Matematika I/2.

Tartalom

A HALMAZELMÉLET ELEMEI 7
1. A halmaz fogalma 7
2. Megszámlálható halmazok. Számosság 7
3. Rendezett halmazok 10
4. Valós számok halmaza (Intervallum, környezet, torlódási hely stb.) 10
5. Számhalmazokra vonatkozó tételek 13
B) A VÁLTOZÓ, ÉS A VÁLTOZÁS FOGALMA 14
(Változó, határérték, végtelen kicsiny, végtelen nagy, sorozat) 14
A FÜGGVÉNY FOGALMA 16
1. Változó mennyiségek fogalma 16
2. Dirichlet-féle függ vényfogalom 16
3. A függvénykapcsolat megadási módja 17
4. Műveletek függvényekkel 19
5. Egyváltozós függvények ábrázolása 20
6. Műveletek útján nyert függvények ábrázolása 21
D) FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE. SOROZATOK 22
1. Bevezetés feladatok kapcsán 22
2. Véges határérték 24
3. Végtelen határérték 26
4. Sorozat és határértéke 26
5. Monoton sorozatok 26
6. Véges határértékre vonatkozó tételek 27
7. Végtelen határértékre vonatkozó tételek .. 27
8. Néhány nevezetes határérték 27
9. Ganchy-féle kritérium 30
10. Jobb és bal oldali határérték 30
11. Korlátos függvények 31
12. Határérték geometriai alkalmazásai. (Érintő
és őrület definíciója) 31
B) FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK 33
1. A független változó és a függőváltozó növekménye 33
2. A folytonosság 33
3. Szakadási helyek 34
4. Adott helyen folytonos függvényekre vonatkozó tételek 35
6. Zárt intervallumban folytonos függvények tulajdonságai 35
6. A függvények növekedése, csökkenése. Monoton függvények 36
7. A függvény speciális tulajdonságai 37
8. Inverz függvény 37
9. Feladatok 38
ELEMI FÜGGVÉNYEK 39
1. Egész kitevőjű hatványfüggvény 39
2. Egyszerű eljárások a függvénygörbék megrajzolásához. (Függvénytranszformációk) 40
3. Polinom vagy racionális egész függvény 42
A) Definíció és tulajdonságok. Helyettesítési érték kiszámítása 42
B) Polinom valós gyökeinek közelítő meghatározása 45
C) A racionális egész függvény viselkedése s az aszimptotája 47
D) Összefoglalás 48
94. Racionális törtfüggvény 48
A) Tulajdonságok és ábrázolás 48
B) Racionális törtek rész (parciális) törtekre bontása 61
6. Racionális kitevőjű hatványfüggvény. Irracionális függvény 53
6. Exponenciális függvény 54
7. Logaritmusfüggvény 55
8. Tetszőleges valóé kitevőjű hatványfüggvény 56
9. összetett exponenciális függvény 56
110. Trigonometrikus függvények és alkalmazásaik (harmonikus rezgések) 56
Ciklometrikus vagy areus függvények 59
12. Hiperbolikus függvények 61
13. Az area függvények 63
14. Elemi függvények osztályozása 64
15. Függvénytulajdonságok alapján történő ábrázolás összefoglalása 64
116. Gyakorló feladatok 65
117. Függvények megközelítése polinomokkal.
(Lineáris és parabolikus interpoláció) 66
MŰSZAKILAG FONTOS GÖRBÉK 67
1. Cikloisok 68
U. Az epiciklois 69
3. A hipociklois 69
4. Speciális esetek. (Szív- és csillaggörbék!) ... 69
6. A Huyghens-féle húzógörbe (TRAKTRIX) . 70
6. A kőrevolvens 70
FELADATOK A FÜGGVÉNYEKKEL KAPCSOLATBAN 71
A) Függvény fogalma, megadási módja és ábrázolása 71
1. Valós számhalmaz. Intervallum 71
2. A függvény helyettesítési értéke és megadási módja 72
3. Szakaszonként egyenes vonalú függvények ábrázolása 73
4. összeadás, kivonás, szorzás és osztás útján származtatott és összetett függvények ábrázolása grafikus eljárásokkal 74
6. Ábrázoljuk függvénytranszformációk segítségével a következő függvényeket 74
Határérték- (limes)feladatok 75
1. Egyszerűbb függvények határértéke 75
2. Néhány függvénytípus határértékének kiszámítása, algebrai átalakításokkal 78
3. Sorozatok határértéke 78
4. Határérték feladatok a „nevezetes határértékek" felhasználásával 81
5. Egyoldali határértékek számítása 83
6. Vegyes határérték feladatok 84
C) Racionális egész függvények 86
1. Technikai parabola 86
2. Racionális egész függvény helyettesítési értékének és zéró helyeinek meghatározása 86
3. Polinomok görbéjének vázolása 88
Vegyes feladatok 89
D) Racionális törtfüggvények 89
Vegyes feladatok 91
E) Irracionális függvények vázolása 91
F) Exponenciális és logaritmusfüggvények 93
Q) Trigonometrikus és arcus függvények 95
H) Hiperbolikus függvények és inverzeik 97
1) Függvények megadása polárkoordináta-rendszerben 99
J) Feladatok a lineáris és parabolikus interpolációra (ELSŐRENDŰ ÉS MÁSODRENDŰ INTERPOLÁCIÓ) 100
K) A függvények jelentőségét szemléltető néhány gyakorlati feladat 101

Témakörök