Matematika a tanítóképző intézet első évfolyama számára

Tartalom

Bevezetés 5
a) A tanítóképző intézeti matematikaoktatás feladatai 5
b) A matematika tárgya 6
c) A matematika módszere 7
I. HALMAZELMÉLET 9
1. Halmazelméleti alapfogalmak 9
a) Halmaz és elem 9
b) A halmazok meghatározása 11
c) A halmazok egyenlősége 13
d) Az üres halmaz 16
e) Részhalmaz 17
f) Feladatok 19
2. Műveletek halmazokkal (unió és metszet) 21
a) A halmazok egyesítése 21
b) A halmazok egyesítésének tulajdonságai 22
c) Példák a matematika különböző területeiről 24
d) Halmazok metszete 25
e) A halmazok metszetének tulajdonságai 27
f) Matematikai példák a halmazok metszetére 29
g) Feladatok 31
3. Műveletek halmazokkal (különbség és szorzat) 34
a) A halmazok különbsége 34
b) A különbségképzés tulajdonságai 37
c) A halmazok különbségének a metszetre és unióra vonatkozó disztributivitása 40
d) További példák a halmazok különbségére 41
e) Halmazok szorzata 44
f) Feladatok 46
4. Relációk 48
a) A reláció fogalmának elemi értelmezése 48
b) A relációk ábrázolása 49
c) A reláció fogalmának halmazelméleti értelmezése 51
d) A halmazban értelmezett relációk 53
e) Rendezés és ekvivalencia 58
f) Osztályozás 59
g) Feladatok 60
5. Leképezések 61
a) A leképezés fogalma 61
b) Példák 63
c) Inverz leképezések 66
d) A logikai függvény 67
e) Feladatok 71
6. Halmazok számossága 72
a) Ekvivalens halmazok 72
b) Végtelen halmazok ekvivalenciája 74
c) További példák végtelen halmazok összehasonlítására 75
d) Megszámlálhatóan végtelen halmazok 76
e) Feladatok 80
II. A TERMÉSZETES SZÁMOK HALMAZA 81
1. A szám fogalmának kialakítása halmazelméleti alapon 81
a) A kardinális szám (tőszám) 81
b) Az ordinális szám vagy rendszám (sorszám) 83
2. A természetes számok axióma rendszere 86
a) A Peano-féle axiómák 86
b) A teljes indukció 87
c) Feladatok 90
3. Rendezés a természetes számok halmazában 90
4. Számrendszerek 92
a) A tízes számrendszer 93
b) Más számrendszerek 96
c) Az alapszám diszkussziója 98
d) Tízes rendszerben adott szám átírása más számrendszerbe 100
e) Nem tízes rendszerben adott szám átírása a tízes rendszerbe 101
f) Feladatok 103
5. Alapműveletek a természetes számok halmazában 104
a) Az összeadás értelmezése 104
b) A szorzás értelmezése a természetes számok körében 109
c) A kivonás és különbség értelmezése a természetes számok halmazában 118
d) Az osztás értelmezése á természetes számok halmazában 123
e) Feladatok 131
III. AZ ELEMI SZÁMELMÉLET ALAPKÉRDÉSEI 135
1. Az oszthatóság egyszerű tulajdonságai 136
2. Az oszthatósági szabályok 139
a) A számrendszer alapszámának osztóival való oszthatóság 139
b) Az alapszám kisebb szomszédjával való oszthatóság 141
c) Az alapszám nagyobb szomszédjával való oszthatóság 143
d) Oszthatóság tízes számrendszerben 4-gyel, 25-tel, 8-cal, ill. 125-tel 144
e) Feladatok 145
3. A kongruencia 146
a) A kongruencia fogalma 146
b) A kongruencia alaptulajdonságai 147
c) Alapműveletek kongruenciákkal 149
d) A kongruenciák néhány alkalmazása 154
e) Feladatok 156
4. A prímszámok 156
a) A prímszám fogalma 156
b) A prímszámok kiválogatása 157
c) Feladatok 161
5. Az összetett számok 162
a) Az összetett szám fogalma 162
b) A számelmélet alaptétele v 163
c) Az osztók és többszörösök prímhatványtényezős alakja 166
d) Egy szám összes osztói 168
e) Feladatok 170
6. Közös osztók és közös többszörösök 171
a) Két vagy több szám közös osztói 171
b) A legnagyobb közös osztó 172
c) Az euklidészi algoritmus 175
d) A legkisebb közös többszörös 178
e) Feladatok 181
IV. A RACIONÁLIS SZÁMOK HALMAZA 183
1. Az egész számok 184
a) Műveletek értelmezése természetes számokból alkotott számpárokkal 186
b) Az egész számok felépítése 188
c) Rendezés az egész számok halmazában 193
d) Az egész számok abszolút értéke 194
e) Az egész számok halmazának vizsgálata 197
f) Feladatok 199
2. Racionális számok bevezetése 199
a) Műveletek értelmezése egész számokból alkotott számpárokkal 202
b) Racionális számok képzése, összege és szorzata 203
c) A racionális számok kivonása és osztása 205
d) A racionális számok rendezése 210
e) A racionális számok halmazának tulajdonságai 211
f) Feladatok 213
g) A racionális szám tizedes tört alakja 214
h) Feladatok 216
i) Az elmélet és az iskolai gyakorlat összhangja 217
j) A racionális számok geometriai értelmezése 219
V. A VALÓS SZÁMOK HALMAZA 221
1. Az irracionális szám fogalma 221
a) Összemérhető és összemérhetetlen szakaszok 221
b) A tízes rendszerű mérés 224
c) Az irracionális szám szükségessége és meghatározása 226
d) Irracionális szám megközelítése racionális számokkal 227
2. A valós szám fogalma és egyszerű tulajdonságai 229
a) A valós szám fogalma 229
b) A valós számok halmazának tulajdonságai 230
c) A valós számok halmazának számossága 233
3. Végtelen sorozatok 235
a) A számsorozat fogalma 235
b) Monoton sorozatok 237
c) Konvergens és divergens sorozatok 240
d) Feladatok 245
e) A végtelen sorok 247
f) A valós szám mint racionális számsorozatok határértéke 252
g) Aritmetikai műveletek valós számokkal 254
h) Feladatok 256
VI. A MÉRÉS 259
1. Gyakorlati mérések. Mértékegységek 259
a) Hosszúságmérés 259
b) Tömegmérés 261
c) Időmérés 261
2. A közelítőszámítás elemi fogalmai 264
a) Közelítő értékek. Hiba és hibakorlát 264
b) A relatív hiba és relatív hibakorlát 269
c) Feladatok 271
3. Műveletek közelítő számokkal 272
a) A közelítő számok összege 272
b) Közelítő számok különbsége 275
c) Közelítő számok szorzása 278
d) Közelítő számok osztása 281
e) Feladatok 284
4. Középértékek, Átlagok 285
a) A számtani (aritmetikai) átlag 285
b) A harmónikus átlag 287
c) A mértani (geometriai) átlag 288
d) A helyzeti középértékek 290
5. Nomogramok 291
a) Feladatok 294
6. A mérés geometriai vonatkozásai 295
a) Szakaszok hossza 295
b) A görbe vonal hossza 297
c) A terület fogalma 298
d) A térfogat fogalma 302
VII. A GEOMETRIA ELEMI KÉRDÉSEI 303
1. Alapfogalmak és axiómák 303
a) A geometriai fogalmak eredete 303
b) A Hilbert-féle axiómák (olvasmány) 304
2. Euklidészi geometria elemei 306
a) Elemi fogalmak 306
b) Nevezetesebb háromszögtételek 309
c) Négyszögek 312
d) Poliéderek 313
e) Szerkesztések 314
3. A geometriai transzformációk 315
a) A geometria tárgya 315
b) A Geometriai leképezések 317
4. Egybevágóság 320
a) Eltolás 321
b) A pont körüli forgatás és a pontra való tükrözés 324
c) Egyenesre vonatkozó tükrözés (tengelyes szimmetria) 329
d) A sík egybevágóságainak összefoglalása 333
e) Feladatok 337
5. Hasonlósági transzformációk 338
a) Középpontos hasonlóság 340
b) A forgatva nyújtás 343
c) Tükrözve nyújtás 344
d) Feladatok 348

Témakörök