Matematika a tanítóképző intézet harmadik évfolyama számára

Tartalom

Előszó 3
I. FEJEZET (Dr. Göndöcs László)
Komplex számok 5
1. Az uj számtest kialakulása 5
a) Geometriai meggondolások 5
b) Műveletek értelmezése 7
c) A komplex számtest 9
2. A komplex szám szerkezete 13
3. A komplex szám konjugáltja és abszolút értéke 15
4. A komplex számokkal végzett műveletek és a geometriai transzformációk
kapcsolata 19
5. A komplex számok trigonometrikus alakja 25
6. Moivre-képlet és az egységgyökök (Olvasmány) 30
7. A számfogalom felépítésének összefoglalása és további általánosításának kérdése 34
8. A komplex szám és a valóság kapcsolata 36
9. Feladatok 37
II. FEJEZET (Borsodi István)
A kombinatorika és a valószinűségszámítás elemei 40
1. Permutációk 40
a) A permutáció értelmezése 40
b) Egy-, két-, három- és négyelemű halmaz permutálása 44
c) A permutációk száma 48
d) Az ismétléses permutációk 50
e) Az ismétléses permutációk száma 53
f) Feladatok 55
2. Variációk 57
a) Az ismétlés nélküli variációk értelmezése 57
b) Négyelemű halmaz ismétlés nélküli variációi ... 59
c) Az ismétlés nélküli variációk száma 67
d) Ismétléses variációk 69
e) Háromelemű halmaz ismétléses variációi 70
f) Az ismétléses variációk száma 72
g) Feladatok 76
3. Kombinációk 77
a) Az ismétlés nélküli kombináció értelmezése ... 77
b) A kombinációk képzésének módja 80
c) A binominális együtthatók 84
d) A binomiális tétel 89
e) Feladatok 92
4. Az esemény és a valoszinűség matematikai fogalma 94
a) A valőszinűségszámítás tárgya, 94
b) Eseményalgebra 94
c) A valószínűség értelmezése 101
d) Feladatok 106
5. A valószínűségek klasszikus kombinatorikai kiszámítása 107
a) Az esemény be nem következésének (komplementer esemény bekövetkezésének) valószínűsége 108
b) Egymást kizáró események bekövetkezésének valószínűsége 109
c) Kombinatorikus eszközök alkalmazása a valőszinűségszámításban 111
d) Egymástól független események egyidejű bekövetkezésének valószínűsége 115
e) Feltételes valószínűség 118
f) Feladatok 124
III. FEJEZET (Dr. Göndöcs László)
Polinomok 127
1. A fogalom kialakulása 127
2. Polinomgyűrű 129
3. Maradékos osztás a polinom gyűrűben 131
4. Polinomok oszthatósága és az irreducibilitás 133
5. Polinomok helyettesitési értéke, gyökök 136
6. Többhatározatlanú polinomok 139
7. Polinomok racionális gyökeinek meghatározása 140
8. Feladatok 142
IV. FEJEZET (Dr. Göndöcs László)
Függvények 143
1. A fogalom kialakulása a tanítás-tanulás folyamatában 143
2. Relációk, függvények 156
a) Relációk 156
b) A függvények 158
3. A függvény megadásának módja 160
4. Egymással inverz függvények 164
5. A függvény fogalom megközelítésének másik módja
(Olvasmány) 165
6. A függvények ábrázolása 166
a) A függvény jelölése 166
b) A függvény grafikonja 167
c) Függvények egyenlősége 169
d) A sorozatok mint függvények 173
7. Függvény inverzének keresése 175
8. Összetett függvények (Olvasmány) 179
9. Az izomorfia (Olvasmány) 184
10. A műveletek mint függvények 188
11. A függvények osztályozása és fajtái 190
a) Egy- és többváltozós függvények 190
b) Első és magasabb fokú függvények (polinomfüggvények) 191
c) Valós függvények 191
d) Az értelmezési tartomány kijelölése 192
e) Korlátos függvények 195
f) Monoton függvények 197
g) Páros és páratlan függvények 198
h) Periodikus függvények. 199
12. Feladatok 200
13. Elemi függvények 204
a) Racionális egészfüggvények 204
b) Racionális törtfüggvények 206
c) Hatványfüggvény 210
d) Algebrai függvények 211
e) Transzcendens függvények 212
14. A függvények elemi vizsgálata 217
15. Feladatok 219
V. FEJEZET (Dr. Göndöcs László)
Egyenletek és egyenlőtlenségek 225
1. Egyenlőségek, egyenletek és egyenlőtlenségek értelmezése 225
2. Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása 226
3. Elsőfokú egyismeretlenes egyenlőtlenségek 231
4. Első fokú egyváltozós egyenlőtlenség-rendszerek 233
5. Elsőfokú többváltozós egyenlőtlenség-rendszerek 236
a) A sík elemi ponttartományai 236
b) Lineáris többváltozós egyenlőtlenség-rendszerek megoldása 239
6. Magasabb fokú egyváltozós egyenletek és egyenlőtlenségek 243
a) Magasabb fokú egyváltozós egyenletek gyöke 243
b) Másodfokú egy- és kétváltozós egyenlőtlenségek 246
c) Magasabb fokú többváltozós egyenlőtlenségek . . . 250
7. Feladatok 252
VI. FEJEZET (Borsodi István)
A matematikai logika elemei 255
1. Az állítás és tagadása 255
a) Az Ítélet 255
b) A logikai művelet 257
c) A logikai értékekkel végzett művelet 258
d) A negáció 261
e) Többszörös negáció 263
f) Feladatok 264
2. A konjunkció és a diszjunkció . 266
a) A konjunkció értelmezése 266
b) A diszjunkció értelmezése 268
c) A konjunkció és a diszjunkció ábrázolása 272
d) A konjunkció és a diszjunkció azonosságai 273
e) Feladatok 278
3. Az implikáció és az ekvivalencia 281
a) Az implikáció értelmezése 281
b) A feltételes állítás a köznyelvben 283
c) Szükséges feltétel, elegendő feltétel 284
d) Az ekvivalencia értelmezése 285
e) Az implikáció és az ekvivalencia ábrázolása 287
f) Az implikáció és az ekvivalencia azonosságai . . . 289
g) Feladatok 293
4. Formulák és azonosságok (Olvasmány) 294
a) A konjunkció és a diszjunkció tagadása 294
b) Az implikáció kifejezése a diszjunkcióval és a negációval 295
c) Kontrapozició 297
d) Az ekvivalencia kifejezése 297
e) A helyettesítés és a pótlás . 299
f) Példák 301
g) Feladatok 304
5. Következtetések és következtetésformák 305
a) A következmény értelmezése 305
b) Nevezetes következtetési formák 308
c) Kvantorok és kvantorkövetkeztetések 314
d) Feladatok 319
VII. FEJEZET (Borsodi István)
A matematika módszerei 321
1. Az induktív módszer 321
2. Axiomatikus módszer 323
3. A geometriai axiomatikus tárgyalása 325
4. Az axiomatikus módszer alkalmazása a matematika
különböző ágaiban (Olvasmány) 329
Irodalom 331-335