Matematika

Tartalom

I. SZÁMOK ÉS MŰVELETEK
1. A valós szám kör felépítése
1.1. A természetes számok 3
1.2. Az egész számok 4
1.3. A racionális számok 5
1.4. Az irracionális számok 9
1.5. A valós számok 10
2. Műveletek és tulajdonságaik. Egyszerűbb számstruktúrák 12
3. Néhány számelméleti fogalom 14
Feladatok
II. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK AZONOS ÁTALAKÍTÁSAI 23
I. Az algebrai kifejezés 23
2. Műveletek algebrai kifejezésekkel 24
2.1. Műveletek racionális egész kifejezésekkel 24
2.1.1. Műveletek egytagú racionális egész kifejezésekkel 24
2.1.2. Műveletek többtagú racionális egész kifejezésekkel 28
2.1.3. Polinomok hatványozása pozitív egész kitevőre 31
2.1.4. Polinomok szorzattá alakítása 34
2.1.5. Polinomok legnagyobb közös osztója 36
2.1.6. Polinomok legkisebb közös többszöröse 39
Feladatok 40
2.2. Műveletek racionális törtkifejezésekkel 44
Feladatok 48
2.3. A gyökvonás 50
2.3.1. A gyökvonás fogalma 50
2.3.2. Négyzetgyökvonás számokból 52
2.3.3. Műveletek gyökmennyiségekkel 53
2.3.4. A nevező gyöktelenítése 59
Feladatok 63
III. FÜGGVÉNYEK. EGYENLETEK 68
1. Az egyváltozós függvény értelmezése és ábrázolása 68
1.1. A lineáris függvény és ábrája
1.2. Az első fokú függvény zérushelye 72
1.3. A másodfokú függvény 72
1.4. A másodfokú függvény zérushelyei 75
1.5. Lineáris koordinátaranszformáció 76
1.6. Egyenes és fordított arányosság 79
Feladatok 79
2. Egyenletek megoldása. A gyökök 81
2.1. Az algebrai egyenlet 82
2.2. Az első fokú algebrai egyenlet 82
2.3. A másodfokú algebrai egyenlet és megoldása 83
2.4. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések 84
2.5. A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja 85
2.6. A harmadfokú algebrai egyenlet 86
2.7. Másodfokú egyenletre visszavezethető magasabbfokú algebrai
egyenletek 87
2.8. Magasabb fokú algebrai egyenletek fokszámának csökkentése 88
2.9. Kidolgozott feladatok az algebrai egyenletek köréből 89
Feladatok 97
3. Többismeretlenes elsőfokú egyenletek 104
3.1. A lineáris egyenletrendszerek grafikus megoldása 111
Feladatok 113
3.2. Magasabb fokú többismeretlenes egyenletrendszerek 115
4. Irracionális egyenletek 121
Feladatok 125
5. Egyenlőtlenségek 128
Feladatok 132
6. A logaritmus fogalma 134
6.1. A logaritmus alaptulajdonságai 135
6.2. A logaritmus táblázat 137
6.3. Átmenet az egyik logaritmusrendszerből a másikba 138
6.4. Logaritmikus egyenletek 140
7. Exponenciális egyenletek 145
Feladatok 149
IV. ELEMI GEOMETRIA 155
1. Elemi geometria 156
1.1. Alapfogalmak 156
1.2. A szög és mérése 157
1.3. A mozgás és szimmetria 159
2. A háromszögek 160
2.1. A háromszög nevezetes vonalai 161
2.2. A felező merőlegesek metszéspontja 162
2.3. A magasságvonalak metszéspontja 163
2.4. A háromszögek egybevágósága és hasonlósága 164
2.5. A súlyvonalak metszéspontja, a súlypont 165
2.6. A szögfelezők metszéspontja 165
2.7. A derékszögű háromszög 166
3. A négyszögek 169
3.1. A paralelogrammák osztályozása 170
4. A kör 172
4.1. A középponti és kerületi szögek 173
4.2. A húrnégyszög 174
4.3. Az érintő négyszög 174
4.4. Arányos távolságok a körben 176
4.5. A kör adatainak számítása 177
4.6. Kidolgozott feladatok 177
5. A sokszög 181
5.1. A szabályos négy- és nyolcszög 181
5.2. A szabályos hat- és háromszög 182
6. Térmértan, sztereometria 184
6.1. Euler-tétele 185
6.2. Fontosabb poliéderek 185
6.3. Görbült felületekkel határolt testek 187
Feladatok 192
V. A VEKTORALGEBRA ELEMEI 198
1. A vektor fogalma 198
2. Műveletek vektormennyiségekkel 199
3. Vektorok koordinátás alakja. Műveletek koordinátád alakban adott
vektorokkal
Feladatok 208
VI. TRIGONOMETRIA
1. A szögfüggvények értelmezése 210
2. Nevezetes szögek szögfüggvényei
3. A szögfüggvények értelmezésének kiterjesztése 211
4. Az összegezési tételek és következményeik 213
5. A szögfüggvények ábrázolása 216
6. Az általános háromszög megoldása 219
6.1. A szinusz-tétel 219
6.2. A koszinusz-tétel 220
7. Kidolgozott feladatok 222
Feladatok 237
VII. ANALITIKUS GEOMETRIA 246
1. A derékszögű koordinátarendszer 246
2. Az egyenes egyenletei 250
3. Két egyenes hajlásszöge 254
4. Két egyenes metszéspontja 255
5. Az egyenes ábrázolása és néhány speciális helyzetű egyenes
egyenlete 256
6. A kúpszeletek 258
6.1. A kör 259
6.1.1. Körnek egyenessel, és körnek körrel való metszéspontja
6.1.2. Speciális helyzetű körök 263
6.2. Az ellipszis 264
6.3. A hiperbola egyenlete 267
6.4. A parabola egyenlete 269
7. Kidolgozott mintapéldák 271
Feladatok 282
VIII. AZ ANALÍZIS ELEMEI 291
1. A sorozat és a sor 291
1.1. A sorozat fogalma 291
1.2. A sorozat néhány tulajdonsága 292
1.3. A sorozat határértéke 295
1.4. A sor 298
1.4.1. A számtani sor 299
1.4.2. A mértani sor 303
Feladatok 311
2. A függvény határértéke, folytonossága 314
3. A differenciálszámítás elemei 318
3.1. A differenciahányados és derivált 318
3.2. Differenciálási szabályok 322
3.3. Néhány elemi függvény deriválása 325
3.4. A differenciálszámítás néhány alkalmazása 330
3.4.1. Függvény növekedése, csökkenése 330
3.4.2. Szélsőértékszámítás 331
3.4.3. Síkgörbe érintője, normálisa 337
Feladatok 339
4. Az integrálszámítás elemei 341
4.1. A határozatlan integrál fogalma. 341
4.2. Néhány integrálási szabály 343
4.3. A határozott integrál fogalma, kiszámítása, tulajdonságai 345
4.4. A határozott integrál alkalmazásai 351
4.4.1. Területszámítás 351
4.4.2. Forgástestek köbtartalma 352
Feladatok 354
MEGOLDÁSOK 357

Témakörök