Matematika/Érettségi matematikai összefoglaló/Matematika

Tartalom

Matematika
ELSŐ FEJEZET
ANALITIKUS (KOORDINÁTA-) GEOMETRIA
I. A pont
1. Derékszögű koordináták 3
2. Két pontnak egymástól való távolsága 5
3. Valamely távolságot m : n arányban osztó pontnak koordinátái 6
4. A háromszög területe 7
II. Az egyenes
1. A kezdőponton áthaladó egyenes egyenlete 9
2. Az egyenes egyenletének iránytényezős alakja 10
3. Az egyenes egyenletének tengelymetszetes alakja 11
4. Az egyenes és á két ismeretlent tartalmazó elsőfokú egyenlet 12
5. Adott ponton átmenő és adott irányban haladó egyenes egyenlete . . . ... . . . 13
6. Két adott ponton átmenő egyenes egyenlete 14
7. Két egyenes által közbezárt szög 15
8. Két egyenes metszéspontja 16
9. Adott ponton átmenő és adott egyenessel párhuzamos vagy
adott egyenesre merőleges egyenes egyenlete . . ... 17
10. Pontnak távolsága egyenestől . . . . 18
11. A háromszög három nevezetes pontja 18
III.. .A kör
1. Általános és középponti helyzetű kör egyenlete 21
2. A kör és a két ismeretlent tartalmazó másodfokú egyenlet 22
3. Kör és egyenes metszéspontjai . . . . 24
4. A kör érintője 25
IV. Az ellipszis
1. Az ellipszis és szerkesztése 26
2. A középponti helyzetű ellipszis egyenlete 27
3. A csúcsponti helyzetű ellipszis egyenlete 30
4. Az ellipszis szerkesztése a tengelyek segítségével 31
V. A hiperbola
1. A hiperbola és szerkesztése . 32
2. A középponti helyzetű hiperbola egyenlete 33
3. A hiperbola aszimptótai 35
4. A csúcsponti helyzetű hiperbola egyenlete 37
VI. A parabola
1. A parabola és szerkesztése 38
2. Csúcsponti helyzetű parabola egyenlete 38
MÁSODIK FEJEZET
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
I. A görbe érintője. A differenciálhányados fogalma
1. A parabola érintője . .41
2. A differenciálhányados . 45
3. A szabadon eső test sebessége . .
II. A differenciálhányados kiszámítása. A függvény menetének vizsgálata
1. Az y == x, y = állandó, y=x2 függvények differenciálhányadosa . . . . . . 50
2. Számolás abszolút értékekkel 52
3. Változó hatványainak differenciálhányadosa . . . . . . 53
4. Maximális térfogatú vályú készítése 55
0. Maximális térfogatú henger készítése . 57
6. Állandóval szorzott függvény differenciálhányadosa . . . 62
7. Függvények összegének és különbségének differenciálhányadosa 64
8. Harmonikus rezgőmozgás sebessége, sin x és cos x differenciálhányadosa . . . . . . . . 65
9. Asztal maximális megvilágítása . 69
10. Példák szorzat differenciálhányadosára . . 71
11. Függvények szorzatának differenciálhányadosa 73
12. A tgx függvény differenciálhányadosa . 74
13. A változó negatív egész hatványainak differenciálhányadosa . .. . . . . . . 76
14. Példák függvények hányadosának differenciálására ... 77
15. Az y= x függvény differenciálhányadosa 81
16. Tükrözés az y = x egyenesen. Az y = nx függvények differenciálhányadosának meghatározása 84
17. Példák közvetett függvények differenciálhányadosára ... 86
18. Függvények menetének vizsgálata. Függvények szélső értékei (összefoglalás) ..89
HARMADIK FEJEZET
INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
I. A határozott integrál és alkalmazásai
1. Rúgó megnyújtásakor végzett munka 98
2. A parabola alatti terület kiszámítása 100
3. Az egyenes körkúp és a gömb térfogata 104
4. A határozott integrál 106
5. Gravitációs munka kiszámítása . . . 110
II. A primitív függvény (határozatlan integrál) és alkalmazása határozott integrálok kiszámítására
1. A határozott integrál kiszámítása a primitív függvény segítségével 113
2. Néhány egyszerű függvény primitív függvénye (határozatlan integrálja) 116
3. Néhány terület kiszámítása a primitív függvény segítségével . . 117
4. Összeg (különbség) és állandóval szorzott függvény integrálja 119
III. A határozott integrál alkalmazásai
1. Térfogatszámítás . . . .119
2. Forgástestek térfogata 121
3. Homogén, vékony drót tehetetlenségi nyomatéka 124
4. Hidrosztatikai nyomóerő kiszámítása 125
5. Homogén, egyenes körkúp súlypontja 129
NEGYEDIK FEJEZET
TESTMÉRTAN. TESTEK FELSZÍNE ÉS TÉRFOGATA
I. Euler tétele
1. A testek osztályozása 133
2. Egyszeresen összefüggő idom és hálózat 134
3. Euler tétele 136
a) Középponti vetítés 136
b) Euler tétele . 137
4. A szabályos testek fogalma és száma 138
5. A szabályos testek hálózata . . . 142
6. A szabályos testek középportja . . .143
II. Hasáb és henger
1. A hasáb származtatása és síkmetszetei . . .144
2. Az egyenlőközű hatlap (parallelepipedon) .145
3. Az egyenes hasáb felszíne ... . . . . .146
4. A tégla köbtartalma .. . 148
5. A romboidalapú egyenes hasáb köbtartalma 150
6. A háromoldalú egyenes hasáb köbtartalma .151
7. Az n-oldalú egyenes hasáb köbtartalma .151
8. A ferde hasáb köbtartalma 152
9. A henger származása és síkmetszetei . . .154
Az egyenes henger palástja és felszíne 156
A henger köbtartalma 158
III. Gúla, csonkagúla, kúp és csonkakúp
1. A gúla származtatása, síkmetszetei 159
2. A gúla felszíne 161
3. A csonkagúla származtatása ... . . .162
4. A csonkagúla felszíne . . . 163
5. A csonkagúla köbtartalma 164
6. A kúp származtatása és síkmetszetei 167
7. Az egyenes kúp palástja és felszíne . . .170
8. A csonkakúp származtatása és síkmetszetei 171
9. Az egyenes csonkakúp palástja és felszíne 171
10. A csonkakúp köbtartalma. . . .172
IV. A gömb
1. A gömb származtatása és síkmetszetei 174
2. A gömbi távolság . 176
3. A gömbszög . . . .. 177
4. A gömbkétszög .178
5. A gömbháromszög . 178
6. A gömb felszíne 179
7. A gömbkétszög felszíne 180
8. A gömbháromszög felszíne 180
9. A gömbcikk köbtartalma . . . . .182
ÖTÖDIK FEJEZET
A SZÁMKÖR FELÉPÍTÉSE
I. A valós számkör
1. Távolságmérés, a valós szám 185
2. Irracionális számok 186
3. Nem szakaszos tizedestörtek 187
II. A komplex számok
1. A másodfokú egyenlet gyökeinek szimmetrikus függvényei 188
2. A komplex szám bevezetése és ábrázolása 190
3. Komplex számok összeadása és kivonása 192
4. Komplex számok szorzása 144
5. Komplex számok osztása. Reciprok érték. Konjugált komplex számpárok 195
6. A komplex számok köre, mint a valós számkör kibővítése 199
7. Komplex számok hatványozása. Az i hatványai 202
8. Gyökvonás. Binom-egyenlet 203
9. Egységgyökök. Szabályos sokszögek 206
PÉLDATÁR
ELSŐ FEJEZET
ANALITIKUS (KOORDINÁTA) GEOMETRIA
I. A pont
1. A pont koordinátái. . . . . 209
2. Két pontnak egymástól való távolsága .. 209
3. Valamely adott távolságot bizonyos arányban osztó pontnak koordinátái .. 210
4. A háromszög területe .211
II. Az egyenes
1-4. Az egyenes egyenlete .212
5-6. Egy vagy két adott ponton átmenő egyenes egyenlete 213
7. Két egyenes hajlásszöge 214
8. Két egyenes metszéspontjának koordinátái 215
9. A párhuzamos és merőleges egyenesek 216
10. Adott pontnak távolsága egyenestől 218
III. A kör
1. A kör egyenlete 218
2. A kör szelője. A kör érintője 219
IV. Az ellipszis
1. Az ellipszis egyenlete . . 221
V. A hiperbola
1. A hiperbola egyenlete 222
VI. A parabola
1. A parabola és az egyenes 223
MÁSODIK FEJEZET
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
1. A differenciálhányados kiszámítása 224
2. Állandóval szorzott függvény, összeg és különbség differenciálhányadosa 224
3. A sinx és cosx differenciálhányadosa 225
4. Függvények szorzatának differenciálhányadosa . . . . . 225
5. Függvények reciprok értékének és hányadosának differenciálása 225
6. Gyök differenciálhányadosa 226
7. Közvetetett függvények differenciálhányadosa . . . . . 226
8. Függvények menetének vizsgálata. Szélső értékek 228
HARMADIK FEJEZET
INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
1. Területszámítás 233
2. Függvények primitív függvényének meghatározása 234
3. Köbtartalomszámítás . 234
NEGYEDIK FEJEZET
TÉRMÉRTAN
TESTEK FELSZÍNE ÉS TÉRFOGATA
I. Számolási feladatok a szabályos testek köréből . 236
II. Hasáb és henger
1. A hasáb . 237
2. A henger . .. . 242
III. Gúla, csonkagúla, kúp és csonkakúp
1. A gúla 248
2. A csonkagúla 253
3. A kúp 255
4. A csonkakúp 260
IV. A gömb
1. A gömbtávolság . . 263
2. A gömbkétszög és gömbháromszög felszíne 264
3. A gömb felszíne és köbtartalma. 265
4. A gömbréteg köbtartalma 271
5. A gömbszelet köbtartalma 272
6. A gömbcikk köbtartalma 273
ÖTÖDIK FEJEZET
A SZÁMKÖR FELÉPÍTÉSE
Komplex számok 276

Érettségi matematikai összefoglaló
I. Számok és műveletek 5
1. Számfajták. Számrendszerek 5
2. Műveletek és tulajdonságaik a természetes számok körében 9
3. Számelméleti alapfogalmak 18
4. Törtek 25
5. Tizedestörtek. Százalékszámítás 36
6. Negatív számok 44
7. A komplex szám fogalma 55
II. Függvények 58
1. A függvény és matematikai kifejezésmódjai 58
2. Az y = ax és y = a/x függvény és alkalmazásaik 68
3. A lineáris és exponenciális függvény és alkalmazásaik. (Számtani és mértani sorozat) 72
4. A logaritmusfüggvény és alkalmazásai 77
III. Algebrai kifejezések azonos átalakításai 82
1. Algebrai kifejezések 82
2. Műveletek racionális egész kifejezésekkel 88
3. Műveletek racionális tört kifejezésekkel 96
4. Gyökös kifejezések azonos átalakításai 100
IV. Egyenletek 105
1. Az egyenletek általános értelmezése. Egyenértékűség 105
2. Első- és magasabbfokú algebrai egyenletek megoldása 114
3. Egyenletrendszerek 122
V. Geometria 127
1. A sík- és térgeometria alapvető alakzatai 127
2. Mértani helyek és alkalmazásaik 137
3. Szimmetria 145
4. Egybevágóság 149
5. Hasonlóság 153
6. Területszámítás 157
VI. Trigonometria 168
1. Derékszögű háromszögek megoldása 168
2. Összetett feladatok visszavezetése derékszögű háromszögek megoldására 172
3. A sinus- és cosinus-tétel alkalmazásai. (Az általános háromszög megoldása. Összetett feladatok) 176
4. A szögfüggvények értelmezésének kiterjesztése 179
5. Összefüggések különböző szögek szögfüggvényei között 183
VII. Analitikus (koordináta-) geometria 187
1. Pont és egyenes 188
2. Távolságok. Kör 193
3. Ellipszis és hiperbola 196
4. Parabola 201

Matematika
A nehezebb anyagrészeket apró betűvel (petit-tel) szedtük, a nehezebb
feladatokat *-gal jelöltük.
I. FÜGGVÉNYEK
1. Értelmezési tartomány és értékkészlet 5
2. A függvények menetének vizsgálata 11
Növekedés, fogyás, szélsőérték 11
Szakadásos és periodikus függvények. Aszimptota 22
3. A függvények meghatározása . 33
A függvények meghatározásának módjai 33
A függvényfogalom pontos értelme 38
4. Függvénytranszformációk 40
A függvényérték transzformációja 41
A változó transzformációja 44
5. Szélsőértékek kiszámítása 50
A számtani és mértani közép viszonyának felhasználása 50
Másodfokú függvények szélsőértéke 59
Példa szögfüggvény szélsőértékének meghatározására 62
Összefoglalás 65
II. TÉRMÉRTAN (SZTEREOMETRIA)
1. Tájékozódás a térben . 66
Beszédes ábrák 67
Két sík hajlásszöge 70
Síkra merőleges egyenes 71
Egyenes hajlásszöge a síkhoz 72
Pont, vonal, szakasz és síkidom vetülete egy síkra 74
Három, egymásra merőleges egyenes tétele 76
Síkidomok vetülete 77
Kitérő egyenesek 80
Összefoglalás ... 86
2. Hengerszerű testek 87
A hengerszerű testek származtatása 87
A hengerszerű testek felszíne 91
A hengerszerű testek hálója 93
Egyenes hasáb térfogata 96
Egyenes henger térfogata 98
Ferde hengerszerű testek térfogata 100
Összefoglalás . 109
8. Kúpszerű testek 109
Kocka harmadolása 109
Gúlák, kúpok 110
A kúpszerű testek hálója, palástja és felszíne 112
A gúla térfogata I. 114
A parabola alatti terület kiszámítása 115
A gúla térfogata II. 119
Eudoxus tétele 127
A kúp térfogata 128
Hasonlóság a térben 133
Összefoglalás 137
4. A csonkagúla és csonkakúp 137
A csonkagúla térfogata 137
A csonkakúp térfogata 141
A csonkagúla és a csonkakúp hálója és felszíne . 143
Összefoglalás 149
6. A gömb és részei 149
A gömb térfogata 149
A gömb felszíne I. 160
A kör kerülete 160
A gömb felszíne II. 163
A gömbsüveg és gömböv felszíne 168
Gömbi távolság 169
A gömbháromszög 174
Euklidesi geometria és nem euklidesi geometriák 176
Összefoglalás 183
6. Euler tétele. Szabályos testek 184
Összefoglalás 206
III. EGYENLETEK. POLINOMOK OSZTÁSA
1. Magasabbfokú egyenletek egész és tört gyökeinek meghatározása 210
Harmadfokú egyenletre vezető feladat 210
Becslés a gyök nagyságára 211
Egész számú gyök létezése 212
Példa a mértani sorozat köréből 214
Tört gyök számlálójának és nevezőjének lehetséges értékei 215
2. Osztás gyöktényezővel. Polinomok osztása 221
Egy gyök ismeretében a többi meghatározása 221
Osztás gyöktényezővel 223
Polinomok oszthatósága 232
Gyöktényező kiemelhetősége 234
Bezout tétele 236
Osztás másodfokú polinommal 238
Egyenlet gyökeinek száma 242
Gyökök közelítő meghatározása 244
Összefoglalás 247

Témakörök