Matematika I.

Tartalom

I. A valós számok..........................................................3
1. A természetes számok...........................................3
2. A halmazelmélet alapfogalmai ............................................5
3. A természetes számok halmaza. A teljes indukció ..........10
4. A racionális számok..........................................11
5. A hatványozás, a gyökvonás és a logaritmus ....................12
6. Egyenlőtlenségek.......................................14
7. Egyenlőtlenségek megoldása.............................16
8. Az irracionális számok............................................................22
9. Számsorozatok, határérték......................................................26
10. Intervallum, környezet ............................................................29
11. A sorozat határértéke..................................30
12. Sorozatokra vonatkozó tételek ..............................................34
13. Néhány fontos határérték.....................................40
14. A tízes számrendszer...................................................44
15. A kettes és a nyolcas számrendszer ...........................47
16. Számok átírása az egyik helyértékes számrendszerből a másikba ................. 51
17. Az elektronikus digitális számítógép ................ 57
II. A komplex számok ............... ..............................65
1. Struktúra .....................................................................................65
2. A komplex számok.......................................66
3. Alapműveletek komplex számokkal........ ..........................67
4. A komplex számok algebrai alakja.....................70
5. A komplex számok trigonometrikus alakja ................73
6. Gyökvonás komplex számokból. Binom egyenletek ..............78
7. A komplex szám exponenciális alakja ..................83
8. Algebrai egyenletek.....................................84
9. összefoglalás ............................ 90
Függvények............................................94
1. A függvény fogalma................................94
2. Paraméteres függvénykapcsolat.................. 101
3. Valós függvények................................104
4. A függvény határértéke.....................................108
5. Néhány határérték meghatározása.......................118
6. Folytonos függvények.....................................120
7. Koordináta-rendszerek................................129
8. A változók transzformációja................................................133
9. Racionális egészfüggvények..................................................137
10. Interpoláció.......................................................145
11. Racionális törtfüggvények ...............................................153
12. Irracionális függvények ......................................158
13. A trigonometrikus függvények és az arcus függvények ......162
14. Az exponenciális és a logaritmus függvények.........173
15. A hiperbolikus függvények és az area függvények .... 179
16. Néhány fontos görbe.....................................187
17. Összefoglalás...................................... 202
IV. Differenciálszámítás .................................... 204
1. A differenciálhányados fogalma. A differenciálhányados függvény.........204
2. Általános differenciálási szabályok..........................212
3. Az elemi függvények differenciálhányadosai..................221
4. Differenciálási eljárások....................................................235
5. Függvény differenciálja........................................................238
6. Magasabbrendű differenciálhányadosok..............................242
V. A differenciálszámítás alkalmazásai ......................247
1. A differenciálszámítás középértéktétele ............247
2. A Taylor-formula ............................................... 251
3. Néhány elemi függvény Taylor-polinomja.............257
4. Határozatlan alakok............................... 262
5. A függvénygörbe vizsgálata.......................266
6. Egyenletek közelítő megoldása......................286
VI. A határozatlan integrál................................ ..293
1. A primitív függvény.......................................293
2. Alap integrálok..........................................................................295
3. A határozatlan integrál tulajdonságai............................297
4. Integrálás helyettesítéssel..............................298
5. Parciális integrálás ..............................................................302
6. Parciális integrálás. Rekurziv integrálok ....................306
7. Racionális függvények integrálása ....................................312
8. Irracionális függvények integrálása................................324
9. Trigonometrikus függvények integrálása ..........................331
10. Arcus függvények integrálása ..............................................339
11. Exponenciális és logaritmikus függvények integrálása 340
12. Hiperbolikus függvények integrálása.................343
13. Az integrációs eljárások korlátai ....................................344
VII. A határozott integrál.................................. 346
1. Végtelen sorok............................................................................346
2. A határozott integrál fogalma..............................................357
3. A határozott integrál tulajdonságai ........................361
4. A határozott integrál és a primitiv függvény kapcsolata ...............364
5. A határozott integrál kiszámítása parciális integrálással és helyettesítéssel ....369
6. Az integrálszámítás középértéktétele ................................378
7. Improprius integrálok..............................................................381
8. Az improprius integrálok egzisztenciája ..........................385
VIII. Az integrálszámítás alkalmazásai ...................... 392
1. Síkbeli tartomány területe......................... 392
2. Görbe Ívhossza............................................................................403
3. Forgástest térfogata ............. ......................................412
4. Forgástest palástjának a felszíne ......................................416
5. Az elemek összegezésének módszere .............................423
6. A mechanikai munka................................ 425
7. Statikai nyomaték és súlypont meghatározása..................430
8. Tehetetlenségi nyomaték meghatározása ..............................440
9. Néhány példa az integrálszámítás egyéb alkalmazására 444
IX. A differenciál- és integrálszámítás numerikus és grafikus módszerei.......451
1. Bevezetés ........................................... 451
2. Grafikus differenciálás ............................. 451
3. Numerikus differenciálás ............................ 452
4. Grafikus integrálás ................................. 454
5. Numerikus integrálás................................456
X. Függvénysorok............................................461
1. Függvénysorok konvergenciája és egyenletes konvergenciája ............. 461
2. Egyenletesen konvergens függvénysorok...............464
3. Hatványsorok........................................470
4. Hatványsorok konvergenciája.........................471
5. A hatványsorok differenciálása és integrálása .......473
6. Hatványsorok és a Taylor-tétel ......................475
7. Példák hatványsorokra...............................476

Témakörök