan integrál 362
4. Határozott integrál kiszámítása határozatlan integrál segítségével 363
5. Parciális integrálás 364
6. Integrálás helyettesítéssel
a) Határozatlan integrál 365
b) Határozott integrál 366
7. Improprius integrálok 368
XI. fejezet
A DIFFERENCIÁL- ÉS INTEGRÁLSZÁMÍTÁS NÉHÁNY ALKALMAZÁSA
1. Egyenletek közelítő megoldása
a) A gyökök elkülönítése 371
b) Húr módszer 372
c) Érintő módszer 373
2. Wallis formulája 375
3. A Gauss-féle hibaintegrál 377
4. A Stirling formula 380
XII. fejezet
Valószínűségszámítás
1. A valószínűség fogalma 382
2. Az eseményalgebra elemei 385
3. A valószínűségszámítás alaptételei 388
4. A valószínűség kiszámításának klasszikus módszere 389
5. Feltételes valószínűség 397
6. Független események 401
7. Valószínűségi változók 404
8. Valószínűségi eloszlások 409
a) Egyenletes eloszlás 409
b) Binomiális eloszlás 409
c) Poisson-eloszlás 410
d) Normális eloszlás 410
9. A várható érték és szórás 418
a) Várható érték 418
b) A szórás 421
10. A nagyszámok törvénye 424
11. A momentumok 427
12. Kétméretű eloszlások 431
13. Vázlatos történeti áttekintés 439
XIII. fejezet
TÁBLÁZATOK
1. Matematikai állandók 443
2. Görög betűk 443
3. Négyjegyű logaritmus-táblázat 444
4. Szögfüggvények értékei 446
5. Fontosabb mértékegységek 447
6. Fajsúlyok 447
7. Négyzetek, köbök, négyzetgyökök, köbgyökök és reciprok értéke 448
8. Szögmértékek átszámítása 450
9. A normális eloszlás sűrűségfüggvénye és eloszlásfüggvénye 451

Témakörök