Matematika 4.

Tartalom

Bevezetés / 8
1. Differenciálszámítás / 9
1.1. Az érintő / 9
1.2. A határérték / 16
1.3. A derivált / 26
1.4. Egyenletek közelítő megoldása / 34
1.5. A differenciálhányados és a monotonitás / 38
1.6. A differenciálhányados és a folytonosság / 41
1.7. Helyi szélsőértékek / 45
1.8. Abszolút szélsőérték / 51
1.9. A szögfüggvények deriváltja / 55
1.10. A szorzat és a hányados deriváltja / 58
1.11. Az összetett függvény deriváltja / 64
1.12. Az exponenciális függvény deriváltja / 67
1.13. A logaritmusfüggvény deriváltja / 69
1.14. A hatványfüggvény deriváltja / 71
1.15. Az implicit függvény deriváltja / 74
1.16. A deriválásra vonatkozó szabályok áttekintése / 77
1.17. A differenciálhányados alkalmazásának áttekintése / 79
Ellenőrző feladatok / 85
Első betekintés a matematika történetébe / 86
2. Integrálszámítás / 89
2.1. Primitív függvény / 89
2.2. Határozott integrál / 95
2.3. A határozott integrál kiszámítása / 102
2.4. A forgástest térfogata / 113
2.5. A határozott integrál fizikai alkalmazása / 117
Ellenőrző feladatok / 122
Második betekintés a matematika történetébe / 123
Komplex számok / 126
3.1. Valós számok / 126
3.2. Komplex számok / 132
3.3. A komplex számok geometriai modellje / 134
3.4. A komplex számok hányadosa / 141
3.5. A komplex szám trigonometrikus alakja / 143
3.6. A trigonometrikus alakban felírt komplex számok szorzata / 148
3.7. Moivre tétele / 150
Ellenőrző feladatok / 152
Egyenletek / 153
4.1. A komplex szám hatványa és gyöke / 153
4.2. A binom egyenlet / 158
4.3. A másodfokú egyenlet megoldása a komplex számok körében / 160
4.4. Az n-edfokú algebrai egyenletek / 167
Ellenőrző feladatok / 169
Harmadik betekintés a matematika történetébe / 170
A logikai alapismeretek rendszerezése / 172
5.1. A már ismert logikai fogalmak áttekintése / 172
5.2. A logika és a halmazelmélet alapfogalmainak összefoglalása / 176
5.3. Az alapvető bizonyítási eljárások összefoglalása / 184
Az egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásával kapcsolatos ismeretek rendszerezése/ 194
6.1. A kifejezések és rendezésük / 194
6.2. A kifejezések rendezésének alkalmazása az egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásában / 198
6.3. Felbontások felhasználása az egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásában / 202
6.4. Az egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása
„elemzés és ellenőrzés" módszerével / 205
6.5. Az egyenletek megoldása szubsztitúció segítségével / 210
6.6. Az egy paramétert tartalmazó egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása / 214
6.7. Függvényekkel kapcsolatos feladatok, amelyek algebrai feladatok megoldásához vezetnek / 218
6.8. Algebrai feladatok, amelyek előnyösen megoldhatók a függvények grafikonja
segítségével / 222
6.9. Kétismeretlenes egyenletek és egyenlőtlenségek rendszerei / 225
6.10. A három- és többismeretlenes lineáris egyenletek rendszerei / 232
7. A geometriai feladatok megoldásával kapcsolatos ismeretek rendszerezése / 235
7.1. A síkbeli alakzatok és képzésük / 235
7.2. Az egy ismeretlen pontot tartalmazó szerkesztési feladatok megoldása / 238
7.3. A két és több ismeretlen pontot tartalmazó szerkesztési feladatok / 245
7.4. Az egy paramétert tartalmazó szerkesztési feladatok / 253
7.5. Testek képzése és síkmetszetek szerkesztése / 258
7.6. Az alakzatok analitikus kifejezése / 265
7.7. Az ismert analitikus kifejezésű alakzatok ábrázolása / 273
7.8. A ponthalmazok vizsgálata / 280
7.9. Az alakzatok kölcsönös helyzetét vizsgáló feladatok / 288
7.10. Távolságokkal, nagyságokkal és mértékekkel kapcsolatos feladatok / 296
Negyedik betekintés a matematika történetébe / 307
8. A szöveges feladatok megoldásával kapcsolatos ismeretek rendszerezése / 314
8.1. A szöveges feladatok megoldásának módszere a helyzet matematikai modellje
segítségével / 314
8.2. Algebrában modellezett szöveges aritmetikai feladatok / 319
8.3. Algebrában modellezett szöveges geometriai feladatok / 322
8.4. Szöveges matematikai feladatok, amelyeket a függvényekkel kibővített algebrai
modellek segítségével oldunk meg / 328
8.5. A nem matematikai tartalmú szöveges feladatok matematizálása / 335
8.6. A két próba alapelve a szöveges feladatok megoldásában / 340
8.7. Alakzatok paraméteres struktúrái segítségével megoldott
optimalizációs feladatok / 346
8.8. A halmaz-logikai nyelv és valószínűségmodellek képzése / 352
A feladatok eredményei / 358

Témakörök