Matematika

Tartalom

Előszó 13
A kötetben használt jelölések 15
1. Halmazok (Gerőcs László) 25
1.1. Alapfogalmak 25
1.2. Műveletek halmazokkal 28
1.3. A természetes számok halmaza, oszthatóság, számelmélet 31
1.4. További számhalmazok, halmazok számossága 41
2. Logikai alapok (Bereczky Áron) 49
2.1. Állítások logikai értéke, logikai műveletek 49
2.2. Predikátumok és kvantorok 51
2.3. Bizonyítási módszerek 54
3. Számtan, elemi algebra (Gerőcs László) 57
3.1. Elemi számtan (a számok írásának kialakulása, műveletek különböző számokkal, negatív számok, törtek, tizedes törtek), kerekítés, százalékszámítás 57
5.2. Arányok (egyenes és fordított arányosság, az aranymetszés, a pí), nevezetes közepek 76
3.3. Algebrai kifejezések és műveletek, hatványozás, összevonás, szorzás, kiemelés, nevezetes azonosságok 82
3.4. Gyökvonás, hatványozás, logaritmus és műveleteik 98
3.5. Számrendszerek 110
3.6. Egyenletek, egyenletrendszerek (fogalom, mérlegelv, osztályozás
fokszám és egyenletek száma szerint, első- és másodfokú
egyenletek, exponenciális és logaritmikus egyenletek) 114
3-7. Harmad- és negyedfokú egyenletek (speciális magasabb fokú
egyenletek) 132
4. Polinomok és komplex számok algebrája (Bereczky Áron) 141
4.1. Műveletek polinomokkal, oszthatóság, legnagyobb közös osztó 141
4.2. Szorzatfelbontás, felbonthatatlan polinomok 147
4.3. Komplex számok 155
4.4. Polinomok zérushelyei 163
4.5. Többváltozós polinomok 170
5. A sík elemi geometriája (Gerőcs László) 173
5.1. A geometria rövid története 173
5.2. Geometriai alapfogalmak 174
5.3. Geometriai transzformációk 178
5.4. Háromszögek, nevezetes vonalak, pontok, körök, egyéb nevezetes
objektumok 193
5.5. Négyszögek 218
5.6. Sokszögek, szabályos sokszögek, aranymetszés 224
5.7. A kör és részei, kerületi és középponti szögek, húr- és érintőnégyszögek 231
5.8. Geometriai szerkesztések, speciális szerkesztések 248
6. A tér elemi geometriája (Gerőcs László) 265
6.1. Alapfogalmak 265
6.2. Poliéderek 273
6.3. Görbe felületű testek 291
6.4. Henger és kúp síkmetszetei 306
7. Ábrázoló geometria (H. Temesvári Ágota-Szakál Péter-Németh László) 311
7.1. Bevezetés 311
7.2. Ábrázolás két képsíkon 322
7.3. Axonometrikus ábrázolás 345
7.4. Néhány görbékre és felületekre vonatkozó feladat 351
7.5. Kótás ábrázolás 373
7.6. Néhány további ábrázolási módszer 388
8. Vektorok (Gerőcs László) 399
8.1. A vektor fogalma és jellemzői 399
8.2. Műveletek vektorokkal, vektorok a koordináta-rendszerben ... 400
8.3. Vektorok skaláris szorzata, vektoriális szorzata, vegyes szorzat 412
9. Szögfüggvények (Gerőcs László) 429
9.1. A hegyesszög szögfüggvényei 429
9.2. Szögfüggvények általánosítása 442
9.3. Szögfüggvények alkalmazása háromszögekkel kapcsolatos
problémák megoldására 456
9.4. Trigonometrikus egyenletek 470
9.5. Trigonometrikus függvények és inverzeik 475
9.6. Gömbháromszögek és tulajdonságaik 482
10. Analitikus geometria (Gerőcs László) 495
10.1. A sík analitikus geometriája (alapfogalmak, szakaszosztópontjai,
két pont távolsága, a háromszög területe) 495
10.2. Az egyenes egyenletei (két egyenes metszéspontja, hajlásszöge,
pont és egyenes távolsága) 505
10.3. A kör egyenlete 517
10.4. Koordinátatranszformációk 531
10.5. Kúpszeletek egyenletei, másodrendű görbék 533
10.6. Polárkoordináták 559
10.7. A tér analitikus geometriája (sík és egyenes, másodrendű felületek,
térbeli polárkoordináták) 560
11. Lineáris algebra (Bereczky Áron) 587
11.1. Mátrixok és determinánsok 588
11.2. Lineáris egyenletrendszerek 599
11.3. Vektorterek 607
11.4. Lineáris leképezések 618
11.5. Bilineáris függvények 629
11.6. Euklideszi terek 637
12. Absztrakt algebra (Bereczky Áron) 647
12.1. Az algebrai struktúrákról általában 647
12.2. Gyűrűelmélet, alapfogalmak 650
12.3. Kommutatív egységelemes gyűrűk 656
12.4. Csoportelmélet, alapfogalmak 660
12.5. További témák a csoportelméletből 670
12.6. Testek és Galois-csoportok 674
12.7. Modulusok 683
12.8. Hálók és Boole-algebrák 687
13. Számelmélet (Bereczky Áron) 691
13.1. Bevezetés, oszthatóság 691
13.2. Számelméleti függvények 694
13.3. Kongruenciák 698
13.4. A kongruenciaosztályok algebrája 704
13.5. Kvadratikus maradékok 708
13.6. Prímszámok 711
13.7. Diofantikus egyenletek 719
14. Számsorozatok (Gerőcs László) 725
14.1. A számsorozat fogalma 725
14.2. A számtani sorozat és tulajdonságai 727
14.3. A mértani sorozat és tulajdonságai 729
14.4. Korlátos, monoton, konvergens sorozatok 733
14.5. A Fibonacci-sorozat 743
14.6. Magasabb rendű lineáris rekurzív sorozatok, néhány speciális sor 747
15. Elemi függvények és tulajdonságaik (Csányi Tibor) 749
15.1. Függvény 749
15.2. Polinomfüggvények 762
15.3. Racionális törtfüggvények 766
15.4. Exponenciális és logaritmusfüggvények 768
15.5. Trigonometrikus függvények 772
15.6. Hiperbolikus függvények 781
16. A valós analízis elemei (Szűcs Zsolt) 791
16.1. A valós számok alapfogalmai 791
16.2. Számsorozatok 793
16.3. Numerikus sorok 802
16.4. Egyváltozós függvények folytonossága és határértéke 807
16.5. Többváltozós analízis elemei 821
17. Differenciálszámítás és alkalmazásai (Nagy Noémi) 825
17.1. Differenciálható függvények 825
17.2. Nevezetes függvények deriváltja 829
17.3. Függvényműveletek és a deriválás kapcsolata 834
17.4. Differenciálható függvények tulajdonságai 839
17.5. Differenciálszámítás alkalmazása függvények viselkedésének leírására 843
17.6. Többváltozós függvények differenciálása 863
17.7. Fizikai alkalmazások 874
18. Integrálszámítás és alkalmazásai (Nagy Noémi) 879
18.1. Határozatian integrál 879
18.2. Riemann-integrál és tulajdonságai 887
18.3. Numerikus integrálás 906
18.4. Integrálszámítás alkalmazásai (terület, térfogat, ívhossz) 913
18.5. Többváltozós integrál 920
19. Közönséges differenciálegyenletek (Lerchner Szilvia) 929
19.1. Bevezetés 929
19.2. Elsőrendű egyenletek 932
19.3. Differenciálegyenlet-rendszerek 945
19.4. Magasabb rendű egyenletek 956
19.5. A Laplace-transzformáció 961
19.6. Függvénysorok 966
20. Parciális differenciálegyenletek (Nagy Noémi) 979
20.1. Bevezetés 979
20.2. Elsőrendű egyenletek 980
20.3. Másodrendű egyenletek 991
20.4. Vektoranalízis és integrálátalakító tételek 997
20.5. A hővezetési egyenlet és a hullámegyenlet 1008
21. Komplex függvénytan (Kós Géza) 1013
21.1. Bevezető 1013
21.2. Reguláris függvények 1015
21.3. Integráltételek 1026
21.4. Hatványsorba és Laurent-sorba fejtés 1042
21.5. A reziduumtétel és alkalmazásai 1055
21.6. Konform leképezések - 1063
21.7. Harmonikus függvények 1068
22. Fraktálgeometria (Máté László) 1073
22.1. Bevezető példák 1073
22.2. Mátrixok és geometriai transzformációk 1080
22.3. Hasonlósági és kontraktív leképezések, halmazfüggvények 1083
22.4. Az IFS-modell 1085
22.5. Olvasmány a halmazok távolságáról 1088
22.6. Az IFS-modell tulajdonságai 1093
22.7. IFS-modell és önhasonlóság 1094
22.8. Önhasonló halmazok szerkezete és a „valóság" 1095
22.9. A fraktáldimenziók 1099
22.10. A hatványszabály (power law) 1104
22.11. A boxdimenzió 1107
22.12. Mit mér a boxdimenzió? 1108
22.13. Tetszőleges halmaz boxdimenziója 1109
22.14. Fraktáldimenzió a geodéziában 1112
23. Kombinatorika (Vancsó Ödön) 1115
23.1. Egyszerű sorba rendezési és kiválasztási problémák 1115
23.2. Egyszerű sorba rendezési és leszámolási feladatok ismétlődő elemekkel 1125
23.3. A kombinatorika alkalmazásai, összetettebb leszámlálásos problémák 1128
23.4. A kombinatorikus geometria elemei 1141
24. Gráfok (Vancsó Ödön) 1151
24.1. Alapfogalmak 1151
24.2. Gráfok összefüggősége, fák, erdők 1157
24.3. A gráfok bejárásai 1169
24.4. Speciális gráfok és tulajdonságaik 1174
24.5. Irányított gráfok 1186
24.6. Szállítási problémák modellezése gráfokkal (Katona Dániel) ... 1193
24.7. Véletlen gráfok 1202
24.8. Gráfok alkalmazásai 1206
24.9. Gráfok és mátrixok 1217
25. Kódelmélet (Bereczky Áron) 1225
25.1. Bevezetés 1225
25.2. Hibajavító kódok 1231
25.3. Lineáris kódok 1237
25.4. Ciklikus kódok 1246
26. Valószínűség-számítás (Vancsó Ödön) 1251
26.1. Alapfogalmak, bevezetés 1251
26.2. Valószínűségi mező, események, eseményalgebra 1258
26.3. Feltételes valószínűség, függetlenség 1265
26.4. Valószínűségi változók 1276
26.5. Nevezetes diszkrét eloszlások 1289
26.6. Nevezetes folytonos eloszlások 1298
26.7. Az eloszlások legfontosabb jellemzői: a várható érték és a szórás 1307
26.8. A nagy számok törvényei 1324
26.9. Nevezetes határeloszlás-tételek 1331
26.10. Korreláció, regresszió 1333
26.11. Egyszerű véletlen folyamatok matematikai leírása 1339
27. Matematikai statisztika (Vancsó Ödön) 1347
27.1. Leíró statisztika, alapfogalmak, mintavétel, adatsokaság 1348
27.2. Adatok szemléltetése, ábrázolása 1354
27.3. Átlag és szórás 1368
27.4. Idősorok 1377
27.5. Összefüggések két ismérv között 1384
27.6. Összetett intenzitási viszonyszámok és indexálás 1396
27.7. A matematikai statisztika alapelvei, hipotézisvizsgálat 1401
27.8. A Bayes-statisztika elemei 1422
Tárgymutató 1443

Témakörök